Operazioni con le frazioni algebriche

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Vediamo ora le operazioni con le frazioni algebriche, grazie alle quali potremo poi calcolare le espressioni con le frazioni algebriche.

Definiremo le operazioni con le frazioni algebriche in modo del tutto simile alle operazioni con le frazioni numeriche. Abbiamo quindi le operazioni di somma algebrica, prodotto, divisione ed elevamento a potenza di frazioni algebriche.

Nell’introdurre ciascuna operazione terremo conto della nozione di campo di esistenza. Così, definiremo il campo di esistenza della frazione algebrica risultato dell’operazione a partire dai campi di esistenza delle frazioni algebriche di partenza. Inoltre, nel calcolo della somma algebrica delle frazioni algebriche utilizzeremo la riduzione a denominatore comune, già vista nella precedente lezione.

Vediamo allora quali sono le operazioni con le frazioni algebriche e come si eseguono.

Somma algebrica (operazioni con le frazioni algebriche)

Cominciamo lo studio delle operazioni con le frazioni algebriche a partire dalla somma algebrica. Con tale operazione raggruppiamo entrambe le operazioni di somma e differenza di frazioni algebriche. In questa lezione preferiamo analizzare direttamente l’operazione di somma algebrica, senza passare per le due distinte operazioni di somma e differenza. Infatti, nei casi generali ritroveremo praticamente sempre delle somme algebriche tra frazioni algebriche.

Ricordiamo che per somma algebrica intendiamo una particolare somma che tiene conto dei segni degli addendi. In precedenza abbiamo visto la somma algebrica di polinomi, che comprende le operazioni di somma e differenza tra polinomi. A questo punto, estendiamo il concetto al caso delle frazioni algebriche.

La somma algebrica di frazioni algebriche è un’operazione che restituisce come risultato una frazione algebrica avente per denominatore il denominatore comune delle frazioni algebriche e per numeratore la somma algebrica dei numeratori delle corrispondenti frazioni algebriche ridotte a denominatore comune.

Per la procedura relativa al calcolo del denominatore comune è possibile fare riferimento alla precedente lezione.

Così per calcolare la somma algebrica di due o più frazioni algebriche basterà ridurre le frazioni algebriche a denominatore comune, e quindi scrivere come risultato una frazione algebrica avente per denominatore lo stesso denominatore comune e per numeratore la somma algebrica dei numeratori delle frazioni algebriche ridotte a denominatore comune.

Nella pratica, tale procedimento equivale a scrivere una frazione avente per denominatore il denominatore comune delle frazioni e per numeratore la somma dei prodotti tra ciascun numeratore delle frazioni di partenza e il quoziente fra il denominatore comune e il denominatore di ciascuna frazione di partenza.

Precisiamo altresì che se le frazioni algebriche hanno già lo stesso denominatore, la loro somma sarà semplicemente una frazione algebrica avente per denominatore il loro stesso denominatore e per numeratore la somma algebrica dei numeratori delle frazioni di partenza.

Inoltre, per quanto riguarda il campo di esistenza della frazione risultato dell’operazione vale quanto segue.

Il campo di esistenza (o insieme di definizione) della frazione algebrica somma è uguale all’intersezione dei campi di esistenza delle frazioni algebriche da sommare.

Così detto {\mathscr{D}_1} il campo di esistenza della prima frazione che compare nella somma e {\mathscr{D}_2} il campo di esistenza della seconda frazione che compare nella somma stessa, il campo di esistenza {\mathscr{D}_S} della frazione algebrica somma è:

\mathscr{D}_S=\mathscr{D}_1 \cap \mathscr{D}_2 

Esempio 1

Calcolare la seguente somma algebrica tra frazioni algebriche:

\dfrac{x^3-4}{x^4}-\dfrac{x-1}{x^2}

Entrambe le frazioni sono definite per {x \neq 0} e pertanto anche la frazione somma sarà definita per {x \neq 0}.

Ora, il denominatore comune delle due frazioni è il minimo comune multiplo tra i denominatori, ovvero {x^4}.

Per cui intanto abbiamo:

\dfrac{x^3-4}{x^4}-\dfrac{x-1}{x^2}= \dfrac{\dots }{x^4}

Per ciascuna frazione, dividiamo il denominatore comune per il denominatore della frazione, quindi moltiplichiamo il quoziente ottenuto per il suo numeratore. Sommiamo algebricamente tra loro i prodotti così ottenuti tenendo conto dei segni presenti nell’espressione di partenza:

\dfrac{x^3-4}{x^4}-\dfrac{x-1}{x^2}= \dfrac{\overbrace{1}^{x^4:x^4} \cdot (x^3-4)-\overbrace{x^2}^{x^4:x^2}(x-1) }{x^4}=

Prestiamo attenzione a come abbiamo lavorato con i segni. Poiché davanti alla seconda frazione abbiamo il segno meno, abbiamo attribuito al primo fattore del prodotto al numeratore ad essa corrispondente segno meno. Pertanto abbiamo scritto {-x^2(x-1)} e non {+x^2(x-1)}.

Concludiamo i passaggi calcolando i prodotti al numeratore e quindi sommando gli eventuali termini simili:

=\dfrac{\cancel{x^3}-4-\cancel{x^3}+x^2}{x^4}=\dfrac{x^2-4}{x^4}

Esempio 2

Calcolare la seguente somma algebrica:

\dfrac{1}{2x}+\dfrac{4x-3}{4x}-\dfrac{x-1}{x}

Come nel caso precedente abbiamo frazioni tutte definite per {x \neq 0}. Di conseguenza anche la frazione somma avrà tale condizione di esistenza.

Il denominatore comune è il minimo comune multiplo tra i denominatori, ovvero {4x}.

Procedendo in modo del tutto simile all’esercizio precedente, abbiamo:

\begin{align*} & \dfrac{1}{2x}+\dfrac{4x-3}{4x}-\dfrac{x-1}{x}=\dfrac{\overbrace{2}^{4x:2x} \cdot 1 + 4x-3-\overbrace{4}^{4x:x}(x-1)}{4x}= \\ \\ & =\dfrac{2+\cancel{4x}-3-\cancel{4x}+4}{4x}=\dfrac{3}{4x} \end{align*}

Esempio 3

\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{a-b}{a^2-ab+b^2}-\dfrac{2a^2-ab}{a^3+b^3}

Scomponiamo il denominatore della terza frazione (regola della somma di cubi):

\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{a-b}{a^2-ab+b^2}-\dfrac{2a^2-ab}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}

La frazione algebrica somma avrà come condizioni di esistenza {a \neq -b } e contemporaneamente {a^2-ab+b^2 \neq 0}.

Il denominatore comune è dato da {(a+b)(a^2-ab+b^2)}. Questo corrisponde al denominatore della terza frazione, che effettivamente è il minimo comune multiplo dei denominatori della prima frazione e della seconda. Abbiamo:

\begin{align*} &\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{a-b}{a^2-ab+b^2}-\dfrac{2a^2-ab}{(a+b)(a^2-ab+b^2)} = \\ \\ & =\dfrac{(a^2-ab+b^2) \cdot 1 + (a+b)(a-b)\boxed{-1} \cdot (2a^2-ab)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)} = \\ \\ & =\dfrac{\cancel{a^2}-\cancel{ab}+\cancel{b^2}+\cancel{a^2}-\cancel{b^2}-\cancel{2a^2}+\cancel{ab}}{(a+b)(a^2-ab+b^2)} = \\ \\ & =\dfrac{0}{(a+b)(a^2-ab+b^2)} = 0\end{align*}

Osserviamo che per il risultato finale, anche se è zero, valgono comunque le condizioni di esistenza indicate.

Il {-1} messo in evidenza nel riquadro è il quoziente della divisione tra il denominatore comune e il denominatore della terza frazione. E’ accompagnato dal segno meno poiché questo è il segno che si trova davanti alla linea di fratto della terza frazione nell’espressione di partenza.
Per rendere le cose più chiare, possiamo riscrivere l’espressione di partenza come segue: {\begin{align*} &\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{a-b}{a^2-ab+b^2}-\dfrac{2a^2-ab}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}= \\ \\ & = \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{a-b}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{-1(2a^2-ab)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}= \\ \\ & = \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{a-b}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{-2a^2+ab)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)} \end{align*}} In questo modo abbiamo sfruttato la definizione di sottrazione come somma dell’opposto. Infatti moltiplicando il numeratore per {-1} otteniamo il suo opposto.
Osserviamo che così facendo ci siamo tolti all’atto del mettere i termini a denominatore comune il problema di dover ragionare sul segno meno davanti alla linea di fratto nella terza frazione. Questo approccio può essere consigliabile quando si è all’inizio, e lo vedremo subito nel dettaglio nel successivo esempio.

Esempio 4

Calcoliamo la seguente somma algebrica:

\dfrac{7x+5}{x-2}-\dfrac{5x-1}{x-3}+\dfrac{17}{(x-2)(x-3)}

La frazione algebrica risultato della somma sarà definita per {x \neq 2 \: \wedge \: x \neq 3}.

Veniamo ora ai calcoli algebrici. Per non incorrere in errori sui segni, possiamo riscrivere l’espressione come segue, rileggendo la sottrazione (il segno meno che precede la seconda frazione) come somma dell’opposto:

\dfrac{7x+5}{x-2}\boxed{+}\dfrac{\overbrace{-5x+1}^{\text{opposto di }5x-1}}{x-3}+\dfrac{17}{(x-2)(x-3)}

Osserviamo che dobbiamo prendere l’opposto del solo numeratore della frazione.

A questo punto possiamo eseguire in modo più tranquillo la somma.

Il denominatore comune è banalmente il prodotto dei denominatori della prima e della seconda frazione. Infatti, il denominatore della terza frazione è il loro minimo comune multiplo.

\begin{align*} & \dfrac{7x+5}{x-2}{+}\dfrac{{-5x+1}}{x-3}+\dfrac{17}{(x-2)(x-3)}= \\ \\ & =\dfrac{(x-3)(7x+5)+(x-2)(-5x+1)+17}{(x-2)(x-3)} = \\ \\ & =\dfrac{7x^2+5x-21x-15-5x^2+x+10x-2+17}{(x-2)(x-3)}= \\ \\ & =\dfrac{2x^2-5x}{(x-2)(x-3)} \end{align*}

In alternativa si può anche procedere direttamente come segue:

\begin{align*} &\dfrac{7x+5}{x-2}-\dfrac{5x-1}{x-3}+\dfrac{17}{(x-2)(x-3)}=\\ \\ & =\dfrac{(x-3)(7x+5)-(x-2)(5x-1)+17}{(x-2)(x-3)}= \\ \\ & =\dfrac{7x^2+5x-21x-15-(5x^2-x-10x+2)+17}{(x-2)(x-3)}= \\ \\ & =\dfrac{7x^2+5x-21x-15-5x^2+x+10x-2+17}{(x-2)(x-3)}= \\ \\ & =\dfrac{2x^2-5x}{(x-2)(x-3)}\end{align*}

Con l’esperienza sarà possibile lavorare in modo più disinvolto con i segni, riducendo i passaggi necessari. Ad esempio, invece di scrivere come abbiamo fatto nel secondo passaggio {-(x-2)(5x-1)} è possibile scrivere direttamente {(-x+2)(5x-1)}, evitando così di ritrovarci con dei termini dentro le parentesi tonde nella somma algebrica al numeratore relativamente al passaggio successivo.

Prodotto tra frazioni algebriche (operazioni con le frazioni algebriche)

Proseguiamo lo studio delle operazioni con le frazioni algebriche introducendo il prodotto.

Il prodotto tra due o più frazioni algebriche è uguale ad una frazione algebrica che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori delle frazioni di partenza. Esprimendoci in simboli: {\dfrac{N_1}{D_1} \cdot \dfrac{N_2}{D_2}= \dfrac{N_1 \cdot N_2}{D_1 \cdot D_2}}

La frazione algebrica prodotto, ovvero la frazione algebrica che si ottiene moltiplicando tra loro le frazioni di partenza, ha per campo di esistenza l’intersezione tra i campi di esistenza delle stesse frazioni di partenza. Per semplicità trascuriamo comunque la discussione del campo di esistenza negli esempi a seguire. Le considerazioni da fare sono in ogni caso del tutto simili a quelle già viste per la somma algebrica.

Nel calcolare il prodotto tra frazioni algebriche nella pratica si inizia scomponendo in fattori i numeratori e i denominatori delle frazioni presenti nel prodotto e quindi si procede ove possibile eseguendo delle semplificazioni incrociate, come nel caso delle frazioni numeriche.

Esempio 1

Eseguire il seguente prodotto tra frazioni algebriche:

\dfrac{a^4b^5}{c^2} \cdot \dfrac{c^4b^3}{a^6}

In questo caso i numeratori e i denominatori risultano già scomposti in fattori (è sufficiente rileggere le potenze come delle moltiplicazioni, ad esempio {a^4 = a \cdot a \cdot a \cdot a}).

Poiché abbiamo dei fattori in comune tra le frazioni algebriche è possibile eseguire delle semplificazioni incrociate:

\dfrac{a^4b^5}{c^2} \cdot \dfrac{c^4b^3}{a^6}=\dfrac{\cancel{a^{4}}b^5}{\cancel{c^2}} \cdot \dfrac{c^{\cancel{4}^{\scriptsize \displaystyle2}}b^3}{a^{\cancel{6}^{\scriptsize \displaystyle2}}}=\dfrac{b^5 \cdot b^3 \cdot c^2}{a^2}=\dfrac{b^{5+3}c^2}{a^2}=\dfrac{b^8c^2}{a^2}

In particolare, per quanto riguarda le semplificazioni incrociate abbiamo semplificato tra loro i fattori {a^4} e {a^6}, rispettivamente al numeratore della prima frazione e al denominatore della seconda, e {c^4} e {c^2}, rispettivamente al numeratore della seconda frazione e al denominatore della prima. Vediamo per comodità separatamente le due semplificazioni, riscritte come divisioni tra monomi. Cominciamo da quella relativa ai fattori contenenti la lettera {c}:

\dfrac{c^4}{c^2}=c^{4-2}=c^2

Fin qui niente di nuovo. Si tratta di una divisione tra monomi, e in particolare abbiamo utilizzato la regola del rapporto tra potenze aventi uguale base.

Vediamo invece la semplificazione relativa ai fattori contenenti la lettera {a}:

\dfrac{a^4}{a^6}=a^{4-6}=a^{-2}=\dfrac{1}{a^2}

Qui non abbiamo propriamente una divisione tra monomi in quanto il risultato non è un monomio ma una frazione algebrica. In ogni caso, la logica è del tutto simile alla divisione tra monomi, e infatti abbiamo sottratto all’esponente al numeratore l’esponente al denominatore. L’unica differenza è che otteniamo in questo caso un esponente negativo. E per la proprietà degli esponenti negativi, possiamo sostituire un esponente negativo con un esponente positivo a patto di portare la potenza dal numeratore al denominatore.

Esempio 2

Calcoliamo il seguente prodotto tra frazioni algebriche:

(2a-b)^2 \cdot \dfrac{1}{b^2-4a^2}

Osserviamo che il primo fattore può essere riletto come una frazione a patto di vederlo come \dfrac{(2a-b)^2}{1} .

Procediamo scomponendo il denominatore della seconda frazione algebrica:

(2a-b)^2 \cdot \dfrac{1}{b^2-4a^2}=(2a-b)^2 \cdot \dfrac{1}{(b+2a)(b-2a)}=

A questo punto per poter eseguire una semplificazione incrociata dobbiamo prima lavorare con i segni. Infatti, il fattore {2a-b} è l’opposto del fattore {b-2a} presente al denominatore della seconda frazione algebrica. Cambiamo allora il segno di tutti i termini del fattore {b-2a} invertendo il segno del numeratore della frazione corrispondente. Proseguendo i passaggi:

=(2a-b)^2 \cdot \dfrac{-1}{(b+2a)(-b+2a)}=(2a-b)^2 \cdot \dfrac{-1}{(b+2a)(2a-b)}=

Per maggiore chiarezza abbiamo anche riordinato i termini presenti nel fattore. A questo punto è evidente che possiamo eseguire una semplificazione incrociata tra i fattori {2a-b}:

=(2a-b)^{\cancel{2}} \cdot \dfrac{-1}{(b+2a)\cancel{(2a-b)}}=(2a-b)\cdot\dfrac{-1}{b+2a}=

Ora non resta che moltiplicare il fattore {2a-b} (che è al numeratore, immaginando infatti come denominatore {1}) e il numeratore della seconda frazione nel prodotto, ovvero {-1}. Concludendo i passaggi:

=\dfrac{(2a-b) \cdot (-1)}{b+2a}=\dfrac{-2a+b}{b+2a}

Esempio 3

Calcoliamo il seguente prodotto con tre frazioni algebriche:

\dfrac{a^2-2a+1}{x^3} \cdot \dfrac{ax^2+x^2}{a-1} \cdot \left( \dfrac{-x}{a+1}\right)

Anzitutto scomponiamo in fattori le quantità presenti ai numeratori e denominatori, ove possibile. Qui possiamo scomporre soltanto i numeratori delle prime due frazioni algebriche:

\begin{align*} & \dfrac{a^2-2a+1}{x^3} \cdot \dfrac{ax^2+x^2}{a-1} \cdot \left(- \dfrac{x}{a+1}\right)= \\ \\ & =\dfrac{(a-1)^2}{x^3} \cdot \dfrac{x^2(a+1)}{a-1}  \cdot \dfrac{-x}{a+1}=\end{align*}

Osserviamo che abbiamo portato a numeratore il segno meno davanti alla terza frazione algebrica.

Procediamo eseguendo una semplificazione tra i fattori {a-1}, {a+1} e {x} (possiamo leggere infatti {-x} come {-1 \cdot x}):

=\dfrac{(a-1)^{\cancel{2}}}{\cancel{x^3}} \cdot \dfrac{\cancel{x^2}\cancel{(a+1)}}{\cancel{a-1}} \cdot \dfrac{-\cancel{x}}{\cancel{a+1}}=\dfrac{(a-1) \cdot (-1)}{1}=

Osserviamo alcune cose. Intanto, quando semplifichiamo tutti i denominatori in un prodotto tra frazioni immaginiamo di rimanere con un denominatore uguale a {1}. Poi, osserviamo che i fattori in {x} si semplificano tutti tra loro, ma rimane un {-1} relativo al segno meno del fattore {-x} (il numeratore della terza frazione algebrica).

Concludendo i passaggi otteniamo:

=-a+1

Divisione tra frazioni algebriche (quoziente, operazioni con le frazioni algebriche)

Continuiamo il nostro viaggio alla scoperta delle operazioni con le frazioni algebriche introducendo la divisione. Come vedremo tra un’istante, non si tratta di un’operazione del tutto nuova, poiché con opportune considerazioni questa potrà essere ricondotta ad una moltiplicazione.

Per dividere due frazioni algebriche tra loro basta moltiplicare la prima frazione algebrica per il reciproco della seconda. Ciò è del tutto equivalente alla regola relativa alle frazioni numeriche. In tal modo ci riconduciamo ad una moltiplicazione tra frazioni algebriche che può essere calcolata con le regole appena viste. Utilizzando i simboli:

\dfrac{N_1}{D_1 }: \dfrac{N_2}{D_2}= \dfrac{N_1}{D_1} \cdot \dfrac{D_2}{N_2}

In pratica dobbiamo passare da una divisione ad una moltiplicazione scambiando tra loro il numeratore e il denominatore della frazione algebrica al divisore.

Vediamo subito degli esempi sulle operazioni di divisione sulle frazioni algebriche.

Esempio 1

Eseguiamo la seguente divisione tra frazioni algebriche:

\dfrac{3a^4b^3}{25x^7}: \dfrac{24a^5b^4}{5x^8}

Riscriviamo la divisione come una moltiplicazione, scambiando il numeratore e il denominatore della seconda frazione algebrica tra loro:

\dfrac{3a^4b^3}{25x^7}: \dfrac{24a^5b^4}{5x^8}=\dfrac{3a^4b^3}{25x^7} \cdot  \dfrac{5x^8}{24a^5b^4}=

Ora non resta che procedere seguendo le regole già viste per la moltiplicazione tra frazioni algebriche:

\large=\dfrac{\cancel{3}\cancel{a^4}\cancel{b^3}}{\cancel{25}^{\small \displaystyle5}\cancel{x^7}} \cdot \dfrac{\cancel{5}x^{\cancel{8}}}{\cancel{24}^{\small \displaystyle8}a^{\cancel{5}}b^{\cancel{4}}}=\dfrac{x}{40ab}

Esempio 2

Calcolare la seguente espressione contenente tre divisioni:

\dfrac{10x}{ab}: \dfrac{5x}{a^2b^2}:\dfrac{2abx}{c^2}

Non lasciamoci disorientare dalla presenza di tre frazioni algebriche: è sufficiente ragionare con le regole di precedenza. In particolare, in presenza di sole divisioni (in generale anche moltiplicazioni) e in assenza di parentesi bisogna procedere con le operazioni nell’ordine da sinistra verso destra. Per cui dovremo prima eseguire la divisione tra le prime due frazioni, quindi dividere il risultato ottenuto per la terza frazione.

Tuttavia, è più conveniente ricondurre direttamente tutte le divisioni presenti a moltiplicazioni, e quindi moltiplicare tra loro le frazioni algebriche così riscritte, eseguendo delle semplificazioni incrociate. Si ha:

\dfrac{10x}{ab}: \dfrac{5x}{a^2b^2}:\dfrac{2abx}{c^2}=\dfrac{\cancel{10}^{\small \displaystyle\cancel{5}}\cancel{x}}{\cancel{a}\cancel{b}} \cdot \dfrac{\cancel{a^2}\cancel{b^2}}{\cancel{5}x} \cdot \dfrac{c^2}{\cancel{2}\cancel{a}\cancel{b}\cancel{x}} = \dfrac{c^2}{x}

Potenza di una frazione algebrica

Concludiamo la nostra carrellata di operazioni con le frazioni algebriche con la potenza.

La potenza di una frazione algebrica ad esponente naturale {n \in \mathbb{N}} si calcola elevando all’esponente {n} sia il numeratore, sia il denominatore della frazione algebrica: {\left( \dfrac{N}{D}\right)^n = \dfrac{N^n}{D^n}}
Se l’esponente è invece negativo, basterà scambiare tra loro il numeratore e il denominatore della frazione algebrica, elevando poi all’esponente opposto a quello di partenza (e quindi positivo) entrambi il numeratore e il denominatore della frazione algebrica così riscritta: {\left( \dfrac{N}{D}\right)^{-n}=\left( \dfrac{D}{N}\right)^{n}}

Vediamo subito degli esempi sulle operazioni con le frazioni algebriche relative al caso dell’elevamento a potenza.

Esempio 1

Calcolare la seguente potenza:

\left( \dfrac{a^3b^2}{c^3}\right)^4

Eleviamo entrambi il numeratore e il denominatore all’esponente {4}:

\left( \dfrac{a^3b^2}{c^3}\right)^4=\dfrac{(a^3b^2)^4}{(c^3)^4}=

A questo punto ci ritroviamo a numeratore e a denominatore con delle potenze di monomi, che possiamo calcolare utilizzando la proprietà della potenza di una potenza (prodotto degli esponenti):

=\dfrac{a^{3 \cdot 4} b ^{2 \cdot 4}}{c^{3 \cdot 4}}=\dfrac{a^{12}b^8}{c^{12}
}

Esempio 2

Calcolare la seguente potenza con esponente negativo:

\left( \dfrac{2x^3}{5y}\right)^{-2}

Scambiamo di posto il numeratore e il denominatore della frazione all’interno delle parentesi tonde, quindi sostituiamo l’esponente con il suo opposto (invertiamo il segno dell’esponente):

\left( \dfrac{2x^3}{5y}\right)^{-2}=\left( \dfrac{5y}{2x^3}\right)^2=

A questo punto eleviamo all’esponente il numeratore e il denominatore, come nel caso precedente:

=\dfrac{(5y)^2}{(2x^3)^2}=\dfrac{25y^2}{4x^6}

Esempio 3

Concludiamo la lezione sulle operazioni con le frazioni algebriche con il seguente ultimo esempio.

Calcolare la seguente potenza di potenza:

\left[ \left(- \dfrac{3a^3}{5b}\right)^{-2}\right]^2

Sfruttiamo fin da subito la proprietà della potenza di una potenza eseguendo il prodotto tra gli esponenti {-2} e {2}:

\left[ \left(- \dfrac{3a^3}{5b}\right)^{-2}\right]^2=\left(- \dfrac{3a^3}{5b}\right)^{-2 \cdot 2}=\left(-\dfrac{3a^3}{5b} \right)^{-4}=

Ora poiché abbiamo un esponente negativo, scambiamo di posto tra loro il numeratore e il denominatore della frazione all’interno delle parentesi tonde. Attenzione: chiaramente dobbiamo mantenere il segno della frazione:

=\left(- \dfrac{5b}{3a^3}\right)^4=

Poiché l’esponente {4} è pari, nonostante il segno meno davanti alla linea di fratto otterremo comunque un risultato positivo. Per meglio rendercene conto, possiamo riscrivere il meno davanti alla linea di frazione come un fattore {-1}, e quindi applicare la proprietà del prodotto tra potenze di uguale esponente, in senso inverso:

=\left( -1 \cdot \dfrac{5b}{3a^3}\right)^4= (-1)^4 \cdot \left( \dfrac{5b}{3a^3}\right)^4=1 \cdot \left( \dfrac{5b}{3a^3}\right)^4=\left( \dfrac{5b}{3a^3}\right)^4=

Concludiamo elevando all’esponente {4} sia il numeratore, sia il denominatore della frazione:

=\dfrac{(5b)^4}{(3a^3)^4}=\dfrac{625b^4}{81a^{12}}

Per quanto riguarda le operazioni con le frazioni algebriche è tutto. Con le conoscenze acquisite in questa lezione sarà possibile calcolare le espressioni con le frazioni algebriche, che è l’argomento della prossima lezione. Buon proseguimento con SìMatematica!


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