Concludiamo le nostre lezioni sui monomi presentando il minimo comune multiplo di monomi. Come nel caso del massimo comune divisore di monomi, la definizione che introdurremo è basata sul concetto di minimo comune multiplo di numeri.
Vediamo allora subito cos’è e come si calcola il minimo comune multiplo di monomi, in entrambi i casi di due o più monomi.
Definizione di minimo comune multiplo di monomi
Dati due o più monomi, il loro minimo comune multiplo (\small \text{mcm}) è un monomio tale da avere:
- coefficiente uguale al minimo comune multiplo dei coefficienti dei monomi di partenza se questi sono interi, coefficiente uguale a 1 se almeno uno dei coefficienti dei monomi di partenza non è intero;
- parte letterale nella quale compaiono tutte le lettere dei monomi di partenza, ciascuna elevata al più grande tra gli esponenti con i quali la lettera stessa si presenta nei monomi.
Analogamente al caso numerico, il \small \text{mcm} di due o più monomi è un monomio del più piccolo grado possibile tale da essere divisibile per ciascuno dei monomi di partenza.
Osservazione. Come nel caso del massimo comune divisore tra monomi, anche per quanto riguarda il \small \text{mcm} la regola relativa al coefficiente è puramente convenzionale. Infatti, un qualunque monomio simile al \small \text{mcm} di un gruppo di monomi risulterà comunque divisibile per ciascun monomio del gruppo.
Di conseguenza, in teoria è possibile attribuire al \small \text{mcm} di monomi un qualunque coefficiente. Riesce tuttavia utile quando possibile scegliere come coefficiente il minimo comune multiplo dei coefficienti dei monomi di partenza.
Esempio 1
Determiniamo il \small \text{mcm} tra i seguenti monomi:
5x^2y^4, \quad 9x^3yz^2
Il \small \text{mcm} tra i coefficienti è:
\text{mcm}\left( 5, 9\right)= 45Infatti date le scomposizioni in fattori primi:
5=5; \qquad 45=3^2 \cdot 5
si tratta di prendere i fattori comuni e non comuni con il massimo esponente. Quindi \text{mcm}\left( 5, 9\right)=3^2 \cdot 5 = 9\cdot 5 = 45.
Passiamo ora alla parte letterale. Dobbiamo prendere le lettere presenti in tutti i monomi di partenza, ciascuna con il massimo esponente.
La lettera x compare nel primo monomio con esponente 2 e nel secondo monomio con esponente 3. Tra i due esponenti il più grande è 3, così abbiamo intanto per la parte letterale del minimo comune multiplo un fattore pari a x^3.
La lettera y compare nel primo monomio con esponente 4 e nel secondo con esponente 1. L’esponente più grande è 4 è così abbiamo anche un fattore pari a y^4.
Infine, la lettera z compare soltanto nel secondo monomio, per cui ad essa corrisponderà un fattore avente per esponente 2, che è l’unico esponente per la lettera z nei monomi. Quindi, abbiamo per la parte letterale anche un ultimo fattore z^2.
Mettendo insieme il coefficiente e la parte letterale che abbiamo determinato si ha:
\text{mcm} \left(5x^2y^4; \: 9x^3yz^2 \right) = 45x^3y^4z^2Esempio 2
Determinare il \small \text{mcm} tra i seguenti monomi:
3a^2b^5c^3, \quad \dfrac{1}{3}a^2bc^5d^3, \quad abc^7e^2Poiché un coefficiente dei monomi di partenza è non intero, scegliamo come coefficiente per il minimo comune multiplo la quantità 1.
Per quanto riguarda la parte letterale, dobbiamo prendere tutte le lettere che compaiono nei monomi, ciascuna con il più grande esponente. Prestiamo attenzione a controllare attentamente tutti e tre i monomi.
Per la lettera a il più grande esponente è 2, per la lettera b è 5, per la lettera c è 7. Di conseguenza avremo intanto i fattori a^2, \: b^5 e c^7.
Infine, le lettere d ed e compaiono soltanto in un monomio e per esse consideriamo semplicemente il rispettivo esponente, avendo così i fattori d^3 ed e^2.
Per tutto quanto detto possiamo in conclusione scrivere:
\text{mcm}\left( 3a^2b^5c^3; \:\dfrac{1}{3}a^2bc^5d^3; \:abc^7e^2\right)=a^2b^5c^7d^3e^2Per quanto riguarda il calcolo del \small \text{mcm} di due o più monomi è tutto. E’ anche disponibile una scheda di esercizi sul \small \text{mcm} di monomi, in modo da poter approfondire ulteriormente.
Dalla prossima lezione cominceremo ad occuparci dei polinomi.
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