Funzione polinomiale e polinomi identici

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Monomi e polinomi (superiori)

Introduciamo il concetto di funzione polinomiale in modo da poter poi fornire la definizione di polinomi identici.

Consideriamo polinomi contenenti la sola lettera {x}, ovvero polinomi nella forma generale:

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dots +a_1x+a_0

Quella appena scritta è la rappresentazione di un polinomio nella sola variabile {x} a coefficienti reali (a_0, \: a_1, \: \dots a_n \in \mathbb{R}) e avente grado {n \in \mathbb{N}}.

Ad esempio il polinomio:

5x^3-9x^2+7x-4

è un polinomio di terzo grado completo ed ha coefficienti {a_3 =5, a_2=\: -9, a_1 = \: 7} e {a_0 = -4}. Notiamo che il pedice nelle lettere che indicano i coefficienti coincide con il grado del termine corrispondente.

Invece il polinomio:

2x^2+7

è un polinomio di secondo grado non completo ed ha per coefficienti {a_2=2, \: a_1 = 0} e {a_0=7}. Notiamo che il termine in {x} (termine di grado {1}) è mancante e quindi il corrispondente coefficiente {a_1} è zero.

Ora, la funzione:

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \: | \: x \rightarrow a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+ \dots + a_1x+a_0

la cui espressione è un polinomio di grado {n} si dice funzione polinomiale del polinomio dato e si indica con {f(x)}. Ovviamente la funzione sarà caratterizzata dai valori dei coefficienti {a_0, \: a_1, \: \dots a_n}.

Ad esempio, dato il polinomio:

3x^2-2x+8

la corrispondente funzione polinomiale è:

f(x)=3x^2-2x+8

Ora, dato un certo valore {c} della {x}, il valore assunto da tale funzione in {c} stesso si indica con {f(c)} ed è l’immagine di {c} per mezzo della funzione {f}. Viceversa, {c} è controimmagine di {f(c)}.

Nel particolare caso in cui {c} abbia immagine zero, ovvero nel caso in cui si abbia:

f(c)=0

diciamo che {c} è uno zero della funzione, o zero del polinomio.

Lo zero di un polinomio è un valore che sostituito alla {x} rende nulla la funzione polinomiale corrispondente.

In parole più semplici diciamo che uno zero di un polinomio è un valore della {x} che annulla il polinomio.

Così se {c} è uno zero di un polinomio {P(x)} avremo:

P(c)=0

Valori di una funzione polinomiale (valutazione dei polinomi)

Dato il polinomio:

x^2+2x+6

i valori della corrispondente funzione polinomiale {f(x)=x^2+2x+6} per {x= 1} e {x=3} sono:

f(1)=1^2+2\cdot1+6=9

f(3)=3^2+2\cdot3+6=9+6+6=21

In alternativa diremo semplicemente che sostituendo alla {x} i valori {1} e {3} il polinomio vale rispettivamente:

P(1)=9, \qquad P(3)=21

Polinomi identici

Vediamo ora la definizione di polinomi identici:

Due polinomi si dicono identici se condividono lo stesso coefficiente per ciascun termine di uguale grado.

In linguaggio formale, i due polinomi

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots + a_0; \quad b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\dots  b_0

sono identici soltanto se vale {a_i=b_i} per ogni {i \in \{0,\: 1, \: \dots \: n\}}.

Chiaramente, se due polinomi sono identici le corrispondenti funzioni polinomiali dovranno assumere per ogni {x} lo stesso valore.

Ora, la definizione di polinomi identici è interessante considerando polinomi aventi coefficienti parametrici, ovvero coefficienti il cui valore dipende da uno o più parametri.

Esempio

Stabilire per quali valori del parametro {a} i seguenti due polinomi sono identici:

(2+a)x^2+7x+1; \qquad 5ax^2+7x+1

I coefficienti dei termini in {x} e i termini noti dei due polinomi sono tra loro uguali. Ma per poter dire che i due polinomi sono identici devono essere uguali tra loro anche i coefficienti dei termini in {x^2}. Uguagliando tra loro i coefficienti dei termini in {x^2} abbiamo:

2+a=5a

e quindi:

2+a-a=5a-a \quad \Rightarrow \quad 2=4a \quad \Rightarrow 2:4=4a:4 \quad \Rightarrow a=\dfrac{1}{2}

Quindi per il valore del parametro {a=\dfrac{1}{2}} i due polinomi sono identici.

Ritorneremo sull’argomento dell’identità dei polinomi (polinomi identici, principio di identità dei polinomi) una volta effettuato lo studio dei sistemi di primo grado. A quel punto potremo presentare esempi più complessi.

Per quanto riguarda i concetti di funzione polinomiale e polinomi identici per il momento è tutto. Buon proseguimento!