Integrale fratto con funzioni trigonometriche

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Domande e risposte

Come si calcola il seguente integrale fratto con funzioni trigonometriche?

\int \dfrac{\cos^3x}{1+\sin^2 x} \, dx

Proviamo a scomporre il numeratore della funzione da integrare. In particolare, osserviamo che si ha:

\cos^3x = \cos x \cdot \cos^2x =  \cos x (1- \sin^2 x)

Abbiamo qui utilizzato le proprietà delle potenze e la relazione fondamentale della trigonometria.

Per cui per l’integrale di partenza possiamo scrivere:

\int \dfrac{\cos^3x}{1+\sin^2 x} \, dx=\int \dfrac{\cos x (1-\sin^2x) }{1+\sin^2 x} \, dx = \int \dfrac{1-\sin^2x}{1+\sin^2x} \cos x \, dx

E’ ora immediato riconoscere in {\cos x \, dx} il differenziale della funzione {\sin x}. Infatti la derivata di {\sin x} è proprio {\cos x}. Ricordiamo che in generale il differenziale di {f(x)} è dato da {f'(x) \, dx}.

Di conseguenza, possiamo utilizzare la prima formula di integrazione per sostituzione ponendo {\sin x = u}. Per il differenziale abbiamo {\cos x \, dx = du}. Passiamo quindi al calcolo del seguente integrale nella variabile {u}:

\int \dfrac{1-u^2}{1+u^2} \, dt

Ci siamo così ricondotti ad un integrale fratto, che possiamo calcolare utilizzando la divisione tra polinomi (il numeratore dell’integranda è infatti di grado non inferiore al denominatore). Abbiamo:

(1-u^2):(1+u^2) \quad \Rightarrow \quad Q=-1, \quad R=2

Noti quoziente e resto della divisione tra polinomi {P(x):D(x)} in generale abbiamo:

P(x)=Q(x)\cdot D(x)+R(x)

ovvero il prodotto del quoziente per il divisore più il resto restituisce il dividendo. Dividendo entrambi i membri della precedente uguaglianza per il divisore {D(x)} otteniamo:

\dfrac{P(x)}{D(x)}=Q(x)+\dfrac{R(x)}{D(x)}

Questa forma è particolarmente utile per il calcolo degli integrali fratti. In generale abbiamo infatti (grado di {P(x)} non inferiore al grado di {D(x)}):

\int \dfrac{P(x)}{D(x)} \, dx = \int Q(x) \, dx + \int \dfrac{R(x)}{D(x)} \, dx

Per cui dati i risultati relativi al quoziente e resto precedentemente ottenuti, nel nostro caso possiamo scrivere:

\begin{align*} & \int \dfrac{1-u^2}{1+u^2} \, dt=\int -1 \, du +\int \dfrac{2}{1+u^2} \, du=-u+2\int \dfrac{1}{1+u^2} \, du= \\ \\ & =-u+2\arctan u +c \end{align*}

Osserviamo che abbiamo utilizzato per il calcolo il seguente integrale immediato:

\int \dfrac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x +c

Ora poiché avevamo posto {\sin x = u}, risostituendo {\sin x} alla {u} nell’espressione della famiglia di antiderivate nella variabile {u} precedentemente ottenuta abbiamo in conclusione:

\int \dfrac{\cos^3x}{1+\sin^2 x} \, dx=-\sin x + 2 \arctan (\sin x) +c , \qquad c \in \mathbb{R}

Una piccola osservazione finale. In questo esercizio ce la siamo cavata facilmente poiché era possibile scomporre il numeratore dell’integranda. E in particolare questo ci ha permesso di ritrovarci all’interno dell’integrale con una funzione di {\sin x} e con il corrispondente differenziale. In molti casi tuttavia non è possibile riesprimere l’integranda in funzione di una sola funzione trigonometrica. In tal caso è necessario ricorrere alle formule parametriche razionali o comunque ad opportune sostituzioni. Per maggiori informazioni: integrali trigonometrici con sostituzioni parametriche.

Per questo esempio di calcolo di un integrale fratto con funzioni trigonometriche è tutto. Buon proseguimento!