In questa sezione ci occuperemo di vari tipi di disequazioni presentandone i corrispondenti metodi risolutivi. E in questa prima lezione forniremo un’introduzione di carattere generale alle disequazioni, mostrandone le differenze rispetto alle equazioni ed i principi grazie ai quali è possibile risolverle.
Nelle disequazioni vengono utilizzati i simboli di disuguaglianza, che sono:
- maggiore, che si indica con {>};
- minore, che si indica con {<};
- maggiore o uguale, che si scrive {>=};
- minore o uguale, che si scrive {<=}.
Così ad esempio la disequazione:
x > 7
si legge “x maggiore di 7”, mentre la disequazione:
2x < 5
si legge “2x minore di 5”.
Comprendiamo quindi che mentre nelle equazioni abbiamo il solo simbolo di uguaglianza, nelle disequazioni abbiamo più alternative. E la differenza fondamentale tra equazioni e disequazioni sta nell’insieme delle soluzioni che per esse determineremo.
In particolare, mentre per le equazioni determinate otteniamo delle soluzioni date da un insieme finito di valori, per le disequazioni determinate otteniamo delle soluzioni che in generale sono date da intervalli. Così ad esempio mentre un’equazione di primo grado se è determinata ammette una ed una sola soluzione, una disequazione di primo grado se determinata ammette sempre un insieme infinito di soluzioni, ovvero un intervallo di numeri reali.
Così, per le disequazioni ricerchiamo un intervallo di valori tali che, una volta sostituiti ciascuno all’incognita, soddisfano la disequazione data. In altre parole, data ad esempio la disequazione:
x > 7
ricerchiamo tutti i valori che sostituiti alla {x} diano luogo ad una disuguaglianza numerica vera. Così ad esempio se alla {x} sostituiamo il valore {8} otteniamo la disuguaglianza numerica:
8 > 7
la quale è vera. Ma come possiamo vedere esistono altri valori della {x} che soddisfano la disequazione. Ad esempio, se poniamo {x=10} otteniamo la disuguaglianza numerica:
10 > 7
anch’essa vera. Così in conclusione diciamo che la disequazione è soddisfatta per l’insieme dei valori della {x} maggiori di {7}. Ogni altro valore non verifica invece la disequazione. Ad esempio, ponendo {x=4} otteniamo la disuguaglianza numerica:
4 > 7
che è falsa.
L’insieme di valori tali da verificare una disequazione si dice insieme delle soluzioni della disequazione stessa.
Proseguiamo ora questa introduzione alle disequazioni presentando le proprietà delle disequazioni.
Introduzione alle disequazioni: proprietà delle disequazioni
Vediamo ora le più importanti proprietà delle disequazioni, fondamentali per poter risolvere le disequazioni stesse.
Due disequazioni che hanno membri tra loro uguali ma differente simbolo di disuguaglianza di dicono di verso opposto.
Ad esempio le disequazioni {x>7} e {x < 7} sono di verso opposto.
A questo punto è fondamentale per questa introduzione alla disequazioni presentare l’importantissima definizione di disequazioni equivalenti.
Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni.
Consideriamo ad esempio la disequazione:
x < 5
e la disequazione:
2x < 10
Provando a sostituire alla {x} alcuni valori non è troppo complicato accorgersi che entrambe le disequazioni sono verificate per gli stessi valori. Infatti si può dimostrare che le due disequazioni ammettono lo stesso insieme delle soluzioni e si dicono equivalenti.
Introduciamo ora delle proprietà che permettono di riscrivere una disequazione data in forme via via più semplici, in modo da poterla risolvere. Si tratta in particolare dei principi di equivalenza delle equazioni, rivisti per il caso delle disequazioni.
Se aggiungiamo o togliamo ad entrambi i membri di una disequazione uno stesso numero oppure una stessa espressione contenente l’incognita otteniamo una disequazione equivalente a quella di partenza.
Così ad esempio data la disequazione:
x > 3
se aggiungiamo il valore {2} ad entrambi i suoi membri otteniamo una disequazione equivalente a quella di partenza:
x+2>3+2 \quad \Rightarrow \quad x+2> 5
La disequazione appena scritta è infatti verificata per lo stesso insieme di valori che verificano la disequazione di partenza stessa.
Attenzione. La eventuale quantità espressione della {x} che aggiungiamo ad entrambi i membri della disequazione deve essere tale da non alterare il dominio della disequazione stessa. Il discorso è del tutto simile a quanto visto nel caso delle equazioni.
Veniamo ora ad un’altra importantissima proprietà delle disequazioni.
Se moltiplichiamo o dividiamo entrambi i membri della disequazione per uno stesso numero positivo otteniamo una disequazione equivalente a quella data. Se invece moltiplichiamo o dividiamo entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero negativo otteniamo una disequazione di verso opposto a quella di partenza.
La proprietà appena enunciata rappresenta il secondo principio di equivalenza applicato al caso delle disequazioni.
Consideriamo ad esempio la disequazione:
x+2 > 3
Proviamo a moltiplicare per {4} entrambi i membri:
4(x+2) > 4 \cdot 3 \quad \Rightarrow \quad 4x+8>12
La disequazione appena scritta è equivalente a quella data. Basta infatti sostituire qualche valore della {x} che verifica la disequazione di partenza per accorgersi che verifica anche la disequazione appena scritta. E attenzione, poiché il numero per il quale abbiamo moltiplicato ciascun membro dell’equazione, ovvero {4}, è positivo, abbiamo mantenuto il verso della disequazione. In termini più semplici, abbiamo lasciato il simbolo di “maggiore”.
Partendo dalla stessa disequazione, proviamo invece a moltiplicare entrambi i suoi membri per {-4}:
-4(x+2) > -4 \cdot 3 \quad \Rightarrow \quad -4x-8 >-12
Ora la disequazione non è più equivalente a quella di partenza ma è di verso opposto ad essa. In particolare, provando a sostituire alcuni valori alla {x} è possibile accorgersi che tutti i valori che verificano la disequazione di partenza non verificano la disequazione appena scritta. Viceversa, i valori che non verificano la disequazione di partenza verificano invece la disequazione appena scritta.
Così, se moltiplichiamo entrambi i membri di una disequazione per un numero negativo, se desideriamo ottenere una disequazione equivalente a quella di partenza dobbiamo invertire il verso della disequazione.
Ad esempio, data la disequazione:
x> -3
se moltiplichiamo entrambi i membri per un numero negativo, ad esempio {-2}, volendo ottenere una disequazione equivalente a quella data dobbiamo anche invertire il verso della disequazione, ovvero in questo caso dobbiamo sostituire l’operatore “maggiore” con l’operatore “minore”:
x \cdot (-2) < -3 \cdot (-2) \quad \Rightarrow \quad \boxed{-2x < 6}La disequazione così ottenuta è equivalente a quella di partenza.
E così, riprendendo la disequazione:
x+2 > 3
se desideriamo moltiplicare entrambi i membri per {-4} ottenendo una disequazione ad essa equivalente, dobbiamo anche invertire l’operatore di disuguaglianza:
-4(x+2)< -4 \cdot (-3) \quad \Rightarrow \quad -4x-8<12
Ora la disequazione appena scritta è equivalente a quella di partenza, ovvero ammette lo stesso insieme delle soluzioni.
Così riassumendo:
Se moltiplichiamo entrambi i membri di una disequazione per una quantità negativa e allo stesso tempo invertiamo il verso della disequazione stessa, otteniamo una disequazione equivalente a quella data.
Osservazione. Invertire il verso di una disequazione significa, lo precisiamo meglio, sostituire il simbolo di minore con il simbolo di maggiore o viceversa sostituire il simbolo di minore con il simbolo di maggiore. E ciò in base al simbolo che è presente nella disequazione data.
Infine, se nella disequazione abbiamo un simbolo di “maggiore o uguale”, per invertirne il verso dovremo sostituire tale operatore con quello di “minore o uguale”. In modo del tutto simile, sostituiremo un simbolo di “minore o uguale” con un simbolo di “maggiore o uguale”.
Disequazioni impossibili
Una disequazione si dice impossibile se è priva di soluzioni.
Ad esempio la disequazione:
x+2 < -5
nell’insieme dei numeri naturali è impossibile. Infatti, non esiste alcun numero naturale che sostituito alla {x} verifica la disuguaglianza numerica corrispondente.
Nell’insieme dei numeri reali la disequazione è invece determinata. Per trovare l’insieme delle soluzioni basta in questo caso applicare una delle proprietà delle disequazioni. In particolare, sottraendo {2} ad entrambi i membri otteniamo:
x+2-2< -5-2 \quad \Rightarrow \quad x < -7
Quindi nell’insieme dei numeri reali la disequazione è soddisfatta per tutti i valori della {x} minori di {-7}.
Come nel caso delle equazioni, la possibilità che una disequazione ammetta soluzioni o meno dipende anche dall’insieme numerico con il quale scegliamo di lavorare. D’ora in poi lavoreremo sempre con l’insieme dei numeri reali {\mathbb{R}}.
Conclusioni
Per quanto riguarda questa introduzione alle disequazioni è tutto. Nelle lezioni a seguire studieremo i vari tipi di disequazioni algebriche, a cominciare dalle disequazioni di primo grado. Ovviamente, per comprendere la disequazioni è importante avere una sicura conoscenza delle equazioni. Ma nessun problema. La sezione di SìMatematica dedicata alle equazioni algebriche vi offre tutte le informazioni necessarie.
Nella prossima lezione ci occuperemo delle disequazioni di primo grado.
Buon proseguimento allora con SìMatematica!
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