Espressioni con somme e prodotti di polinomi

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In questa scheda ci occupiamo di esercizi con espressioni con somme e prodotti di polinomi. L’obiettivo è quello di testare con degli esercizi di riepilogo tutto quanto appreso sulle somme algebriche di polinomi e sui prodotti tra polinomi.

Gli esercizi sulle espressioni con somme e prodotti di polinomi di questa scheda vanno così ad integrarsi alle esercitazioni già disponibili sulle somme di polinomi e sui prodotti tra polinomi.

Ovviamente come per una qualunque espressione è fondamentale tener conto delle regole di precedenza tra operazioni e seguire scrupolosamente l’ordine dettato dalle parentesi.

Senza ulteriori indugi, vediamo subito come calcolare le espressioni con somme e prodotti di polinomi.

Esercizi sulle espressioni con somme e prodotti di polinomi

Esercizio 1

Calcolare la seguente espressione con somme e prodotti tra polinomi:

[a+8-a^2-(3+a^2+a^3)] \cdot \left[ a^2+\dfrac{a}{2}-\left( 4-\dfrac{3}{2}a\right)\right]

Cominciamo eliminando le parentesi tonde utilizzando le regole relative alle somme algebriche di polinomi:

\begin{align*} &[a+8-a^2-(3+a^2+a^3)] \cdot \left[ a^2+\dfrac{a}{2}-\left( 4-\dfrac{3}{2}a\right)\right] = \\ \\ & = \left( a+8-a^2-3-a^2-a^3\right)\cdot\left( a^2+\dfrac{a}{2}-4+\dfrac{3}{2}a\right) = \end{align*}

Ovviamente arrivati a questo punto prima di calcolare il prodotto sommiamo i termini simili entro le parentesi tonde. In tal modo evitiamo calcoli superflui:

= \left(-a^3-2a^2+a+5\right) \cdot \left( a^2+2a-4\right)=

In questo caso ci ritroviamo con polinomi contenenti molti termini. Per non perderci conviene riscrivere questo prodotto tra polinomi come somma di prodotti tra il primo polinomio e ciascun termine del secondo polinomio. In tal modo ci riconduciamo a dei prodotti polinomio per monomio:

\begin{align*} &=(-a^3-2a^2+a+5) \cdot a^2 + (-a^3-2a^2+a+5)\cdot2a + \\ \\ & + (-a^3-2a^2+a+5) \cdot (-4) = \\ \\ &  \small{=-a^5-2a^4+a^3+5a^2-2a^4-4a^3+2a^2+10a+4a^3+8a^2-4a-20 =} \\ \\ & =-a^5+(-2-2)a^4+(1-4+4)a^3+(5+2+8)a^2+(10-4)a-20 = \\ \\ & = -a^5-4a^4+a^3+15a^2+6a-20  \end{align*}

Siamo così arrivati al risultato finale.

Esercizio 2

Proseguiamo con questa espressione con somme e prodotti di polinomi:

\left[ x^2-3xy+y^2-(2xy-2y^2)\right] \cdot \left[ 6y^2+\dfrac{23}{3}xy+\dfrac{5}{2}x^2-\left( -\dfrac{7}{3}xy+\dfrac{1}{2}x^2\right)\right]

Anche in questo caso la prima cosa da fare è eliminare le parentesi tonde (sostituendo chiaramente le parentesi quadre rimanenti con delle parentesi tonde “nuove”).

\begin{align*} &\left[ x^2-3xy+y^2-(2xy-2y^2)\right] \cdot \left[ 6y^2+\dfrac{23}{3}xy+\dfrac{5}{2}x^2-\left( -\dfrac{7}{3}xy+\dfrac{1}{2}x^2\right)\right] = \\ \\ & = \left( x^2-3xy+y^2-2xy+2y^2\right) \cdot \left( 6y^2+\dfrac{23}{3}xy+\dfrac{5}{2}x^2+\dfrac{7}{3}xy-\dfrac{1}{2}x^2\right)=\end{align*}

Ora sommiamo i termini simili entro le parentesi, per poi eseguire il prodotto. Procediamo direttamente senza scrivere i prodotti parziali polinomio per monomio:

\begin{align*} &=(x^2-5xy+3y^2)\cdot\left( 6y^2+10xy+2x^2\right)= \\ \\ & = 6x^2y^2 -\cancel{30xy^3}+18y^4+\cancel{10x^3y}-50x^2y^2+\cancel{30xy^3}+2x^4-\cancel{10x^3y}+6x^2y^2= \\ \\ & = (6-50+6)x^2y^2+18y^4+2x^4= \\ \\ & = -38x^2y^2+18y^4+2x^4\end{align*}

Siamo così arrivati.

Esercizio 3

Vediamo un ulteriore esercizio sulle espressioni con somme e prodotti di polinomi:

\small -\dfrac{13}{3}x^3-\left[ -\dfrac{15}{2}x^2 \left( x+y-4y^2\right)+\dfrac{5}{4}x^2y\left( 5-4y\right)-\dfrac{5}{4}xy \left( 20xy-x\right)+2x^3\right]

Cominciamo calcolando i prodotti monomio per polinomio all’interno delle parentesi quadre:

\small \begin{align*} & -\dfrac{13}{3}x^3-\left[ -\dfrac{15}{2}x^2 \left( x+y-4y^2\right)+\dfrac{5}{4}x^2y\left( 5-4y\right)-\dfrac{5}{4}xy \left( 20xy-x\right)+2x^3\right] = \\ \\ & = -\dfrac{13}{3}x^3-\left( -\dfrac{15}{2}x^3-\dfrac{15}{2}x^2y+30x^2y^2+\dfrac{25}4{x^2y-5x^2y^2-25x^2y^2+\dfrac{5}{4}x^2y+2x^3}\right)= \end{align*}

Ora attenzione: possiamo togliere la coppia di parentesi tonde a patto di eliminare il segno meno davanti alla parentesi tonda invertendo allo stesso tempo i segni di tutti i termini all’interno delle parentesi tonde. Abbiamo:

= \small -\dfrac{13}{3}x^3+\dfrac{15}{2}x^3+\dfrac{15}{2}x^2y-\cancel{30x^2y^2}-\dfrac{25}{4}x^2y+\cancel{5x^2y^2}+\cancel{25x^2y^2}-\dfrac{5}{4}x^2y-2x^3=

Ora non resta che sommare i termini simili:

= \left( -\dfrac{13}{3}+\dfrac{15}{2}-2\right)x^3+\left(\underbrace{ \dfrac{15}{2}-\dfrac{25}{4}-\dfrac{5}{4}}_{0}\right)x^2y= \dfrac{7}{6}x^3

Esercizio 4

Calcolare la seguente espressione:

\scriptsize x^2 \left( \dfrac{1}{4}x^2+xy+3y^2\right)\left( 6x-\dfrac{2}{3}y\right)-2x^2y^2\left( \dfrac{26}{3}x-y\right)-\dfrac{1}{2}x^4\left( 3x+\dfrac{7}{2}y\right)-4x^4y

Eseguiamo i prodotti quindi sommiamo i termini simili. Nella prima parte dell’espressione abbiamo il prodotto di un monomio per un trinomio per un binomio. Possiamo cominciare eseguendo ad esempio il prodotto del monomio per il trinomio, moltiplicando poi il risultato ottenuto per il binomio.

\scriptsize \begin{align*} &x^2 \left( \dfrac{1}{4}x^2+xy+3y^2\right)\left( 6x-\dfrac{2}{3}y\right)-2x^2y^2\left( \dfrac{26}{3}x-y\right)-\dfrac{1}{2}x^4\left( 3x+\dfrac{7}{2}y\right)-4x^4y = \\ \\ & =  \left( \dfrac{1}{4}x^4+x^3y+3x^2y^2 \right) \left( 6x-\dfrac{2}{3}y\right)-\dfrac{52}{3}x^3y^2+2x^2y^3-\dfrac{3}{2}x^5-\dfrac{7}{4}x^4y-4x^4y= \\ \\ & =\cancel{ \dfrac{3}{2}x^5}+6x^4y+18x^3y^2-\dfrac{1}{6}x^4y-\dfrac{2}{3}x^3y^2-\cancel{2x^2y^3}-\dfrac{52}{3}x^3y^2+\cancel{2x^2y^3}-\cancel{\dfrac{3}{2}x^5}-\dfrac{7}{4}x^4y -4x^4y= \\ \\ & =\left( 6-\dfrac{1}{6}-\dfrac{7}
{4}-4\right)x^4y +\left( 18-\dfrac{2}{3}-\dfrac{52}3{}\right)x^3y^2 = \dfrac{1}{12}x^4y\end{align*}

Esercizio 5

Calcolare:

\scriptsize -\dfrac{1}{3}(-xy)^2\left[ 9\left( 3x^2-9xy-y^2\right)-3(x-y)(y+3x)\right]-(-2xy)^3+x^3y^2(6x-33y)-x^2y^4

Le prime operazioni ad avere la precedenza sono le potenze. Calcoliamo così anzitutto le potenze di monomi. In più possiamo allo stesso tempo eseguire alcune moltiplicazioni:

\scriptsize \begin{align*} &-\dfrac{1}{3}(-xy)^2\left[ 9\left( 3x^2-9xy-y^2\right)-3(x-y)(y+3x)\right]-(-2xy)^3+x^3y^2(6x-33y)-x^2y^4 = \\ \\ & = -\dfrac{1}{3}x^2y^2 \left( 27x^2-81xy-9y^2-3xy+3y^2-9x^2+9xy\right)-(-8x^3y^3)+6x^4y^2-33x^3y^3-x^2y^4= \end{align*}

Osserviamo che per calcolare il prodotto -3(x-y)(y+3x) basta moltiplicare tra loro i polinomi x-y e y+3x moltiplicando la quantità -3 a ciascun termine ottenuto. Proseguendo i passaggi:

\begin{align*} &=-\cancel{9x^4y^2}+\cancel{27x^3y^3}+3x^2y^4+\cancel{x^3y^3}-x^2y^4+\cancel{3x^4y^2}-\cancel{3x^3y^3}+\cancel{8x^3y^3}+\\ \\ & +\cancel{6x^4y^2}-\cancel{33x^3y^3}-x^2y^4 =  \\ \\ & = x^2y^4\end{align*}

Esercizio 6

Concludiamo con la seguente espressione:

\scriptsize-(-a^2b)^3-[a(-2ab)^2(a-2b)-(a^4-b)(a+4b)]+4b^2(a^4+1)-a^4(a^2b^3+4b+a)-ab(4a^2b^2-1)

Come per l’esercizio precedente ricordiamo che le prime operazioni ad avere la precedenza sono le potenze. Ed in particolare compaiono nell’espressione due potenze di un monomio: (-a^2b)^3 e (-2ab)^2. Abbiamo:

\scriptsize \begin{align*} &-(-a^2b)^3-[a(-2ab)^2(a-2b)-(a^4-b)(a+4b)]+4b^2(a^4+1)-a^4(a^2b^3+4b+a)-ab(4a^2b^2-1) = \\ \\ & = -(-a^6b^3)-[a\cdot4a^2b^2\cdot(a-2b)-(a^5-ab+4a^4b-4b^2)]+4a^4b^2+4b^2-a^6b^3-4a^4b-a^5-4a^3b^3+ab= \\ \\ & = a^6b^3-\left( 4a^4b^2-8a^3b^3-a^5+ab-4a^4b+4b^2\right)+4a^4b^2+4b^2-a^6b^3-4a^4b-a^5-4a^3b^3+ab = \\ \\ & = \cancel{a^6b^3}-\cancel{4a^4b^2}+8a^3b^3+\cancel{a^5}-\cancel{ab}+\cancel{4a^4b}-\cancel{4b^2}+\cancel{4a^4b^2}+\cancel{4b^2}-\cancel{a^6b^3}-\cancel{4a^4b}-\cancel{a^5}-4a^3b^3+\cancel{ab}= \\ \\ & = 4a^3b^3\end{align*}

Per questa scheda di esercizi sulle espressioni con somme e prodotti di polinomi è tutto. Buon proseguimento!


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