Il metodo di sostituzione per i sistemi lineari si basa sul principio di sostituzione e consente di risolvere agevolmente i sistemi di due equazioni in due incognite. Il metodo è anche applicabile a sistemi con più di due equazioni, ma in questo caso risulta un po’ macchinoso.
L’idea del metodo di sostituzione per i sistemi lineari (nell’ipotesi che siano determinati) è quello di ottenere da un’equazione del sistema un’espressione per una data incognita contenente soltanto le altre incognite. Così ad esempio in un sistema di due equazioni nelle incognite {x} e {y}, da un’equazione potremo ricavare un’espressione per l’incognita {x}, e quindi sostituire l’espressione trovata alla {y} nell’altra equazione. In tal modo otterremo un’equazione contenente la sola incognita {x}, potendo quindi ricavare il valore di tale incognita. Successivamente basterà sostituire il valore della {x} appena ricavato nell’altra equazione, in modo da ottenere un’equazione nella sola incognita {y}, risolvendo la quale si ricaverà anche il valore della {y}. A tal punto il sistema è risolto, poiché è nota la coppia di valori {(x,y)} soluzione del sistema.
Leggermente più complicato è il metodo di sostituzione nel caso di tre equazioni in tre incognite. Tuttavia, basterà in generale eseguire due sostituzioni, in modo da ricondursi temporaneamente come vedremo al più semplice caso di un sistema con due equazioni in due incognite. Occorrerà prestare particolare attenzione di volta in volta alle equazioni con le quali si sta lavorando, in modo da evitare di cadere in un vicolo cieco che impedisce la risoluzione del problema. Ma niente panico: vedremo tutti gli accorgimenti del caso fra un istante. 😉
La presente lezione costituisce un approfondimento della lezione sui metodi per risolvere i sistemi lineari, interamente dedicata al metodo di sostituzione. E vedremo sia il caso dei sistemi di due equazioni in due incognite (sistemi due per due), sia il caso di sistemi di tre equazioni in tre incognite (sistemi tre per tre).
Fatte le dovute premesse, vediamo subito il metodo di sostituzione per i sistemi lineari, con spiegazione delle regole ed esempi svolti e commentati. Via! 🙂
Metodo di sostituzione (sistemi lineari di due equazioni in due incognite)
Supponiamo di voler risolvere il seguente sistema lineare con il metodo di sostituzione:
\begin{cases}x+6y=11 \\ \\ 2x-y = 9 \end{cases}Il sistema già si presenta in forma normale. Osserviamo in ogni caso che prima di cominciare ad applicare il metodo di sostituzione è fondamentale ridurre il sistema alla forma normale, o quantomeno assicurarsi che non vi siano in nessuna equazione termini simili. Nel caso, basterà sommarli tra loro.
Il sistema è di due equazioni in due incognite. L’idea è quella di ricavare ad esempio un’espressione per l’incognita {x} in funzione dell’incognita {y}. Per fare questo ricaviamo ad esempio l’incognita {x} dalla prima equazione. Ricordiamo che nei sistemi lineari le due equazioni si accompagnano sempre l’una con l’altra, per cui dovremo ogni volta riscrivere entrambe le equazioni. Abbiamo:
\begin{cases} x=11-6y \qquad \text{incognita x in funzione della y} \\ \\ 2x-y=9\end{cases}Come possiamo vedere, ora al secondo membro della prima equazione abbiamo un’espressione che contiene la sola incognita y. E tale espressione è uguale all’incognita x. Quindi, per il principio di sostituzione, possiamo sostituire l’espressione appena ottenuta per l’incognita {x} al posto dell’incognita {x} nella seconda equazione. In altre parole, possiamo sostituire l’espressione {11-6y} alla lettera {x} nella seconda equazione. Così il sistema diviene:
\begin{cases} x=11-6y \\ \\ 2(\underbrace{11-6y}_{x})-y=9\end{cases}Ora è immediato ricavare il valore della {y} dalla seconda equazione così riscritta. Infatti si tratta di una semplice equazione di primo grado in una sola incognita:
\begin{cases} x=11-6y \\ \\ 22-12y-y=9\end{cases}Per brevità senza riscrivere ogni volta il sistema possiamo sviluppare un’equazione alla volta con l’ausilio di una freccia:
\begin{cases} x=11-6y \\ \\ 22-12y-y=9 \quad \rightarrow \quad -13y=9-22 \quad \Rightarrow \quad \boxed{y=1}\end{cases}Abbiamo così ricavato il valore dell’incognita {y}. Ma dato che il sistema ha due incognite, ci manca il valore dell’altra incognita, ovvero la {x}. Ma per ricavarlo, basta applicare il principio di sostituzione alla prima equazione. In parole semplici, basta sostituire il valore {1} appena ricavato alla lettera {y} nella prima equazione. Così abbiamo:
\begin{cases}x=11-6 \cdot \underbrace{1}_{y} \quad \rightarrow \quad x=5 \\ \\ y = 1 \end{cases}Avendo trovato il valore di entrambe le incognite abbiamo risolto il sistema, che ha quindi per soluzione la coppia ordinata {(x, \: y)} di valori:
(5, \: 1)
Abbiamo così visto come utilizzare il metodo di sostituzione per risolvere i sistemi lineari di due equazioni in due incognite. Come vedremo fra un istante, è possibile utilizzare il metodo anche per i sistemi di tre equazioni in tre incognite, a patto di prestare attenzione alle equazioni alle quali applichiamo di volta in volta il principio di sostituzione.
Metodo di sostituzione per sistemi di tre equazioni in tre incognite
Consideriamo il seguente sistema lineare di tre equazioni in tre incognite:
\begin{cases} x-\dfrac{2}{7}z=\dfrac{1}{7}\\ \\ 5y+3z=-1 \\ \\ y +3x-z+2=0\end{cases}Nel sistema abbiamo tre equazioni ed in tutto compaiono le tre incognite {x, \: y, \:z}. Il sistema non è in forma normale, in quanto nella terza equazione le lettere delle incognite non compaiono secondo l’ordine alfabetico. Tuttavia, non vi sono termini simili in nessuna equazione e possiamo quindi procedere comunque ad applicare il metodo di sostituzione.
Come nel caso dei sistemi di due equazioni in due incognite, iniziamo ricavando un’incognita in funzione delle altre in un’equazione a scelta. Per non complicarci la vita, in questo caso appare ovvio scegliere o la prima o la seconda equazione, dato che queste contengono esplicitamente soltanto due incognite (la rimanente incognita c’è ma ha coefficiente zero).
Scegliamo ad esempio di ricavare un’espressione per l’incognita {x} dalla prima equazione. Abbiamo:
\begin{cases} x=\dfrac{1}{7}+\dfrac{2}{7}z\\ \\ 5y+3z=-1 \\ \\ y +3x-z+2=0\end{cases}Ora sostituiamo l’espressione ricavata per l’incognita {x} nella terza equazione. In altre parole, dovremo sostituire alla lettera {x} nella terza equazione l’espressione {\dfrac{1}{7}+\dfrac{2}{7}z}:
\scriptsize \begin{cases} x=\dfrac{1}{7}+\dfrac{2}{7}z\\ \\ 5y+3z=-1 \\ \\ y +3\left( \dfrac{1}{7}+\dfrac{2}{7}z\right)-z+2=0\quad \rightarrow \quad y+\dfrac{3}{7}+\dfrac{6}{7}z-z+2=0 \quad \rightarrow \quad y-\dfrac{1}{7}z=-\dfrac{17}{7} \end{cases}e quindi:
\begin{cases} x=\dfrac{1}{7}+\dfrac{2}{7}z\\ \\ 5y+3z=-1 \\ \\ y-\dfrac{1}{7}z=-\dfrac{17}{7} \end{cases}Ora, la seconda equazione e la terza equazione sono entrambe nelle sole incognite y e z. Conviene allora escludere per ora la prima equazione, in modo da ricondurci ad un sistema di due equazioni in due incognite. Sostituiamo allora la prima equazione con dei puntini:
\begin{cases} \dots \\ \\ 5y+3z=-1 \\ \\ y-\dfrac{1}{7}z=-\dfrac{17}{7} \end{cases}Ora dobbiamo lavorare soltanto con le due equazioni presenti, ricavando i valori delle incognite {y} e {z}. Basterà infatti ragionare come se ci trovassimo con un sistema di due equazioni in due incognite. 😉
Ricaviamo ad esempio la {y} dalla terza equazione:
\begin{cases} \dots \\ \\ 5y+3z=-1 \\ \\ y-\dfrac{1}{7}z=-\dfrac{17}{7} \quad \rightarrow \quad y=-\dfrac{17}{7}+\dfrac{1}{7}z\end{cases}Ora sostituiamo l’espressione ricavata per {y}, che è funzione di {z}, nella seconda equazione:
\small \begin{cases} \dots \\ \\ 5\left( -\dfrac{17}{7}+\dfrac{1}{7}z\right)+3z=-1 \quad \rightarrow \quad -\dfrac{85}{7}+\dfrac{5}{7}z+3z=-1 \quad \rightarrow \quad z= 3\\ \\ y=-\dfrac{17}{7}+\dfrac{1}{7}z\end{cases}Abbiamo così ricavato il valore dell’incognita {z}.
A questo punto, sostituendo il valore di {z} nella terza equazione possiamo ricavare il valore dell’incognita {y}:
\begin{cases} \dots \\ \\ z=3 \\ \\ y=-\dfrac{17}{7}+\dfrac{1}{7} \cdot 3 \quad \rightarrow \quad y=-2 \end{cases}Abbiamo così ricavato le due incognite {z} e {y}… ma come facciamo a ricavare la rimanente incognita {x}? A questo punto è giunto il momento di riscrivere al posto dei puntini la prima equazione che avevamo messo da parte:
\begin{cases}x=\dfrac{1}{7}+\dfrac{2}{7}z\ \\ \\ z=3 \\ \\ y=-2 \end{cases}Ma a questo punto basta sostituire alla {z} nella prima equazione il valore {3}:
\begin{cases}x=\dfrac{1}{7}+\dfrac{2}{7}\cdot 3 \quad \rightarrow \quad x=1\ \\ \\ z=3 \\ \\ y=-2 \end{cases}In conclusione abbiamo ricavato tutte e tre le incognite e la soluzione del sistema è data dalla terna di valori:
(1, \: -2, \: 3)
Attenzione: nei sistemi lineari di tre equazioni e tre incognite è importante ad un certo punto mettere da parte un’equazione e lavorare soltanto con le due equazioni rimanenti (riconducendoci ad un sistema di due equazioni in due incognite). L’equazione messa da parte andrà recuperata soltanto per ricavare l’ultima incognita.
Un esempio più generale sul metodo di sostituzione applicato ai sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite
Consideriamo il seguente sistema lineare di tre equazioni in tre incognite:
\begin{cases}x-y+2z=7 \\ \\ x-3y+z=12 \\ \\-3x+y-2z=-11\end{cases}Siamo di fronte al caso più generale, in quanto in tutte e tre le equazioni figurano tutte e tre le incognite.
Cominciamo ricavando ad esempio un’espressione per l’incognita {x} dalla prima equazione:
\begin{cases}x-y+2z=7 \quad \rightarrow \quad x=\boxed{y-2z+7}\\ \\ x-3y+z=12 \\ \\-3x+y-2z=-11\end{cases}A questo punto dobbiamo sostituire l’espressione ottenuta per l’incognita {x} evidenziata nel riquadro ad entrambe le rimanenti equazioni (in questo caso, alla seconda e alla terza equazione). Infatti, in entrambe le equazioni indicate figura l’incognita {x} per la quale abbiamo trovato un’espressione grazie alla prima equazione.
Così, ciò che dobbiamo fare è sostituire alle lettere {x} nella seconda e terza equazione l’espressione {y-2z+7}. Abbiamo:
\begin{cases} x=\boxed{y-2z+7}\\ \\ \boxed{y-2z+7}-3y+z=12 \\ \\-3(\boxed{y-2z+7})+y-2z=-11\end{cases}Eseguendo i calcoli e sommando tra loro i termini simili otteniamo:
\begin{cases} x={y-2z+7}\\ \\ -2y-z=5 \\ \\-2y+4z=10\end{cases}Ora osserviamo che la seconda e la terza equazione sono entrambe nelle sole due incognite y e z. Conviene allora escludere la prima equazione, in modo da ricondurci temporaneamente ad un sistema di due equazioni in due incognite.
\begin{cases} \dots \\ \\ -2y-z=5 \\ \\-2y+4z=10\end{cases}Ricaviamo ad esempio un’espressione per l’incognita {z} dalla seconda equazione, e sostituiamo l’espressione ottenuta alla lettera {z} nella terza equazione:
\small \begin{cases} \dots \\ \\ -2y-z=5 \quad \rightarrow \quad z=-5-2y \\ \\-2y+4z=10 \quad \rightarrow \quad -2y+4(-5-2y)=10 \quad \rightarrow \quad y=-3\end{cases}Ora sostituiamo il valore ottenuto per l’incognita {y} nella seconda equazione del sistema:
\begin{cases} \dots \\ \\ z=-5-2y \quad \rightarrow \quad z=-5-2(-3) = 1 \quad \rightarrow \quad z=1\\ \\ y=-3\end{cases}A questo punto riprendiamo la prima equazione (che avevamo messo da parte) e sostituiamo in essa i valori appena ricavati per le incognite {y } e {z}. In tal modo possiamo ricavare il valore della rimanente incognita {x}:
\begin{cases} x=y-2z+7 \quad \rightarrow \quad x=-3-2 \cdot 1+7=2 \quad \rightarrow \quad x=2 \\ \\ z=1 \\ \\ y=-3\end{cases}Così possiamo affermare che il sistema assegnato ammette per soluzione la terna ordinata {(x, \: y, \: z)} di valori:
(2, \: -3, \: 1)
Conclusioni
Per quanto riguarda il metodo di sostituzione per i sistemi lineari (sistemi di equazioni di primo grado) è tutto. Rimandiamo alla lezione sui metodi risolutivi dei sistemi lineari per ulteriori approfondimenti ed esercizi. Nella prossima lezione approfondiremo il metodo di riduzione. Buon proseguimento con SìMatematica!
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