Metodo del confronto (sistemi lineari)

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In questa lezione vediamo come risolvere i sistemi lineari (sistemi di equazioni di primo grado) utilizzando il metodo del confronto.

Come già accennato nella precedente lezione, il metodo del confronto può essere visto come una variante del metodo di riduzione. Tuttavia, come generalmente avviene nella trattazione dei sistemi di equazioni di primo grado, presenteremo il metodo del confronto come un metodo a parte rispetto al metodo di riduzione. Soltanto alla fine della lezione evidenzieremo come il metodo del confronto sia una particolarizzazione del metodo di riduzione.

L’obiettivo del metodo del confronto è quello di ricavare a partire dalle equazioni presenti a sistema una o più equazioni che permettano di ridurre il numero di incognite presenti. Ciò, allo stesso modo dei metodi presentati nella precedente lezione, consente di arrivare all’eventuale soluzione del sistema. L’idea del metodo del confronto sta nel ricavare una stessa incognita da almeno due equazioni.

Supporremo anche in questa lezione che i sistemi siano determinati, ovvero ammettano una soluzione.

Senza ulteriori indugi vediamo subito il metodo del confronto, relativamente al caso dei sistemi lineari di due equazioni in due incognite e di tre equazioni in tre incognite.

Metodo del confronto (sistemi di due equazioni in due incognite)

Studiamo insieme il metodo del confronto a partire da un esempio. Risolviamo il seguente sistema lineare (sistema di equazioni di primo grado), di due equazioni in due incognite:

\begin{cases} x-2y=5 \\ \\ x + 3y +5 = 0\end{cases}

Riscriviamo il sistema in modo da ricavare la stessa incognita in entrambe le equazioni. E’ chiaro che la cosa più semplice da fare è ricavare la {x}. Infatti, in entrambe le equazioni essa si presenta con coefficiente {1}.

\begin{cases} x=2y+5 \\ \\ x =- 3y -5 \end{cases}

A questo punto confrontiamo le due equazioni tra loro. In particolare, vediamo che una stessa quantità {x} risulta uguagliata a due differenti espressioni. Ma allora affinché le due uguaglianze possano essere entrambe valide, l’unica è che le due “differenti” espressioni ai secondi membri delle equazioni siano tra loro uguali:

2y+5=-3y-5

Ma a questo punto abbiamo ottenuto un’equazione di primo grado nella sola incognita {y}, che risolta fornisce:

y=-2

Sostituiamo l’equazione appena scritta ad una delle due equazioni del sistema, ad esempio la seconda:

\begin{cases} x=2y+5 \\ \\y=-2\end{cases}

Ora per ricavare il valore della rimanente incognita {x} basta sostituire il valore appena trovato per la {y} nella prima equazione. Abbiamo:

\begin{cases} x=2y+5 \quad \text{con} \quad y=-2 \quad \Rightarrow \quad x=1 \\ \\ y=-2\end{cases}

In conclusione il sistema ammette come soluzione la coppia:

(1; -2)

Vediamo ora come utilizzare il metodo del confronto nel caso dei sistemi di tre equazioni in tre incognite.

Metodo del confronto per sistemi di tre equazioni in tre incognite

Risolviamo il seguente sistema di tre equazioni in tre incognite utilizzando il metodo del confronto:

\begin{cases}x+y+z=-2 \\ \\ x=y+z \\ \\ 2y+3z=-1 \end{cases}

L’incognita {x} è già esplicitata nella seconda equazione. In altre parole, la seconda equazione è già nella forma {x = \text{qualcosa}}. Proviamo allora ad esplicitare la {x} anche nella prima equazione:

\begin{cases}x = -y-z-2\\ \\ x=y+z \\ \\ 2y+3z=-1 \end{cases}

Applicando il metodo del confronto alle prime due equazioni come nell’esercizio precedente abbiamo:

-y-z-2 = y+z 

Come evidente si è trattato anche in questo caso di uguagliare tra loro le due espressioni entrambe uguali ad {x}. Sommando tra loro i termini simili l’equazione appena scritta diviene:

-2y-2z=2

ovvero, dividendo entrambi i membri per {2}:

\boxed{-y-z=1}

Osserviamo che l’equazione appena ottenuta contiene soltanto due incognite, e non tre come le prime due equazioni presenti nel sistema di partenza. Quindi l’idea è quella di sostituire ad una delle prime due equazioni del sistema l’equazione appena ricavata. Si tratta né più né meno che dell’approccio utilizzato per risolvere i sistemi “tre per tre” con i metodi di sostituzione e riduzione (vedi la precedente lezione).

E ancora, attenzione. Poiché abbiamo applicato il metodo del confronto alle prime due equazioni, possiamo sostituire con la nuova equazione ottenuta soltanto tali equazioni. Quindi, dobbiamo lasciare la terza equazione a sistema così come è.

Sostituendo ad esempio la prima equazione a sistema con la nuova equazione ottenuta abbiamo:

\begin{cases}-y-z=1\\ \\ x=y+z \\ \\ 2y+3z=-1 \end{cases}

Ora, attenzione. La prima e la terza equazione sono entrambe nelle due stesse incognite {y} e {z}. Per cui ha senso a questo punto escludere la seconda equazione, che presenta invece tre incognite, in modo da ricondurci temporaneamente ad un sistema “due per due”:

\begin{cases}-y-z=1\\ \\ \dots \\ \\ 2y+3z=-1 \end{cases}

A questo punto possiamo risolvere il sistema riguardandolo come un “due per due”, utilizzando ad esempio il metodo di sostituzione. Abbiamo:

\small \begin{cases}y=-1-z\\ \\ \dots \\ \\ 2(-1-z)+3z=-1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases}y=-1-z \\ \\ \dots \\ \\ z=1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases}y=-2 \\ \\ \dots \\ \\ z=1 \end{cases}

Infine per ricavare il valore dell’incognita {x} basta riprendere l’equazione che avevamo messo da parte:

 \begin{cases}y=-2 \\ \\ x=y+z\\ \\ z=1 \end{cases}

Abbiamo:

\small \begin{cases} y=-2 \\ \\ x=y+z \quad \text{con} \quad y=-2, \: z=1 \quad \Rightarrow \quad x=-2+1=-1 \\ \\ z=1\end{cases}

In pratica abbiamo sostituito i valori ricavati per la {y} e per la {z} nella seconda equazione del sistema di partenza, in modo da ricavare il valore della rimanente incognita {x}.

Così in conclusione il sistema ha per soluzione la terna:

(-1; -2; 1)

Metodo del confronto e metodo di riduzione

Vogliamo ora mostrare come il metodo del confronto rappresenti un caso particolare del metodo di riduzione. Riprendiamo il sistema di equazioni di primo grado (o sistema lineare) relativo al primo esempio di questa lezione:

\begin{cases} x-2y=5 \\ \\ x + 3y +5 = 0\end{cases}

Possiamo risolvere il sistema con il metodo di riduzione. L’idea è quella di sottrarre la seconda equazione alla prima equazione, ottenendo una nuova equazione da sostituire ad esempio alla seconda. Abbiamo:

x-2y-(x+3y+5)=5-0

ovvero:

\cancel{x}-2y-\cancel{x}-3y-5=5

e quindi, trasportando i termini in un certo modo:

\boxed{2y+5=-3y-5}

Effettivamente ritroviamo l’equazione che già avevamo scritto risolvendo il sistema con il metodo del confronto. Ciò evidenzia il fatto che il metodo del confronto rappresenta unicamente una lettura più immediata del metodo di riduzione, che si rende utile per alcuni casi particolari.

Conclusioni

Per quanto riguarda il metodo del confronto è tutto. Con quanto visto anche nella precedente lezione abbiamo così acquisito la padronanza dei quattro principali metodi per risolvere i sistemi lineari (sistemi di equazioni di primo grado):

Nella prossima lezione ci occuperemo della classificazione dei sistemi lineari in determinati, indeterminati ed impossibili. Ciao a tutti e buon proseguimento con SìMatematica! 🙂


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