Monomi (introduzione e prime definizioni)

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Monomi e polinomi (superiori)

Cominciamo lo studio del calcolo letterale introducendo i monomi, ovvero delle particolari espressioni matematiche grazie alle quali è possibile costruire espressioni più complesse. Vedremo infatti nelle successive lezioni che a partire dai monomi è possibile costruire i polinomi.

I monomi sono dati dal prodotto di un coefficiente numerico (o parte numerica) per una parte letterale. La parte numerica è data da un numero reale. La parte letterale è costituita invece da una o più lettere (variabili) moltiplicate tra loro, ciascuna avente un esponente naturale.

E’ importante sapere che nei monomi compare soltanto l’operazione di moltiplicazione. E non a caso il termine monomio significa “unica legge”. Ora, il fatto che ciascuna variabile possa essere elevata ad un esponente non costituisce una contraddizione. Le potenze sono infatti per definizione soltanto un differente modo per scrivere delle moltiplicazioni.

Nella lezione vedremo la definizione di monomio, la forma normale per i monomi, la nozione di grado di un monomio e l’importantissimo concetto di monomi simili. Quest’ultima definizione ci permetterà anche di introdurre le nozioni di monomi uguali e monomi opposti.

Cominciamo allora subito a fare la conoscenza dei monomi.

Un monomio è un’espressione data dal prodotto di una parte numerica per una parte letterale che contiene solo moltiplicazioni.

Dunque in un monomio compare solo l’operazione di moltiplicazione.

Il seguente è un esempio di monomio:

4xy^2z^3

L’espressione è infatti un prodotto tra un coefficiente numerico (la parte numerica 4) e una parte letterale nella quale compaiono solo prodotti. Osserviamo infatti che per le proprietà delle potenze abbiamo:

4xy^2z^3 = 4 \cdot x \cdot y \cdot y \cdot z \cdot z \cdot z

Ciò evidenzia che in effetti abbiamo nel monomio soltanto moltiplicazioni.

Una conseguenza della richiesta di avere nella parte letterale soltanto moltiplicazioni è data dal fatto che gli esponenti nella parte letterale devono essere esclusivamente numeri naturali. Così ad esempio la seguente espressione:

5x^2y^{\frac{1}{2}}

non è un monomio. Infatti, per le proprietà degli esponenti frazionari la precedente espressione equivale a:

5x^2 \sqrt{y}

e ciò comporta la presenza di un’ulteriore operazione rispetto alla moltiplicazione, ovvero l’estrazione di radice. Dunque l’espressione non rispetta la definizione di monomio.

Invece il seguente:

\sqrt{2}x^2

è un monomio, poiché l’operazione di estrazione di radice riguarda la sola parte numerica e non la parte letterale. La quantità \sqrt{2} rappresenta infatti un numero reale, e ciò rispetta la definizione di monomio. Solitamente lavoreremo comunque con parti numeriche date da valori interi o al più frazionari (numeri razionali).

In modo del tutto simile, osserviamo che il seguente:

2a^2bc^{-1}

non è un monomio. Infatti, per le proprietà degli esponenti negativi questo può essere riscritto come:

\dfrac{2a^2b}{c}

e di conseguenza ritroviamo nella parte letterale, oltre alle moltiplicazioni, anche l’operazione di divisione.

Invece il seguente:

\dfrac{4}{7}a^2b^3

è un monomio. Infatti il coefficiente \dfrac{4}{7} anche se frazionario è comunque un numero reale, e quindi rispetta la definizione di monomio.

Infine, la seguente espressione:

4x^2y^3+9x^5

non è un monomio, poiché compare oltre alla moltiplicazione anche l’operazione di addizione. Come vedremo, l’espressione rappresenta una somma tra monomi.

Osservazione. Secondo alcune definizioni, un monomio contenente almeno una lettera al denominatore si dice monomio frazionario. Viceversa, un monomio che non contiene nessuna lettera al denominatore si dice monomio intero. Tuttavia, qui su SìMatematica ci riferiremo sempre a monomi interi. E considereremo tutte le espressioni letterali che contengono almeno una lettera al denominatore come frazioni algebriche. Di queste ci occuperemo nelle successive lezioni.

Detta in altri termini, in un monomio in forma normale non dobbiamo avere più coefficienti numerici moltiplicati tra loro. Inoltre, tra i fattori che compongono la parte letterale non deve mai ripetersi una stessa lettera. Così ad esempio il seguente monomio:

4 x^2 y^2 3y^5

non è in forma normale, poiché abbiamo la presenza di due fattori numerici (4 e 3) e poiché la lettera y si presenta due volte (prima con esponente 2, poi con esponente 5).

Per riesprimere il monomio in forma normale conviene anzitutto riscriverlo come segue utilizzando la proprietà commutativa:

4 \cdot 3 \cdot x^2 \cdot  y^2  \cdot y^5

Procediamo poi moltiplicando tra loro i coefficienti numerici e le potenze letterali che hanno la stessa lettera:

\underbrace{4 \cdot 3}_{12} \cdot x^2 \cdot  \underbrace{y^2  \cdot y^5}_{\substack{\text{prodotto fra} \\ \text{potenze di } \\ \text{uguale base}}} = 12 x^2 y^{2+5} = 12 x^2 y^7 

In particolare, abbiamo y^2\cdot y^5 = y^ 7 per la regola del prodotto tra potenze di uguale base. Infatti, il prodotto tra potenze di uguale base fornisce come risultato una potenza avente come base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti.

Come ulteriore esempio, proviamo a riscrivere come un monomio in forma normale la seguente espressione:

4 a^2 b^3 12 a^3

Abbiamo:

4 a^2 b^3 12 a^3= 4 \cdot 12 \cdot a^2 \cdot a^3 \cdot b ^3 = 48 a^{2+3}\cdot b^3 = 48 a^5 b^3

Grado di un monomio

Veniamo ora all’importante definizione di grado di un monomio.

Il grado (complessivo) di un monomio è la somma di tutti gli esponenti presenti nella parte letterale.

Così il monomio:

3x^2y^4

ha grado 6 poiché la somma di tutti gli esponenti presenti nella parte letterale è 2+4=6. Siamo dunque in presenza di un monomio di sesto grado.

Attenzione a monomi del tipo il seguente:

5xyz^3

Nelle lettere (o variabili) x e y è sottinteso un esponente 1. Di conseguenza attenzione: il grado del monomio non è 3! Infatti, dobbiamo rileggere il monomio indicando esplicitamente tutti gli esponenti:

5x^1y^1z^3

Il grado del monomio è quindi 1+1+3 = 5. Per cui il monomio è di quinto grado.

Osserviamo che un qualunque numero può essere visto come un monomio di grado zero. Infatti abbiamo ad esempio:

5=5x^0= 5\cdot 1 = 5

Ciò discende dal fatto che una qualsiasi quantità non nulla elevata a zero è uguale a 1.

E’ anche possibile definire il grado di un monomio rispetto ad una certa lettera. Così ad esempio il monomio:

4a^2b^3c

è di secondo grado rispetto alla lettera a, di terzo grado rispetto alla lettera b e di primo grado rispetto alla lettera c (è qui sottinteso, ricordiamo, un esponente uguale a 1).

Il grado (complessivo) del monomio è invece uguale alla somma 2+3+1=6, per cui il monomio è di sesto grado.

Se una data lettera non compare nel monomio diciamo che il monomio è di grado zero rispetto a tale lettera. Così il monomio:

6x^2y^7

è ad esempio di grado zero rispetto alla lettera z.

Infine, se un monomio ha parte numerica pari a zero, diciamo che il suo grado è indeterminato. Così ad esempio il monomio:

0x^2=0

è di grado indeterminato. Osserviamo che un qualsiasi monomio con parte numerica o coefficiente pari a zero si dice monomio nullo.

Monomi simili

Concludiamo la lezione presentando l’importantissima definizione di monomi simili.

Due o più monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale.

Così ad esempio i due monomi:

3x^2y^5, \qquad 6x^2y^5

sono simili poiché hanno la stessa parte letterale x^2y^5.

I seguenti monomi invece:

5x^2y, \qquad 7x^2y^4

non sono simili poiché hanno differenti parti letterali. E attenzione, anche se la x si presenta in entrambi i monomi con lo stesso esponente, i monomi non sono comunque simili poiché la lettera y si presenta con esponente differente.

Per i seguenti monomi:

3x^2 4 z^3 y^5, \qquad 20x^2y^2z^3y^3

non possiamo stabilire agevolmente se sono simili o meno poiché non sono in forma normale. Dobbiamo quindi anzitutto ridurli in forma normale in modo da poter stabilire comodamente se sono simili oppure no. Abbiamo:

\begin{align*} &3x^2 4 z^3 y^5=3\cdot4 \cdot x^2 \cdot y^5 \cdot z^3 = 12 \boxed{x^2 y^5 z^3},  \\ \\ &20 x^2 y^2 z^3 y^3 =  20 x^2 \cdot y^2 \cdot y^3 \cdot z^3 = 20 \boxed{x^2 y^5 z^3} \end{align*}

Possiamo a questo punto concludere che i monomi sono simili.

Dalla nozione di monomi simili discendono le particolari definizioni di monomi uguali e monomi opposti.

Due monomi si dicono uguali se presentano la stessa parte numerica e la stessa parte letterale.

Due monomi si dicono opposti se presentano la stessa parte letterale e se le rispettive parti numeriche sono uguali in valore assoluto ma di segno opposto.

Osserviamo che entrambe le definizioni riguardano monomi simili.

Così, ad esempio i monomi:

2x^2, \qquad 2x^2

sono evidentemente uguali poiché hanno la stessa parte numerica e letterale. Invece i monomi:

-5x^3y^2, \qquad 5x^3y^2

sono opposti poiché hanno la stessa parte letterale e coefficienti (o parti numeriche) tra loro opposti. Ricordiamo che due numeri si dicono opposti se sono uguali in modulo ma differiscono per il segno.

Conclusioni

Per quanto riguarda i monomi e le relative definizioni è tutto. Per chi vuole allenarsi su quanto appreso nella lezione è disponibile l’esercitazione sulle definizioni dei monomi.

Come ulteriore approfondimento sugli argomenti trattati consigliamo anche le seguenti lezioni:

• definizione di monomio e forma normale;
• grado di un monomio;
• monomi simili – monomi opposti.

Nella prossima lezione vedremo le operazioni con i monomi.