Insieme vuoto

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Insiemi

L’insieme vuoto è un particolare insieme che ha la caratteristica di non contenere nessun elemento. In altre parole, all’insieme vuoto non appartiene nessun elemento.

La definizione di insieme vuoto può così apparire piuttosto semplice, ma in realtà richiede comunque opportune accortezze. Molto spesso infatti si tende ad identificare il concetto di nulla con il numero zero. Ma in realtà, come vedremo nel corso della lezione, lo zero è pur sempre un numero e quindi non ha niente a che fare con il concetto di insieme vuoto. Tuttalpiù, quello che possiamo dire è che l’insieme vuoto ha un quantitativo di elementi uguale a zero.

Nel corso della lezione, infine, non mancheremo di mettere in relazione il concetto di insieme vuoto con le modalità di rappresentazione degli insiemi. In particolare, mostreremo come l’insieme vuoto possa essere rappresentato sia tramite la rappresentazione degli insiemi per elencazione (o estensiva), sia attraverso la rappresentazione degli insiemi intensiva (o per proprietà caratteristica, o rappresentazione implicita). E utilizzando la rappresentazione per proprietà caratteristica, vedremo come l’insieme vuoto può essere indicato in infiniti modi.

Definizione di insieme vuoto

L’insieme vuoto è un insieme tale da non contenere nessun elemento.

E’ possibile rappresentare l’insieme vuoto in vari modi. Prima di tutto, esiste un simbolo espressamente dedicato ad esso:

\empty \qquad \text{insieme vuoto}

In pratica si tratta di uno zero spaccato, ma che a volte possiede forme più vicine ad una o maiuscola (sempre spaccata).

Inoltre, utilizzando la rappresentazione estensiva o per elencazione degli insiemi, l’insieme vuoto diviene:

\{ \}

In pratica, abbiamo una coppia di parentesi graffe al cui interno non è presente nessun elemento.

Per quanto riguarda la rappresentazione per proprietà caratteristica (o intensiva), esistono infiniti modi per rappresentare l’insieme vuoto.

Ad esempio, l’insieme:

C=\{x \in \Z \: | \: x^2 < 0 \}

è l’insieme vuoto poiché non esiste alcun numero relativo il cui quadrato sia minore di zero.

Allo stesso modo, l’insieme:

D=\{x \in \Z_{-} \: | \: x^3 > 0 \:  \}

è ancora l’insieme vuoto, poiché non esiste nessun numero intero negativo il cui cubo sia positivo (ricordiamo che {\Z_{-}} è l’insieme dei numeri interi relativi negativi).

E tanti altri esempi si potrebbero fare. Ad esempio, l’insieme degli uomini che hanno mille anni di età è l’insieme vuoto, così come l’insieme dei cani che parlano è ancora l’insieme vuoto.

Di conseguenza è possibile rappresentare l’insieme vuoto in infiniti modi.. oppure esistono infiniti insiemi vuoti? In realtà non esiste una risposta universalmente condivisa a questa domanda, ma qui intenderemo sempre che l’insieme vuoto è unico, e tuttalpiù può essere rappresentato in infiniti modi.

Un’utilità pratica dell’insieme vuoto è ad esempio quella di indicare che un’equazione non ammette alcuna soluzione. Ad esempio la semplice equazione di primo grado:

x=x+7

è impossibile, in quanto si riduce all’identità numerica:

0=7

che è falsa. Così diciamo che l’insieme delle soluzioni {S} dell’equazione è uguale all’insieme vuoto, ovvero:

S= \empty

Tale scrittura è un modo simbolico per esprimere il fatto che ad esempio un’equazione è impossibile, o più in generale che non esiste alcuna soluzione per il problema dato.

Insieme vuoto ed insieme che contiene lo zero

Ora, attenzione. Il seguente insieme:

\{0 \}

non è l’insieme vuoto, ma è semplicemente un insieme che contiene il solo elemento {0}. E’ qui importante sottolineare che lo zero pur avendo valore nullo è comunque un numero, e di conseguenza all’interno di un insieme conta come elemento al pari degli altri.

Così, l’insieme {\{ 0 \}} è un insieme unitario contenente l’elemento {0}.

Nota. Si dice unitario un qualunque insieme che contiene un solo elemento. Così ad esempio l’insieme dei numeri naturali compresi fra 2 e 4 esclusi gli estremi è unitario.

Per convincersi del fatto che l’insieme {\{0\}} non è l’insieme vuoto basta considerare l’equazione di primo grado:

3x=0

la quale ha come soluzione {x=0}. Di conseguenza l’insieme delle soluzioni è:

S=\{0\}

e l’equazione è possibile. Infatti, nel suo insieme delle soluzioni abbiamo un elemento, e quindi una soluzione. Invece, non è la stessa cosa scrivere:

S=\empty

poiché in questo caso intendiamo che l’equazione non ammette soluzioni ed è quindi impossibile.

Rappresentazione con i diagrammi di Venn

L’insieme vuoto si rappresenta con i diagrammi di Venn come segue:

Osservazione. L’insieme vuoto è rappresentato dallo stesso disegno di un insieme infinito. Per cui è importante affiancare al disegno dell’insieme vuoto sempre il simbolo {\emptyset}.

Così per rappresentare l’insieme vuoto con i diagrammi di Venn ci limitiamo a disegnare una linea chiusa, ponendo il simbolo {\empty} vicino ad essa.

Per quanto riguarda la definizione di insieme vuoto è tutto. Nella prossima lezione ci occuperemo dei sottoinsiemi. Buon proseguimento con SìMatematica ed un saluto a tutti voi!