Formula risolutiva ridotta (e ridottissima)

 - 

Equazioni (superiori)

Proseguiamo lo studio delle equazioni di secondo grado introducendo la formula risolutiva ridotta. Tale formula si può utilizzare nel caso in cui il coefficiente {b} dell’equazione di secondo grado in forma normale sia divisibile per due, ovvero pari.

In tale circostanza, come vedremo tra un istante la formula risolutiva può essere espressa in una forma semplificata che alleggerisce i calcoli necessari per determinare le eventuali soluzioni dell’equazione data. Dunque, grazie alla formula risolutiva ridotta possiamo ricavare le soluzioni di un’equazione di secondo grado con una minore complessità dei calcoli da effettuare.

Mostreremo infine un’ulteriore variante della formula risolutiva generale, data dalla formula ridottissima. Quest’ultima è applicabile però esclusivamente nel caso in cui il coefficiente {a} dell’equazione di secondo grado in forma normale sia uguale a {1}.

Fatte le dovute premesse, vediamo subito la formula risolutiva ridotta e la formula risolutiva ridottissima per le equazioni di secondo grado.

Formula risolutiva ridotta per le equazioni di secondo grado (coefficiente b divisibile per due)

Consideriamo un’equazione di secondo grado in forma normale:

ax^2+bx+c=0, \qquad a, \: b, \: c \in \mathbb{R}, \quad a \neq 0

Supponiamo che il coefficiente {b} sia divisibile per due. Sotto tale ipotesi, {b} sarà della forma {2d}, ovvero sarà esprimibile come il doppio di un certo numero reale {d}.

Possiamo allora riesprimere l’equazione nella forma:

ax^2+2dx+c=0

e quindi ponendo {A=a}, {B=2d} e {C=c} otteniamo l’equazione in forma normale:

Ax^2+Bx+C=0

e possiamo trovare le eventuali soluzioni dell’equazione come segue:

\begin{align*} & x_{1,2} = \dfrac{-B\pm \sqrt{B^2-4AC}}{2A}=\dfrac{-2d \pm \sqrt{\left( -2d\right)^2-4 ac}}{2a}=\\ \\ & =\dfrac{-2d\pm \sqrt{4d^2-4ac}}{2a}= \dfrac{-2d \pm\sqrt{4(d^2-ac)}}{2a}= \\ \\ & =\dfrac{-2d\pm 2\sqrt{d^2-ac}}{2a}=\dfrac{\cancel{2}\left(-d\pm \sqrt{d^2-ac}\right)}{\cancel{2}a}= \\ \\ & =\dfrac{-d \pm \sqrt{d^2-ac}}{a}= \end{align*}

Ora, poiché {b=2d} si ha {d=\dfrac{b}{2}}. Così risostituendo alla lettera {d} la quantità {\dfrac{b}{2}} otteniamo, proseguendo i passaggi:

 \begin{align*} & =\dfrac{-\dfrac{b}{2}\pm \sqrt{\left( \dfrac{b}{2}\right)^2-ac}}{a} = \dfrac{-\dfrac{b}{2}\pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4}-ac}}{a}=\\ \\ & =\dfrac{-\dfrac{b}{2}\pm \sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4}}}{a} \end{align*}

Così nel caso in cui il coefficiente {b} sia divisibile per due possiamo ricavare le soluzioni di un’equazione di secondo grado in forma normale con la seguente formula ridotta:

x_{1,2} = \dfrac{-\dfrac{b}{2}\pm \sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4}}}{a}=\dfrac{-\dfrac{b}{2} \pm \sqrt{\dfrac{\Delta}{4}}}{a}

La quantità {\dfrac{\Delta}{4}} è detta discriminante ridotto, e per la presenza di tale quantità la formula risolutiva ridotta è anche nota come formula del delta quarti.

Tuttavia, allo scopo di rendere i calcoli i più semplici possibili, è consigliabile utilizzare la formula ridotta nella seguente variante:

\boxed{x_{1,2} = \dfrac{-\dfrac{b}{2}\pm \sqrt{\left( \dfrac{b}{2}\right)^2-ac}}{a}}

In conclusione questa è la formula risolutiva ridotta da utilizzare negli esercizi (nel caso di coefficiente {b} divisibile per due).

Vediamo subito degli esempi sull’utilizzo della formula risolutiva ridotta per le equazioni di secondo grado.

Esempio 1 (formula risolutiva ridotta)

Risolvere la seguente equazione di secondo grado utilizzando la formula risolutiva ridotta:

5x^2-2x-16=0

Abbiamo un’equazione di secondo grado già in forma normale.

La formula ridotta è convenientemente applicabile in quanto il coefficiente {b} è divisibile per {2}. Proviamo allora a calcolare le soluzioni utilizzando proprio la formula risolutiva ridotta. Eventualmente ci fermeremo se la quantità all’interno della radice dovesse risultare minore di zero. Infatti in tal caso avremmo {\dfrac{\Delta}{4}<0} e quindi {\Delta < 0} (equazione impossibile).

Abbiamo:

\begin{align*} & x_{1,2} = \dfrac{-\dfrac{b}{2}\pm \sqrt{\left( \dfrac{b}{2}\right)^2-ac}}{a}=\\ \\ & =\dfrac{-\left(-\dfrac{2}{2}\right)\pm \sqrt{\left( -\dfrac{2}{2}\right)^2- 5 \cdot (-16)}}{5}= \\ \\ & =\dfrac{1 \pm \sqrt{1+80}}{5}=\dfrac{1 \pm \sqrt{81}}{5}=\dfrac{1\pm 9}{5}= \begin{cases}2 \\ \\ -\dfrac{8}{5} \end{cases}\end{align*}

Precisiamo che avremmo comunque potuto risolvere l’equazione utilizzando la formula risolutiva generale, anche se con calcoli leggermente più complicati. Infatti abbiamo:

\begin{align*} &x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}= \dfrac{2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 5 \cdot (-16)}}{2 \cdot 5 }= \\ \\ & =\dfrac{2 \pm \sqrt{4+320}}{10}=\dfrac{2 \pm \sqrt{324}}{10}=\dfrac{2 \pm 18}{10}= \begin{cases}2 \\ \\ -\dfrac{8}{5} \end{cases}\end{align*}

e ritroviamo le soluzioni già ottenute con la formula ridotta. Osserviamo che in questo caso nell’applicare la formula risolutiva generale ci siamo ritrovati con il radicale {\sqrt{324}}, il cui risultato è sicuramente più difficile da calcolare a memoria rispetto a quello del radicale {\sqrt{81}} incontrato con la formula ridotta. Di qui il vantaggio dell’uso ove possibile di quest’ultima formula.

Esempio 2

Risolvere la seguente equazione applicando la formula ridotta:

25x^2-20x+4=0

Ricerchiamo le eventuali soluzioni con la formula risolutiva ridotta:

\begin{align*} & x_{1,2} = \dfrac{-\dfrac{b}{2}\pm \sqrt{\left( \dfrac{b}{2}\right)^2-ac}}{a}=\dfrac{-\left( -\dfrac{20}{2}\right)\pm \sqrt{\left( -\dfrac{20}{2}\right)^2-25 \cdot 4}}{25}= \\ \\ & =\dfrac{10 \pm \sqrt{100-100}}{25}=\dfrac{10 \pm 0}{25}=\dfrac{2}{5} \end{align*}

Otteniamo così le due soluzioni reali e coincidenti:

x_1=\dfrac{2}{5}, \qquad x_2 = \dfrac{2}{5}

L’utilizzo della formula ridotta nel caso in cui {b} non sia divisibile per {2} è comunque lecito, ma complica inutilmente i calcoli, come mostra il seguente esempio.

Esempio 3 (applicazione errata della formula ridotta)

Proviamo a risolvere, sbagliando, la seguente equazione utilizzando la formula ridotta:

x^2+7x+6=0

Chiaramente la formula ridotta non è convenientemente applicabile, poiché il coefficiente {b=7} non è divisibile per due. Proviamo ugualmente:

\begin{align*}&x_{1,2} = \dfrac{-\dfrac{7}{2}\pm \sqrt{\left( \dfrac{7}{2}\right)^2-1 \cdot 6}}{1}= \dfrac{-\dfrac{7}{2}\pm \sqrt{\dfrac{49}{4}-6}}{1}= \\ \\ & =-\dfrac{7}{2}\pm \sqrt{\dfrac{49-24}{4}}=-\dfrac{7}{2}\pm \sqrt{\dfrac{25}{4}}=-\dfrac{7}{2}\pm \dfrac{5}{2}=\begin{cases}-1 \\ \\ -6 \end{cases} \end{align*}

Vediamo i calcoli applicando correttamente la formula risolutiva generale:

x_{1,2} = \dfrac{-7 \pm \sqrt{7^2-4 \cdot 1 \cdot 6}}{2\cdot 1}=\dfrac{-7 \pm \sqrt{49-24}}{2}=\dfrac{-7\pm 5}{2}=\begin{cases} -1 \\ \\ -6\end{cases}

Come possiamo vedere la formula risolutiva ridotta in questo caso ha complicato leggermente i calcoli. Stiamo dunque attenti ad utilizzare la formula ridotta soltanto nell’ipotesi in cui il coefficiente {b} sia divisibile per due.

Formula risolutiva ridottissima

Nel caso in cui ci ritroviamo con un’equazione di secondo grado tale da avere:

• coefficiente {a=1};
• coefficiente {b} divisibile per due;

possiamo utilizzare la seguente formula risolutiva, detta formula risolutiva ridottissima:

x_{1,2} = -\dfrac{b}{2}\pm \sqrt{\left( \dfrac{b}{2}\right)^2-c}

La formula si ottiene a partire dalla precedente formula ridotta, ponendo {a=1}.

Attenzione: la formula ridottissima può essere usata esclusivamente per le equazioni di secondo grado con coefficiente {a=1} e con coefficiente {b} divisibile per due.

Vediamo un esempio sull’utilizzo della formula ridottissima.

Esempio (formula ridottissima)

Risolvere la seguente equazione di secondo grado utilizzando la formula ridottissima:

x^2+6x-7=0

Abbiamo {a=1} e coefficiente {b} divisibile per due. Valendo entrambe le condizioni possiamo applicare la formula ridottissima:

\begin{align*} & x_{1,2}=-\dfrac{b}{2}\pm \sqrt{\left( \dfrac{b}{2}\right)^2-c}=-\dfrac{6}{2}\pm \sqrt{\left( \dfrac{6}{2}\right)^2-(-7)}= \\ \\ & =-3 \pm \sqrt{3^2+7}=-3 \pm \sqrt{16}=-3 \pm 4 = \begin{cases}1 \\ \\ -7 \end{cases}\end{align*}

Quando usare le formule ridotte?

In generale, data un’equazione di secondo grado in forma normale:

ax^2+bx+c=0

la prima cosa da guardare è il coefficiente {b}. In particolare, se questo è dispari, utilizzeremo direttamente la formula risolutiva generale per le equazioni di secondo grado:

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

Nel caso in cui il coefficiente {b} sia invece pari (ovvero, divisibile per due), potremo comunque utilizzare la formula risolutiva generale oppure utilizzare la formula ridotta, in modo da semplificare i calcoli:

x_{1,2} = \dfrac{-\dfrac{b}{2}\pm \sqrt{\left( \dfrac{b}{2}\right)^2-ac}}{a}, \qquad \text{con} \: b \: \text{pari}

Infine, se siamo nel caso in cui il coefficiente {b} è pari e allo stesso tempo il coefficiente {a} è uguale a {1}, possiamo utilizzare la formula ridottissima:

x_{1,2} =-\dfrac{b}{2}\pm \sqrt{\left( \dfrac{b}{2}\right)^2-c}, \qquad \text{con} \: a=1, b \:\: \text{pari}

Osserviamo in conclusione che per tutte le formule risolutive la quantità sotto radice deve essere positiva o al più nulla. Diversamente l’equazione è impossibile e non ammette soluzioni reali. Per cui non appena ci ritroviamo con una quantità negativa all’interno del simbolo di radice dobbiamo arrestare i calcoli e concludere che l’equazione è impossibile (non esistono soluzioni reali).

Infine, noi di SìMatematica consigliamo di utilizzare sempre la formula risolutiva generale. Infatti, a nostro modesto avviso ciò che si guadagna nella semplificazione dei calcoli non vale lo sforzo di dover ricordare le formule ridotte. Tuttavia, ci sono indubbiamente delle situazioni nelle quali l’uso delle formule ridotte è sicuramente vantaggioso. Questo è il caso ad esempio di quando ci viene richiesto di risolvere delle equazioni di secondo grado senza l’uso della calcolatrice. Infatti, poiché a volte non è facile ricordarsi a memoria i risultati di alcune radici quadrate, l’uso della formula ridotta può rivelarsi in circostanze di questo tipo di grande aiuto.

Per quanto riguarda la formula risolutiva ridotta e la formula risolutiva ridottissima per le equazioni di secondo grado è tutto. Dalla prossima lezione ci occuperemo delle equazioni di grado superiore al secondo. Buon proseguimento!