L’insieme delle parti (o insieme potenza) di un insieme A è un particolare insieme che ha per elementi tutti i possibili sottoinsiemi (propri e impropri) dell’insieme A. Così, l’insieme delle parti ha come particolarità quella di essere un insieme di insiemi, ovvero un insieme i cui elementi sono a loro volta insiemi.
In questa lezione ci occuperemo di tutti gli aspetti relativi all’insieme delle parti di un insieme: che cos’è (definizione), come si determina (ovvero come si costruisce) ed infine calcolarne il numero di elementi conoscendo il numero di elementi dell’insieme di partenza. Osserviamo che è importante saper determinare il numero di elementi dell’insieme delle parti di un dato insieme, poiché in questo modo potremo controllare se abbiamo scritto tutti gli elementi dell’insieme delle parti stesso.
Ma vediamo per prima cosa la definizione di insieme delle parti di un dato insieme (o insieme potenza), anche utilizzando l’opportuna notazione simbolica.
Definizione di insieme delle parti di un insieme
Consideriamo un insieme {A}. L’insieme delle parti di {A}, o insieme potenza di {A}, è un particolare insieme che contiene tutti i sottoinsiemi propri ed impropri dell’insieme {A}. L’insieme potenza di un insieme {A} si indica con il simbolo: {\mathscr{P}(A)}
Osserviamo che la definizione di insieme potenza è valida sia per insiemi finiti, sia per insiemi infiniti. Tuttavia, nel caso degli insiemi infiniti la definizione si complica notevolmente e rientra nell’ambito di corsi universitari. In queste lezioni per le scuole medie e superiori ci limiteremo unicamente a considerare l’insieme potenza di un insieme finito.
Quanti elementi ha l’insieme delle parti?
Vediamo ora come stabilire quanti elementi ha l’insieme delle parti (o insieme potenza).
Consideriamo un insieme {A} finito, avente {n} elementi, con {n \in \N}. In simboli: {\text{card}(A)=n, \qquad n \in \N}L’insieme delle parti di {A}, ovvero {\mathscr{P}(A)}, ha esattamente {2^n} elementi: {\text{card}[\mathscr{P}(A)] = 2^n, \qquad n \in \N}
Osserviamo che nelle uguaglianze appena scritte abbiamo fatto uso della nozione di cardinalità di un insieme, vista nella scorsa lezione. Ricordiamo comunque che la cardinalità di un insieme finito è uguale al numero di elementi dell’insieme.
Ora, la relazione appena fornita per il numero degli elementi dell’insieme potenza è molto utile negli esercizi. Infatti, grazie ad essa, dopo aver scritto l’insieme potenza di un dato insieme con {n} elementi, possiamo contare gli elementi che abbiamo riportato e verificare che questi siano in numero {2^n}. In altre parole, se abbiamo scritto correttamente l’insieme potenza di un insieme di {n} elementi, l’insieme potenza stesso dovrà avere {2^n} elementi.
Vediamo ora subito degli esempi su come determinare l’insieme potenza o insieme delle parti di un insieme finito.
Esempi (insieme delle parti di un insieme finito)
Esempio 1
Determinare l’insieme potenza dell’insieme:
A=\{1, \: 2, \: 3 \}
Consideriamo tutti i sottoinsiemi dell’insieme {A}, ovvero tutti i sottoinsiemi propri più tutti i sottoinsiemi impropri di {A}.
Ricordiamo che un generico sottoinsieme proprio di {A} è un qualsiasi insieme {B} tale da rispettare la relazione di inclusione {B \subset A}. I sottoinsiemi impropri sono i rimanenti sottoinsiemi che rispettano invece la sola generica relazione di inclusione {A \subseteq B}. In altre parole, i sottoinsiemi impropri di un insieme {A} sono l’insieme stesso e l’insieme vuoto.
Così più brevemente l’insieme potenza dell’insieme {A} è un insieme che contiene:
- tutti i sottoinsiemi propri di {A}, ovvero tutti gli insiemi del tipo {B} tali che {B \subset A};
- l’insieme {A} stesso;
- l’insieme vuoto.
Così per l’insieme {A={1, \: 2, \: 3 }} abbiamo:
\mathscr{P}(A)=\{\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2, 3\},\{1,2,3\}, \emptyset\}
Prestiamo anzitutto attenzione alla notazione utilizzata. Abbiamo una coppia di parentesi graffe esterne che rappresenta “il contenitore” dell’insieme potenza, e all’interno altre coppie di parentesi graffe, ciascuna delle quali rappresenta un sottoinsieme dell’insieme potenza e ne contiene i corrispondenti elementi. Dunque la presenza di parentesi graffe esterne ed interne conferma anche graficamente che l’insieme potenza è un insieme i cui elementi sono ancora insiemi.
Infatti, indicati con {A_{P1}, A_{P2}, \dots, A_{Pn}} i sottoinsiemi propri di {A}, potremmo scrivere l’insieme potenza di {A} anche nella seguente forma:
\mathscr{P}(A)=\{A_{P1}, \: A_{P2}, \: A_{P3}, \: A_{P4}, \: A_{P5}, \: A_{P6}, A, \emptyset \}
ove {\small{A_{P1}=\{1\}, \: A_{P2} = \{2\}, \: A_{P3} = \{3\}, A_{P4}=\{1, \: 2\}, A_{P5} = \{1, \: 3\}, \: A_{P6} = \{2, \: 3\}}}.
Osserviamo che quest’ultima forma non è in realtà necessaria negli esercizi, ma abbiamo qui ritenuto comunque utile riportarla poiché evidenzia ancor meglio come l’insieme potenza di un insieme sia un insieme che ha per elementi ancora degli insiemi. 😉
A questo punto, verifichiamo che il numero di elementi dell’insieme potenza scritto sia corretto. Poiché l’insieme {A} ha 3 elementi, ed ha quindi cardinalità uguale a 3, l’insieme potenza dovrà avere {2^3=8} elementi, ovvero cardinalità uguale a 8. Effettivamente, con riferimento alla rappresentazione per elencazione dell’insieme {\mathscr{P}(A)}, contiamo 8 elementi. Quindi possiamo affermare che il numero di elementi dell’insieme potenza è corretto.
Osservazione. Possiamo scrivere in forma generica l’insieme delle parti (o insieme potenza) di un dato insieme finito {A} avente {n} elementi come: {\mathscr{P}(A)={\{\emptyset, A,A_{Pi} \subset A, \: i=1, \: 2, \: \dots,\: 2^n-2 \}}}In altre parole, se {\text{card}(A)=n}, gli elementi dell’insieme delle parti di {A} saranno sempre dati dall’insieme vuoto, dallo stesso insieme {A} e infine da {2^n-2} sottoinsiemi propri di {A}.
Osservazione. Come per un qualsiasi insieme, anche nell’insieme potenza l’ordine con il quale si susseguono gli elementi nella rappresentazione per elencazione non ha importanza.
Esercizio 2
Determinare l’insieme delle parti (o insieme potenza) dell’insieme:
A=\{5, \: 6, \: 7\}
Poiché {\text{card}(A)=3}, l’insieme delle parti di {A} dovrà avere {2^3=8} elementi.
Cominciamo scrivendo i sottoinsiemi propri dell’insieme {A}:
\{5\}, \: \left\{ 6\right\}, \: \left\{ 7\right\}, \: \left\{ 5, 6\right\}, \: \left\{ 5, 7\right\}, \: \left\{ 6, 7\right\}
Attenzione. Stiamo attenti a non incorrere nell’errore di scrivere ad esempio entrambi gli insiemi {\left\{ 5, 7\right\}} e {\left\{ 7,5\right\}}. Poiché infatti l’ordine con il quale si presentano gli elementi all’interno di un insieme non conta, i due insiemi sono uguali. E nello scrivere gli elementi dell’insieme potenza, come per un qualsiasi insieme, dobbiamo evitare le ripetizioni. 😉
Ora scriviamo i sottoinsiemi impropri dell’insieme {A}, che come per un qualsiasi altro insieme sono l’insieme {A} stesso e l’insieme vuoto:
\left\{ 5, 6, 7\right\}, \: \emptyset
Così in conclusione abbiamo:
\small \mathscr{P}(A)=\left\{\{5\}, \: \left\{ 6\right\}, \: \left\{ 7\right\}, \: \left\{ 5, 6\right\}, \: \left\{ 5, 7\right\}, \: \left\{ 6, 7\right\}, \left\{ 5, 6, 7\right\}, \: \emptyset \right\}
ed effettivamente abbiamo otto elementi, ovvero:
\text{card}\left[ \mathscr{P}(A)\right]=8
Attenzione. Il fatto che il numero di elementi dell’insieme potenza sia giusto è necessario affinché l’insieme potenza stesso sia scritto correttamente, ma allo stesso tempo non assicura che gli elementi dell’insieme potenza siano stati scritti tutti esattamente. In particolare, prestiamo sempre molta attenzione nello scrivere i sottoinsiemi propri dell’insieme dato, ricordando ancora una volta che non sono ammesse ripetizioni.
Conclusioni
Per questa lezione sull’insieme delle parti (o insieme potenza) è tutto. Prima di salutarci, precisiamo che il concetto di insieme delle parti è diverso da quello di partizione di un insieme. Ci occuperemo della definizione di partizione di un insieme in una successiva lezione, ma non prima di aver introdotto le operazioni tra insiemi. Così, l’argomento della prossima lezione sarà la prima operazione tra insiemi, ovvero l’unione di insiemi. Buon proseguimento con SìMatematica! 🙂
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