Operazioni tra insiemi

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Insiemi

Le operazioni tra insiemi consentono di ottenere, a partire da due o più insiemi, un particolare insieme che è il risultato dell’operazione, secondo determinate regole.

Presentiamo ora degli esercizi sulle operazioni tra insiemi: unione, intersezione e differenza. In tutti gli esercizi chiariremo le regole via via utilizzate. Prima di iniziare, ricordiamo in ogni caso brevemente le regole delle operazioni tra insiemi, di modo che gli svolgimenti degli esercizi saranno ancora più chiari.

L’unione tra due insiemi A e B è un’operazione che ha per risultato l’insieme A ∪ B, tale da contenere gli elementi che appartengono o all’insieme A, o all’insieme B, o a entrambi. Simbolicamente si indica con:

A \cup B = \left\{ x | x \in A \vee x \in B\right\}

Il simbolo “{\vee}” significa “oppure” e quindi fa sì che l’elemento {x} appartenga o all’insieme {A}, o all’insieme {B} od a entrambi. Il simbolo si riferisce infatti alla “disgiunzione logica inclusiva“, che effettivamente include anche la possibilità che l’elemento possa appartenere ad entrambi gli insiemi e non soltanto ad uno di essi.

L’intersezione tra due insiemi A e B è un’operazione che ha per risultato l’insieme A ⋂ B, che contiene i soli elementi che appartengono allo stesso tempo ad A e a B. In simboli:

A \cap B = \left\{ x | x \in A \wedge x \in B\right\}

Ciò significa che un elemento, per poter appartenere all’insieme intersezione {A \cap B}, deve appartenere sia all’insieme {A}, sia all’insieme {B}. Sono dunque esclusi dall’insieme intersezione quegli elementi che appartengono soltanto all’insieme {A} o soltanto all’insieme {B}. Precisiamo che il simbolo “{\wedge}” si riferisce alla congiunzione logica.

NOTA: per brevità, nel definire le operazioni tra insiemi tralasciamo il concetto di insieme universo, che comunque abbiamo utilizzato nelle lezioni teoriche.

La differenza tra i due insiemi A e B è l’insieme A \ B che contiene gli elementi dell’insieme A che non appartengono all’insieme B. In simboli:

A \setminus B = \left\{ x | x \in A \wedge x \not \in B\right\}

Si tratta in parole povere di togliere all’insieme {A} tutti i suoi elementi che appartengono anche all’insieme {B}. Ricordiamo infine che gli eventuali elementi che appartengono all’insieme {B} ma non appartengono all’insieme {A} non hanno alcun effetto sul risultato dell’operazione.

Possiamo a questo punto procedere con gli esercizi sulle operazioni tra insiemi.

Esercizi svolti sulle operazioni tra insiemi: unione, intersezione, differenza

Esercizio 1

Determinare l’insieme unione degli insiemi {A=\left\{ 1,2,3,5\right\}} e {B=\left\{ 1,3,6,7,9\right\}}.

Dobbiamo costruire un insieme che contenga gli elementi di {A}, gli elementi di {B}, e gli elementi che appartengono ad entrambi gli insiemi.

Ricordiamo sempre che nello scrivere gli elementi di un insieme dobbiamo evitare ripetizioni. Così, quando elenchiamo gli elementi di un insieme non dobbiamo scrivere uno stesso elemento più volte.

Tenendo conto delle regole appena ricordate, abbiamo:

A \cup B = \{1,2,3,5\} \cup \{1,3,6,7,9 \}=\left\{ 1,2,3,5,6,7,9\right\}

Nell’eseguire l’operazione abbiamo dovuto prestare attenzione a non ripetere gli elementi {1} e {3} due volte (tali elementi sono infatti presenti in entrambi gli insiemi di partenza).

Esercizio 2

Determinare l’intersezione degli insiemi {A=\left\{ 3,5,12,20\right\}} e {B=\left\{ 1,2,3,6,12,21\right\}}.

Si tratta di osservare attentamente gli elementi presenti in ciascun insieme ed individuare gli elementi che sono in comune ad entrambi gli insiemi. Così, l’insieme intersezione sarà dato dagli elementi che appartengono sia all’insieme {A}, sia all’insieme {B}.

Un possibile metodo per individuare gli elementi in comune ai due insiemi è quello di controllare uno ad uno gli elementi del primo insieme, verificando se ciascun elemento appartiene anche al secondo insieme oppure no. Scriveremo un dato elemento nell’insieme intersezione (il risultato dell’operazione di intersezione) soltanto se appartiene anche al secondo insieme. Abbiamo:

\begin{align*} & A \cap B = \left\{ 3,5,12,20\right\} \cap \left\{ 1,2,3,6,12,21\right\}=\\ \\ & =\left\{3, 12 \right\} \end{align*}

Ad esempio, l’elemento {3} dell’insieme{A} è presente nell’insieme {B}, per cui lo scriviamo nell’insieme intersezione. L’elemento {5} dell’insieme {A} non appartiene all’insieme {B}, quindi non lo scriviamo nell’insieme intersezione. E così via.

Esercizio 3

Abbiamo visto degli esercizi sulle operazioni di unione e intersezione tra insiemi. Vediamo ora un esercizio riguardante la differenza tra insiemi.

Determinare la differenza tra gli insiemi {A=\left\{ 2,5,7,12\right\}} e {B=\left\{ 1,3,6,7,12 \right\}}.

Dobbiamo togliere all’insieme {A} i suoi elementi che appartengono anche all’insieme {B}. Così abbiamo:

\begin{align*} & A \setminus B = \left\{ 2,5,7,12\right\} \setminus \left\{ 1,3,6,7,12 \right\}=\\ \\ & =\left\{ 2,5\right\} \end{align*}

In pratica, per ogni elemento del primo insieme bisogna chiedersi se appartiene al secondo insieme. Se sì, non lo riportiamo nell’insieme differenza, se no, lo riportiamo. Così ad esempio, l’elemento {2} del primo insieme non appartiene al secondo insieme e quindi lo riportiamo nell’insieme differenza. L’elemento {5} del primo insieme di nuovo non appartiene al secondo insieme e quindi lo riportiamo nell’insieme differenza. Invece, l’elemento {7} del primo insieme appartiene anche al secondo insieme, e quindi non farà parte dell’insieme differenza. E così via.

Finora ci siamo occupati di semplici esercizi sulle operazioni tra insiemi che riguardavano insiemi rappresentati per elencazione. Negli esercizi a seguire considereremo invece insiemi di partenza rappresentati in forma intensiva, ovvero secondo la rappresentazione implicita o per proprietà caratteristica.

Esercizio 4

Determinare l’unione degli insiemi {A=\left\{ x \in \N \: | \: x < 5\right\}} e {B=\left\{ x \in \N \: | \: 2 < x < 7 \right\}}.

Gli insiemi di partenza sono rappresentati in forma intensiva, ovvero per proprietà caratteristica. Tuttavia, per le proprietà dell’insieme {\N} dei numeri naturali entrambi gli insiemi sono finiti. Di conseguenza, possiamo riscrivere ciascun insieme utilizzando la rappresentazione per elencazione:

A=\left\{ 0,1,2,3,4\right\}, \qquad B=\left\{ 3,4,5,6\right\}

Per il secondo insieme, attenzione. Nella rappresentazione per proprietà caratteristica abbiamo i simboli di “minore” e non “minore o uguale”. Di conseguenza, i numeri naturali {2} e {7} non fanno parte dell’insieme {B}.

A questo punto possiamo tranquillamente determinare l’insieme unione dei due insiemi {A} e {B} in modo simile a quanto fatto in precedenza:

\begin{align*} & A \cup B =\left\{ 0,1,2,3,4\right\} \cup \left\{ 3,4,5,6\right\}=\\ \\ & =\left\{ 0,1,2,3,4,5,6\right\} \end{align*}

Esercizio 5

Determinare l’insieme unione degli insiemi {A=\left\{ x \in \N \: | \: x > 5\right\}} e {B = \left\{ x \in \N \: | \: x \geq 7\right\}}.

In questo caso gli insiemi sono infiniti e non possiamo rappresentarli per elencazione (almeno elencando tutti i loro elementi).

Possiamo comunque rappresentare gli insiemi per elencazione aiutandoci con dei puntini. Così abbiamo:

A=\left\{6,7,8,9,10, \dots  \right\}, \qquad B=\left\{ 7,8,9,10,\dots\right\}

Osserviamo che l’elemento {5} è escluso dall’insieme {A}. Infatti, nella proprietà caratteristica che descrive l’insieme {A} abbiamo la relazione {x > 5} (con il simbolo di “maggiore” e non “maggiore o uguale”).

L’elemento {7} è invece compreso nell’insieme {B}, poiché nella corrispondente proprietà caratteristica abbiamo la relazione {x \geq 7}. E data la presenza del simbolo di “maggiore o uguale”, l’elemento {7} è compreso nell’insieme.

A questo punto è piuttosto immediato determinare l’insieme unione:

A \cup B = \left\{ 6,7,8,9,10,\dots \right\}

ovvero utilizzando la rappresentazione intensiva o per proprietà caratteristica:

A \cup B = \left\{ x \in \N \: | \: x > 5\right\}

Esercizio 6

Proseguiamo questa serie di esercizi sulle operazioni tra insiemi con il seguente.

Determinare l’intersezione degli insiemi {A=\left\{ -4, 3, \dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{5}{2}\right\}} e {B=\left\{ x \: | \: x \in \mathbb{Q}; \:0 < x \leq 3\right\}}.

Osserviamo che l’insieme {B} è infinito, e non possiamo rappresentarlo per elencazione nemmeno “barando” con i puntini. Ciò dipende dalle proprietà dell’insieme {Q}, ed in particolare dal fatto che i numeri compresi tra due numeri razionali dati sono infiniti. In altre parole, le frazioni comprese tra due numeri dati sono infinite.

Si tratta allora di ragionare sulla proprietà caratteristica dell’insieme {B} e vedere quali elementi dell’insieme {A} la rispettano. In tal modo potremo determinare l’insieme intersezione cercato.

Prima di tutto, gli elementi dell’insieme {B} appartengono all’insieme {Q} dei numeri razionali, dato da tutte le frazioni. Tuttavia questo non deve portarci in inganno: un numero intero è anche una frazione, avente per denominatore {1}. Così sarebbe un errore escludere a priori dall’insieme {A} gli elementi che non sono scritti come frazioni, corrispondenti ai numeri interi.

Così, anche gli elementi di {A} appartengono all’insieme {Q}. Per determinare l’insieme intersezione {A \cap B} dobbiamo allora concentrarci sulla relazione che contribuisce a definire l’insieme {B}:

0 < x \leq  3 

e dobbiamo chiederci quali elementi dell’insieme {A} rispettano tale relazione.

Osserviamo che il solo elemento {-4} dell’insieme {A} non rispetta tale relazione. Così abbiamo in conclusione:

A \cap B = \left\{ 3, \dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{5}{2}\right\}

Esercizio 7

Dato {A=\left\{ -\dfrac{1}{2}, 3, 8, 14, 20\right\}} e {B=\left\{ -\dfrac{1}{2}, 8\right\}} determinare {A \setminus B}.

Abbiamo:

A \setminus B = \left\{ -\dfrac{1}{2}, 3, 8, 14, 20\right\} \setminus \left\{ -\dfrac{1}{2}, 8\right\} = \left\{ 3,14,20\right\}

Esercizio 8

Dati {A=\left\{ x | x =\dfrac{n+2}{2}; \: n \in \N \setminus \{0\}\right\}} e {B=\left\{ x \: | \: x \in \N, \: x \geq 2\right\}}, determinare il loro insieme intersezione.

Cominciamo con lo scrivere alcuni elementi dell’insieme {A}. Si tratta in particolare di considerare alcuni dei possibili valori di {n} e calcolare i corrispondenti elementi {x} di {A}, seguendo la proprietà caratteristica indicata. Abbiamo:

\begin{align*} &n=1, \qquad&&  x=\dfrac{n+2}{n}=\dfrac{1+2}{1}=3 ; \\ \\ & n=2, && x=\dfrac{n+2}{n}=\dfrac{2+2}{2}=2; \\ \\ &n=3, && x=\dfrac{n+2}{n}=\dfrac{3+2}{3}=\dfrac{5}{3} < 2\end{align*}

per cui l’insieme {A} sarà dato da:

A=\left\{ 3,2, \dfrac{5}{3}, \dots \right\}

Osserviamo che è inutile proseguire con ulteriori valori di {n}. Infatti, in corrispondenza di essi otterremo comunque valori della {x} che non rispettano la proprietà caratteristica dell’insieme {B}. Infatti, per valori di {n} maggiori di {3} otterremmo comunque valori più piccoli di {2}.

Così, l’intersezione degli insiemi {A} e {B} sarà data da tutti gli elementi di {A} tali da rispettare la condizione riportata nella rappresentazione per proprietà caratteristica dell’insieme {B}. In altre parole, dobbiamo prendere che rispettano la condizione {x \geq 2}. Di conseguenza:

A \cap B = \left\{ 2,3\right\}

Concludiamo questa scheda di esercizi sulle operazioni con gli insiemi con un paio di esercizi nei quali compaiono delle espressioni con operazioni tra insiemi.

Esercizio 9

Dati gli insiemi: {A=\left\{ 2,5,7\right\}, \: B=\left\{ 3,7,9,12\right\}, \: C=\left\{ 1,9,24\right\}}calcolare {(B \cap C) \setminus A}.

Abbiamo l’espressione con operazioni tra insiemi:

(B \cap  C) \setminus A

Come nelle operazioni tra numeri, dobbiamo rispettare le precedenze dettate dalle parentesi. Così, dobbiamo prima di tutto eseguire l’operazione di intersezione. Abbiamo:

B \cap C = \left\{ 3,7,9,12\right\} \cap \left\{ 1,9,24\right\}=\left\{ 9\right\}

Di conseguenza abbiamo intanto:

(B \cap  C) \setminus A=\left\{ 9\right\} \setminus A

Infine:

\left\{ 9\right\} \setminus A = \left\{ 9\right\} \setminus \left\{ 2,5,7\right\}=\left\{ 9\right\}

Così in conclusione, per gli insiemi di partenza considerati abbiamo:

(B \cap  C) \setminus A=\left\{ 9\right\}

Esercizio 10

Se {A} è l’insieme dei multipli di {2}, {B} è l’insieme dei multipli di {3} e {C} è l’insieme dei multipli di {5}, determinare l’insieme {(A \cup B) \cap C}.

Osserviamo l’espressione:

(A \cup B) \cap C

Le parentesi ci indicano la prima operazione da eseguire, che è l’unione tra gli insiemi {A} e {B}. Ricordiamo che {A} è l’insieme dei numeri multipli di {2}, mentre {B} è l’insieme dei numeri multipli di {3}. Così l’insieme {A \cup B} sarà dato dai numeri che sono multipli di {2} oppure multipli di {3} (includendo anche quei numeri che sono multipli di entrambi).

Ora, consideriamo l’espressione completa:

\underbrace{(A \cup B)}_{\text{multipli di 2 o 3}} \cap \overbrace{C}^{\text{multipli di 5}}

L’espressione corrisponde all’insieme dato da quei multipli di {5} che sono anche multipli di {2} oppure da quei multipli di {5} che sono anche multipli di {3}.

Osserviamo che il prodotto {5 \cdot 2=10 } è necessariamente un multiplo di {5} e allo stesso tempo di {2}. Così, tutti i multipli di {10} sono multipli allo stesso tempo di {5} e di {2}.

Allo stesso modo, il prodotto {5 \cdot 3 = 15} è necessariamente un multiplo di entrambi i fattori che lo compongono. Di conseguenza, tutti i multipli di {15} sono multipli sia di {5}, sia di {3}.

Di conseguenza, l’insieme {(A \cup B) \cap C} è dato da tutti i multipli di {10} oppure da tutti i multipli di {15}:

(A \cup B) \cap C=\left\{ x \: | \: x=10n \: \text{oppure} \: x=15n, \: n \in \N\right\}

Per questa scheda di esercizi sulle operazioni tra insiemi è tutto. Buon proseguimento con SìMatematica! 🙂