Limite con seno coseno e tangente

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Domande e risposte

Come si calcola il seguente limite con seno, coseno e tangente?

\lim_{x \to 0}\left( \sin x + \cos x\right)^{\small \frac{2}{\tan x}}

Osserviamo che ci ritroviamo con la forma indeterminata {\left[ 1^{\infty}\right]}.

L’idea è quella di ricondurci ad un limite notevole, ed in particolare al limite notevole del numero di Nepero:

\lim_{f(x) \to \pm \infty} \left( 1+\dfrac{1}{f(x)}\right)^{f(x)}=e

Infatti grazie a questo limite notevole è possibile liberarsi proprio delle forme indeterminate del tipo {[1^{\infty}]}, quale è il caso dell’esercizio in esame.

Osserviamo che per le proprietà delle potenze di potenze si ha:

\lim_{x \to 0}\left( \sin x + \cos x\right)^{\small \frac{2}{\tan x}}=\lim_{x \to 0}\left[\left( \sin x + \cos x\right)^{\small \frac{1}{\tan x}} \right]^2=

A questo punto abbiamo un esponente della forma {\dfrac{1}{f(x)}}. Così per ricondurci al limite notevole dovremo cercare di avere la funzione {\tan x} all’interno delle parentesi tonde. Per fare questo, proviamo a moltiplicare e dividere l’espressione {\sin x + \cos x } per {\cos x}:

\dfrac{\cos x}{\cos x}\left( \sin x + \cos x\right)= \cos x \left( \tan x + 1\right)

La tecnica di moltiplicare e dividere per una stessa quantità è molto ricorrente in matematica. E ciò equivale a moltiplicare per {1}, e quindi siamo certi di non alterare l’espressione data. Quello che facciamo è soltanto cambiarne la forma in modo da poter lavorarci meglio.

A questo punto procedendo con i passaggi relativamente al limite possiamo scrivere:

=\lim_{ x \to 0}\left\{ \left[ \cos x \left( \tan x + 1\right)\right]^{\small \frac{1}{\tan x}}\right \}^{2}=

e osservando che per {x = 0} abbiamo {\cos x = 1}:

=\lim_{x \to 0}\left[( \tan x + 1)^{\small \frac{1}{\tan x}}\right]^2=

Tenendo poi conto del teorema del limite della potenza di una funzione (il limite della potenza di una funzione è uguale alla potenza del limite della funzione):

=\left[\lim_{x \to 0} (\tan x +1)^{\small \frac{1}{\tan x}}\right]^2=

Ora poniamo la sostituzione {\dfrac{1}{\tan x}}=t utilizzando il teorema del limite della funzione composta. Per brevità diamo per scontato che le ipotesi del teorema sono soddisfatte (a rigore vanno comunque verificate).

Osserviamo che per {x \to 0^+} si ha che {\dfrac{1}{\tan x} \to +\infty}, mentre per {x \to 0^-} si ha che {\dfrac{1}{\tan x \to -\infty}}.

Così dovremo considerare i due limiti:

 \left[\lim_{t \to +\infty} \left( \dfrac{1}{t}+1\right)^t \right]^2; \qquad \left[ \lim_{t \to -\infty} \left( \dfrac{1}{t}+1\right)^t\right]^2

Ma ora siamo arrivati al limite notevole del numero di Nepero. Infatti i due limiti ricadono entrambi proprio nel caso di tale limite notevole, e hanno entrambi per risultato il numero di Nepero {e}. Così avendo ritrovato il limite notevole possiamo finalmente scrivere:

\left[\lim_{t \to \pm\infty} \left( \dfrac{1}{t}+1\right)^t \right]^2=e^2

e questo è il risultato del limite di partenza. Così in conclusione:

\lim_{x \to 0}\left( \sin x + \cos x\right)^{\small \frac{2}{\tan x}}=e^2

Abbiamo quindi calcolato questo limite con seno, coseno e tangente utilizzando il teorema del limite della funzione composta e il limite notevole del numero di Nepero.