Portare un fattore dentro radice

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Radicali

Vediamo ora come portare un fattore dentro radice (più propriamente, come portare un fattore dentro al simbolo di radice). La regola che studieremo consente di riscrivere il prodotto tra una quantità priva di radici e un radicale come un solo radicale, nel quale abbiamo portato il fattore di partenza dentro al simbolo di radice.

Come spiegheremo tra un istante, nel portare un fattore dentro al simbolo di radice vi è una ben precisa regola da seguire. In particolare, è possibile portare un fattore dentro al simbolo di radice ma soltanto a patto di moltiplicare l’esponente del fattore per l’indice della radice.

Vediamo allora subito la regola per portare un fattore dentro radice, con esempi e spiegazioni. Tale regola è interessante poiché di fatto consente di calcolare il prodotto tra una quantità priva di radici e un radicale.

Regola per portare un fattore dentro al simbolo di radice

Limitiamoci per il momento a considerare esclusivamente radicandi numerici. Vedremo successivamente come comportarci nel caso di radicandi letterali.

Per portare un fattore dentro al simbolo di radice abbiamo le seguenti regole.

Dato il prodotto tra un fattore positivo e un radicale con indice pari, possiamo portare il fattore positivo dentro al simbolo di radice moltiplicando il suo esponente per l’indice del radicale.

Così ad esempio:

2 \cdot \sqrt{7} =  2^1 \cdot \sqrt{7} = \sqrt{2^{1 \cdot 2} \cdot 7}=\sqrt{2^2 \cdot 7} =\sqrt{4 \cdot 7} =  \sqrt{28}

Come utile approfondimento, osserviamo che quanto fatto si giustifica con le proprietà delle potenze. Infatti:

\small 2 \cdot \sqrt{7} = 2^{1} \cdot 7^{1/2} =(2^2)^{1/2} \cdot 7^{1/2}=(2^2 \cdot 7)^{1/2} = \sqrt{2^2 \cdot 7} = \sqrt{28}

In pratica sfruttando il fatto che {2 \cdot \dfrac{1}{2}= 1} abbiamo riscritto i due prodotti di partenza come un prodotto tra potenze di uguale esponente. Abbiamo infatti riscritto {2 } come {(2^2)^{1/2}} grazie alla proprietà delle potenze di potenze.

Abbiamo inoltre la seguente regola per portare un fattore negativo dentro il simbolo di radice (sempre nel caso di indice pari):

Dato il prodotto tra un fattore negativo e un radicale con indice pari, possiamo portare l’opposto del fattore dentro al simbolo di radice, moltiplicando il suo esponente per l’indice del radicale e mettendo un segno meno davanti al radicale stesso.

Osserviamo che porre un meno davanti al simbolo di radicale serve a preservare il segno del radicale stesso.

Così ad esempio:

-2 \sqrt{3} = -\sqrt{2^2 \cdot 3} = -\sqrt{12}

Se preferite, possiamo rileggere la regola in un modo differente. In pratica si tratta di portare dentro al simbolo di radice il solo valore assoluto del fattore, lasciando il segno meno davanti al simbolo di radice.

Veniamo ora alla regola relativa al caso di indice del radicale dispari.

Per portare un fattore dentro al simbolo di radice (con indice della radice dispari) si può sempre trasportare il fattore stesso dentro al simbolo di radice moltiplicando il suo esponente per l’indice della radice stessa.

Nel caso di indice del radicale dispari non dobbiamo quindi tenere conto del segno del fattore che moltiplica il radicale, diversamente dal caso di indice pari. Ad esempio:

4\sqrt[3]{17}=\sqrt[3]{4^3 \cdot 17}=\sqrt[3]{64 \cdot 17} = \sqrt[3]{1088}

Inoltre:

-5\sqrt[7]{2} = -\sqrt[7]{5^ 7 \cdot 2}=-\sqrt[7]{78125 \cdot 2}=-\sqrt[7]{156250}

Portare un fattore dentro radice nel caso di radicando variabile

Se l’indice del radicale è dispari non ci sono condizioni da porre. Così anche nel caso di radicando variabile possiamo ragionare come nel caso numerico.

Esempio 1

(x+3) \cdot \sqrt[3]{(x-7)}=\sqrt[3]{(x+3)^3 \cdot (x-7)} 

Nel caso invece di indice del radicale pari dobbiamo ragionare in base alla condizione di esistenza del radicale di partenza.

Ad esempio, calcoliamo:

x \sqrt{x} 

Osserviamo che il radicale {\sqrt{x}} esiste per {x \geq 0}. Di conseguenza il prodotto {x \sqrt{x}} è sicuramente positivo o al più nullo. Così possiamo portare dentro il fattore {x} lasciando il segno più davanti alla radice:

x \sqrt{x} =\sqrt{x^2 \cdot x} = \sqrt{x^3}

Esempio 2

Consideriamo ora il seguente prodotto:

x \cdot \sqrt[4]{x+3}

Osserviamo che per la condizione di esistenza del radicale dovrà essere {x+3 \geq 0} e quindi {x \geq -3}.

Ora, il problema è capire che segno attribuire al radicale una volta che portiamo dentro il fattore {x}.

Osserviamo che nell’intervallo {-3 \leq x < 0 } il fattore {x} è negativo, di conseguenza avremo:

x \cdot \sqrt[4]{x+3} = -\sqrt[4]{x^4 \cdot (x+3)}, \qquad -3 \leq x< 0

Invece nell’intervallo {x \geq 0} il fattore {x} è positivo e quindi avremo:

x \cdot \sqrt[4]{x+3} = \sqrt[4]{x^4 \cdot (x+3)}, \qquad x \geq 0

In generale, la regola per risolvere esercizi di questo tipo è la seguente:

• studiare il segno del fattore fuori radice;
• utilizzare la regola relativa al fattore fuori radice positivo per tutti i valori della {x} per i quali contemporaneamente il fattore fuori radice è positivo ed è definito il radicale;
• utilizzare la regola relativa al fattore fuori radice negativo per tutti i valori della {x} per i quali contemporaneamente il fattore fuori radice è negativo ed è definito il radicale.

Dovremo quindi considerare l’intersezione tra l’intervallo delle {x} in cui il fattore fuori radice è positivo e il campo di esistenza del radicale, e quindi l’intersezione tra l’intervallo in cui il fattore fuori radice è negativo e il campo di esistenza del radicale.

Precisiamo di nuovo, queste regole si riferiscono al caso di indice del radicale pari.

Vediamo degli ulteriori esempi.

Esempio 3

(x+4)\sqrt{x-9}

Per portare il fattore {x+4} dentro al simbolo di radice studiamo il segno del fattore stesso e il campo di esistenza del radicale. Abbiamo:

x+4  \geq  0 \iff x \geq  -4

Per quanto riguarda il campo di esistenza del radicale { \sqrt{x-9}}:

x-9 \geq 0 \iff x \geq 9

Così per scrivere il risultato del prodotto di partenza dovremo considerare intanto un intervallo dato dall’intersezione dell’insieme delle {x} ove il fattore {x+4} è positivo con l’insieme di esistenza del radicale:

\begin{cases}  x \geq -4 \\ \\   x \geq 9 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x \geq 9

Per tale intervallo il prodotto di partenza è positivo e si ha:

(x+4)\sqrt{x-9}=\sqrt{(x+4)^2(x-9)}

Rimane infine da considerare un intervallo dato dall’intersezione dell’insieme delle {x} ove il fattore {x+4} è negativo con l’insieme di esistenza del radicale:

\begin{cases}x < -4 \\ \\ x \geq 9 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad S=\{ \emptyset \}

L’intersezione è pari all’insieme vuoto e di conseguenza abbiamo per il prodotto di partenza il solo risultato scritto precedentemente.

Esempio 4

Concludiamo questi esempi su come portare un fattore dentro al simbolo di radice nel caso di radicando letterale con il seguente:

(2-a)\sqrt{\dfrac{5}{2+a}}

Il fattore è positivo o nullo per {2-a \geq 0}, ovvero per {a \leq 2}.

Il radicale esiste intanto per {a \neq -2} (non deve annullarsi il denominatore all’interno della radice). Inoltre la frazione all’interno della radice dovrà essere positiva o al più nulla. Dovrà quindi essere {2+a > 0}, e quindi {a > -2 }. Osserviamo tra parentesi che la frazione non sarà mai nulla poiché il denominatore è sempre diverso da zero.

Il prodotto di partenza sarà quindi definito e positivo nell’intervallo dato dall’intersezione delle condizioni:

\begin{cases}a \leq 2  \\ \\ a > -2  \end{cases} \quad \Rightarrow \quad -2 < a \leq 2

Per questo intervallo avremo quindi:

(2-a)\sqrt{\dfrac{5}{2+a}}=\sqrt{\dfrac{5(2-a)^2}{2+a}}

Il prodotto di partenza sarà invece definito e negativo per:

\begin{cases} a  > 2 \\ \\  a > -2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad a > 2

In questo caso scriveremo:

(2-a)\sqrt{\dfrac{5}{2+a}}=-\sqrt{(2-a)^2 \cdot \dfrac{5}{(2+a)}}

Conclusioni

Per quanto riguarda la regola per portare un fattore dentro il simbolo di radice è tutto. Abbiamo così visto i casi sia relativi a radicandi numerici, sia i casi relativi a radicandi variabili (radicando che dipende da una variabile).

Per quanto riguarda invece la regola su come portare un fattore fuori dal simboli di radice, di questa ci siamo occupati nella lezione sulla semplificazione dei radicali.

Nella prossima lezione vedremo come ridurre due radicali allo stesso indice. Acquisita tale conoscenza, potremo procedere con la lezione ancora successiva, nella quale vedremo come eseguire il prodotto tra radicali aventi indice differente. Buon lavoro!