Insiemi

Gli insiemi sono degli oggetti matematici solitamente indicati come una collezione di elementi tali da essere distinti e tali che sia possibile stabilire con certezza se ciascun elemento appartiene all’insieme. Il concetto di insieme è un concetto primitivo e di conseguenza non è possibile stabilire una definizione vera e propria. In qualche modo, nel tentare di fornire la definizione di insieme si utilizzerà sempre un sinonimo della parola “insieme”.

Le lezioni sugli insiemi di SìMatematica sono destinate agli studenti delle scuole medie e superiori e contengono tutti i principali argomenti. Inoltre, ciascuna lezione è corredata da esercizi mirati ad una migliore comprensione del tema trattato.

Nella prima parte viene fornita una definizione di insieme, introducendo il linguaggio di base (anche mediante i simboli), e dopo di che vengono discusse le modalità di rappresentazione degli insiemi (rappresentazione estensiva ed intensiva degli insiemi, diagrammi di Venn).

Dopo aver poi introdotto il concetto di insieme vuoto, viene dedicato ampio spazio ai sottoinsiemi, distinguendo tra sottoinsiemi propri e impropri e discutendo le proprietà dell’inclusione.

Nella seconda parte delle lezioni forniamo la definizione di cardinalità o potenza di un insieme finito, in modo da poter poi introdurre la nozione di insiemi equipotenti (o equipollenti). Si discute poi il concetto di insieme potenza (o insieme delle parti), presentandone una regola per la determinazione della sua cardinalità (nel caso degli insiemi finiti).

Nella terza parte ci dedichiamo all’importante tematica relativa alle operazioni tra insiemi, studiando nell’ordine le operazioni insiemistiche di unione, intersezione e differenza. In particolare, una volta introdotta l’operazione insiemistica di differenza, sarà possibile presentare il concetto di insieme complementare, mostrando esempi e proprietà, tra le quali le leggi di De Morgan.

Nella parte finale di questo corso di lezioni vedremo i concetti di partizione di un insieme (chiarendone la differenza rispetto alla nozione di insieme potenza o insieme delle parti), per poi concludere con la definizione di prodotto cartesiano tra insiemi, con regole ed esempi.

L’obiettivo delle lezioni è quello di esporre i principali concetti relativi agli insiemi, in modo da fornire delle importanti basi necessarie per il proseguimento degli studi di matematica. Come avrete modo di vedere, gli insiemi sono importantissimi per poter risolvere una vasta gamma di problemi matematici. Tra i tanti possibili, degli esempi di applicazione della teoria degli insiemi sono dati dalla rappresentazione delle soluzioni di equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni e disequazioni. In particolare, per un dato problema è possibile costruire il corrispondente insieme delle soluzioni, i cui elementi sono tutti soluzioni del problema dato. E se un’equazione risulterà impossibile, allora il suo insieme delle soluzioni sarà privo di elementi, e come vedremo corrisponderà all’insieme vuoto.

Lezioni sugli insiemi

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