Limite con razionalizzazione

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Calcolare il seguente limite con razionalizzazione:

\lim_{x \to 2} \dfrac{3-\sqrt{5x-1}}{4-x^2}

Osserviamo che il limite non può essere risolto per sostituzione diretta. Infatti ci ritroviamo con la forma indeterminata {\left[ \dfrac{0}{0}\right]}. Il limite si caratterizza per la presenza di un radicale al numeratore. Ed in particolare al numeratore abbiamo la differenza tra due termini dei quali uno è un radicale.

Per risolvere un limite per razionalizzazione tipo è opportuno ricordare la regola per la razionalizzazione di un denominatore o di un numeratore. L’idea è quella di moltiplicare per un opportuno fattore in modo da ricondurci ad un prodotto notevole somma per differenza, che è uguale alla differenza dei quadrati dei termini. In tal modo sarà possibile o al numeratore, o al denominatore liberarsi della radice.

In questo caso dobbiamo razionalizzare il numeratore. In particolare, avendo la differenza {3-\sqrt{5x-1}} dovremo moltiplicare per la somma {3+\sqrt{5x-1}}. E per mantenere inalterata l’espressione all’interno del limite, dovremo moltiplicare per tale quantità sia al numeratore, sia al denominatore. Ciò è lecito poiché equivale a moltiplicare per {1}. Abbiamo:

\lim_{x \to 2} \dfrac{3-\sqrt{5x-1}}{4-x^2}= \lim_{x \to 2}\dfrac{3-\sqrt{5x-1}}{4-x^2}\cdot \dfrac{3+\sqrt{5x-1}}{3+\sqrt{5x-1}}=

Ciò ci consente di riconoscere al numeratore un prodotto somma per differenza:

\begin{align*} &= \lim_{x \to 2}\dfrac{(3-\sqrt{5x-1}) \cdot  (3+\sqrt{5x-1})}{(4-x^2) \cdot (3+\sqrt{5x-1})} \dfrac{}{}= \\ \\ & =\lim_{x \to 2} \dfrac{3^2-(5x-1)}{(4-x^2)(3+\sqrt{5x-1})}=\lim_{x \to 2} \dfrac{9-5x+1}{(4-x^2)(3+\sqrt{5x-1}} = \\ \\ & =\lim_{x \to 2}\dfrac{-5x+10}{(4-x^2)(3+\sqrt{5x-1}} =\lim_{x \to 2} \dfrac{5\cancel{(-x+2)}}{\cancel{(2-x)}{(2+x)}(3+\sqrt{5x-1})} = \\ \\ & =\lim_{x \to 2} \dfrac{5}{(2+x)(3+\sqrt{5x-1)}}\end{align*}

Osserviamo che nello svolgere i passaggi abbiamo riconosciuto nel prodotto {(3-\sqrt{5x-1})(3+\sqrt{5x-1})} un prodotto notevole somma per differenza. In particolare:

(3-\sqrt{5x-1})(3+\sqrt{5x-1})=3^2-\left( \sqrt{5x-1}\right)^2=3^2-(5x-1)= \dots

Inoltre, abbiamo scomposto il polinomio {4-x^2} nel prodotto somma per differenza {(2-x)(2+x)}, utilizzando la regola della scomposizione in fattori con il prodotto somma per differenza.

Una volta eseguita tale scomposizione, è stato infine possibile semplificare dei fattori a numeratore e denominatore, ed è questa la mossa che consente di liberarsi della forma indeterminata.

Proseguendo i passaggi, a questo punto si tratta di applicare il teorema del limite del prodotto:

\lim_{x \to 2} \dfrac{5}{(2-x)(3+\sqrt{5x-1)}}=\lim_{x \to 2}\dfrac{1}{2+x} \cdot \lim_{x \to 2}\dfrac{5}{3+\sqrt{5x-1}}

Osserviamo che entrambi i limiti sono valutabili per sostituzione diretta, così otteniamo in conclusione:

\lim_{x \to 2}\dfrac{1}{2+x} \cdot \lim_{x \to 2}\dfrac{5}{3+\sqrt{5x-1}}= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{5}{6}=\dfrac{5}{24}

e questo è il risultato finale del limite di partenza.

Per quanto riguarda questo limite con razionalizzazione è tutto. Buon proseguimento!


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