Problemi con i sistemi lineari

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Sistemi lineari (superiori)

Grazie ai sistemi lineari è possibile risolvere una notevole varietà di problemi. E’ infatti possibile rileggere molti problemi come un sistema lineare. in tal modo la soluzione del sistema lineare sarà anche soluzione del problema assegnato.

I sistemi lineari si prestano in particolare per risolvere problemi nei quali compaiono almeno due incognite. Nel caso di due incognite dovremo riuscire a stabilire almeno due differenti relazioni tra le incognite leggendo attentamente il testo del problema. Se il problema invece contiene tre incognite, allora dovremo essere in grado di stabilire almeno tre relazioni tra le incognite. Ciò è coerente con il fatto che sappiamo risolvere sistemi lineari con due equazioni in due incognite e tre equazioni in tre incognite. Ed effettivamente ogni relazione che stabiliremo tra le incognite sarà nella pratica un’equazione del sistema risolvente che scriveremo.

Una volta scritto il particolare sistema risolvente relativo al problema dato, per presentare la soluzione dello stesso problema basterà semplicemente determinare l’eventuale soluzione del sistema risolvente.

Vediamo allora subito come risolvere dei problemi utilizzando i sistemi lineari (sistemi di equazioni di primo grado).

Problemi con i sistemi lineari (problemi che possiamo risolvere con i sistemi di equazioni di primo grado)

Prima parte: problemi algebrici

Esempio 1

La differenza tra un numero e il doppio di un altro numero è {4} mentre la somma dei due numeri è {1}. Determinare i due numeri.

Il problema, apparentemente un po’ complicato, corrisponde in realtà ad un semplice sistema di due equazioni in due incognite. Abbiamo infatti due incognite (i due numeri), e per risolvere un sistema in due incognite per quanto sappiamo abbiamo bisogno di due equazioni. Dobbiamo quindi avere due relazioni tra le incognite. E queste relazioni ci vengono date dal testo.

Prima di tutto ci viene detto che la differenza tra un numero e il doppio di un altro numero è {4}. Se chiamiamo i due numeri {x} e {y}, la differenza tra il numero {x} e il doppio del numero {y} sarà ovviamente:

x-2y

E poiché il testo afferma che tale differenza è uguale a {4} possiamo scrivere la prima equazione del sistema, ovvero:

x-2y=4

Inoltre sappiamo che la somma tra i due numeri è {1}. Di conseguenza possiamo scrivere la seconda equazione del sistema:

x+y=1

Così il sistema lineare risolvente relativo al problema assegnato è:

\begin{cases} x-2y=4 \\ \\ x+y=1\end{cases}

Risolvendo il sistema ad esempio per sostituzione otteniamo:

\begin{cases}x=4+2y \\ \\ 4+2y+y=1  \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases}x=4 + 2 \cdot (- 1) = 2\\ \\ y= -1 \end{cases} 

Così i due numeri cercati sono {2} e {-1}.

Esempio 2

Dati due numeri, la differenza tra il doppio del primo numero e il triplo del secondo numero è {7}, mentre la somma tra il primo numero e sei volte il secondo numero è uguale a {-1}. Determinare i due numeri.

Come nel caso precedente, dobbiamo scrivere un sistema risolvente dato da due equazioni in due incognite, ove le incognite sono i due numeri cercati. In particolare, detti {x} e {y} i due numeri scriveremo il sistema:

\begin{cases} 2x-3y=7 \\ \\ x+6y=-1\end{cases}

Risolviamo il sistema ad esempio per riduzione. Moltiplichiamo entrambi i membri della seconda equazione per {2}, sottraiamo la seconda equazione così riscritta alla prima equazione del sistema, e quindi sostituiamo la nuova equazione ottenuta ad esempio alla prima equazione a sistema. Procedendo in questo modo abbiamo:

\scriptsize \begin{cases} 2x-3y=7 \\ \\ 2x+12y=-2\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 2x-3y-2x-12y=7+2 \\ \\ 2x+12y=-2 \end{cases}  \quad \Rightarrow \quad\begin{cases} y=-\dfrac{3}{5} \\ \\ x=-1-6 \cdot\left( -\dfrac{3}{5}\right)=\dfrac{13}{5}\end{cases} 

Così in conclusione i due numeri cercati sono {\dfrac{13}{5}} e {-\dfrac{3}{5}}.

Esempio 3

Il numeratore e il denominatore di una frazione sono tali che aumentando di 1 unità il numeratore e diminuendo di 3 unità il denominatore si ottiene una frazione equivalente a 1/2. Inoltre, la frazione ottenuta aumentando di 2 unità il denominatore è equivalente a 3/7. Determinare la frazione.

Individuiamo nel numeratore e nel denominatore della frazione da ricercare le incognite del problema. In particolare la frazione da ricercare è della forma:

\dfrac{x}{y}

Ora, ricerchiamo nel testo del problema le relazioni tra le incognite che ci permetteranno di scrivere le due equazioni necessarie, e quindi il sistema risolvente.

“Il numeratore e il denominatore di una frazione sono tali che aumentando di 1 unità il numeratore e diminuendo di 3 unità il denominatore si ottiene una frazione equivalente a 1/2.“

Possiamo tradurre algebricamente questa affermazione come segue:

\dfrac{x+1}{y-3}= \dfrac{1}{2}

e questa è la prima equazione del sistema risolvente.

Passiamo ora alla rimanente parte del testo del problema:

“la frazione ottenuta aumentando di 2 unità il denominatore [della frazione da trovare] è equivalente a 3/7“.

In linguaggio matematico questa frase diviene:

\dfrac{x}{y+2}=\dfrac{3}{7}

e questa è la seconda equazione del sistema risolvente.

Dato che abbiamo due incognite e siamo riusciti a scrivere due equazioni, possiamo scrivere il sistema risolvente:

\begin{cases}\dfrac{x+1}{y-3}= \dfrac{1}{2} \\ \\   \dfrac{x}{y+2}=\dfrac{3}{7}\end{cases}

Ci ritroviamo con un sistema non lineare del tipo con incognite ai denominatori. Come abbiamo visto nella lezione sui sistemi non lineari, per risolvere sistemi di questo tipo nei casi più generali occorre effettuare delle opportune sostituzioni. Talvolta però possiamo cavarcela semplicemente riconducendo le equazioni a sistema alla forma intera. In questo caso effettivamente non abbiamo sostituzioni evidenti, poiché non esistono nei termini delle equazioni del sistema espressioni in una stessa incognita che sono uguali tra loro.

Intanto imponiamo le condizioni di esistenza del sistema. Per fare questo dobbiamo imporre i denominatori delle frazioni algebriche presenti nel sistema diversi da zero:

y-3 \neq 0 \quad \wedge \quad y+2 \neq 0

ovvero:

y \neq 3 \quad \wedge \quad y\neq -2

Sotto queste ipotesi è possibile eliminare i denominatori, ovviamente dopo avere ridotto tutti i termini di ciascuna equazione a denominatore comune. In questo modo riconduciamo le equazioni nel sistema alla forma intera, ritrovandoci con un sistema lineare. Abbiamo:

\begin{cases}\dfrac{x+1}{y-3}-\dfrac{1}{2}=0 \\ \\   \dfrac{x}{y+2}-\dfrac{3}{7}=0\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \dfrac{2x+2-y+3}{2(y-3)}=0 \\ \\ \dfrac{7x-3y-6}{7(y+2)}=0\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases}2x-y=-5 \\ \\ 7x-3y=6  \end{cases}

Ovviamente l’ultimo sistema scritto vale esclusivamente per {y \neq 3} e {y \neq -2}. Ed osserviamo che tale sistema è lineare. Infatti, le equazioni in esso presenti sono di primo grado e non abbiamo incognite al denominatore.

A questo punto non resta che risolvere il sistema lineare al quale ci siamo ricondotti, ad esempio con la regola di Cramer:

\begin{align*} & x=\dfrac{D_x}{D}=\dfrac{\det \begin{bmatrix} -5 & -1 \\ 6 & -3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 7 & -3 \end{bmatrix}}=\dfrac{15+6}{-6+7}=\dfrac{21}{1}=21;  \\ \\ & y = \dfrac{D_y}{D}=\dfrac{\det \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ 7 & 6 \end{bmatrix}}{1}=\dfrac{12+35}{1}=47\end{align*}

I valori sono accettabili poiché rispettano le condizioni di esistenza del sistema che abbiamo scritto all’inizio.

Avendo ricavato finalmente i valori delle incognite {x} e {y} possiamo finalmente scrivere la frazione cercata, ovvero:

\dfrac{x}{y}=\boxed{\dfrac{21}{47}}

Seconda parte: problemi geometrici

Esempio 4

Un rettangolo ha perimetro {32a} e una sua dimensione è i {\dfrac{3}{5}} dell’altra. Determinare le dimensioni del rettangolo (base e altezza).

Dette {x} e {y} rispettivamente la base e l’altezza del rettangolo, ricordando che il perimetro di un rettangolo è dato dal doppio della somma delle misure della base e dell’altezza, possiamo scrivere:

32a = 2 (x+y)

Ora, dato che {\dfrac{3}{5}} è una frazione propria, evidentemente il testo ci dice che nel rettangolo in esame l’altezza i {\dfrac{3}{5}} della base. Così possiamo scrivere inoltre:

y=\dfrac{3}{5}x

Così in definitiva abbiamo le due equazioni per poter scrivere il sistema risolvente:

\begin{cases}32a = 2 (x+y) \\ \\ y=\dfrac{3}{5}x  \end{cases}

Risolvendo a questo punto il sistema per sostituzione abbiamo:

\small \begin{cases}32a=2\left( x+\dfrac{3}{5}x\right)  \quad \Rightarrow 32a=2x+\dfrac{6}{5}x\quad \Rightarrow \quad x=\dfrac{32 \cdot 5}{16}a=10a  \\ \\ y= \dfrac{3}{5}x \end{cases}

e quindi:

\begin{cases}x=10a \\ \\ y = \dfrac{3}{5} \cdot 10 a=6a\end{cases}

Così in conclusione le dimensioni del rettangolo sono {10a} e {6a}.

Esempio 5

Un cateto di un triangolo rettangolo è 3/4 dell’altro cateto. Inoltre, aumentando di 4 cm il cateto minore e di 10 cm il cateto maggiore, l’area aumenta di 66 cm². Calcolare le lunghezze dei cateti.

Dato che un cateto è 3/4 dell’altro cateto, dette {x} e {y} le misure dei due cateti possiamo intanto scrivere:

x=\dfrac{3}{4}y

Ricordiamo che l’area di un triangolo rettangolo è data dal prodotto delle misure dei cateti, diviso due. Indicata quindi con {A} l’area del triangolo rettangolo, tenendo conto della rimanente parte del testo del problema possiamo scrivere:

\dfrac{\left( x+4 \text{cm} \right) \cdot (y+10 \text{cm})}{2}=A+66 \text{cm}^2

Nello scrivere l’equazione abbiamo posto particolare attenzione ad identificare correttamente il cateto maggiore e il cateto minore. In particolare, per come abbiamo scritto la prima equazione, dato che la frazione {\dfrac{3}{4}} è propria (cioè rappresenta un numero reale minore di {1}), il cateto minore è {y}.

A questo punto disponiamo delle due equazioni per scrivere il sistema risolvente:

\begin{cases}x=\dfrac{3}{4}y \\ \\   \dfrac{\left( x+4  \right) \cdot (y+10 )}{2}=A+66 \end{cases}

Qui abbiamo omesso per evitare confusione le unità di misura, ma le riporteremo nei risultati finali.

Sostituendo l’espressione {\dfrac{3}{4}y} alla {x} nella seconda equazione otteniamo:

\dfrac{\left(\dfrac{3}{4}y+4 \right) \cdot (y+10)}{2}=A+66

ovvero sviluppando i calcoli:

\begin{align*} & \dfrac{3}{8}y^2+\dfrac{30}{8}y+2y+20=A+66; \\ \\ &\dfrac{3}{8}y^2+ \dfrac{23}{4}y+20=A+66 \end{align*}

Ora, osserviamo che l’area {A} del triangolo rettangolo è:

A=\dfrac{x \cdot y}{2}=\dfrac{\dfrac{3}{4}y \cdot y}{2}=\dfrac{3}{8}y^2

Così sostituendo ad {A} l’espressione appena ricavata l’equazione precedente diviene:

\begin{align*} &\cancel{\dfrac{3}{8}y^2}+ \dfrac{23}{4}y+20=\cancel{\dfrac{3}{8}y^2}+66; \\ \\ & \dfrac{23}{4}y=46 \quad \Rightarrow \quad y=46 \cdot \dfrac{4}{23}=8 \text{cm} \end{align*}

Infine sostituendo il valore appena ottenuto per la {y} nella prima equazione a sistema possiamo ricavare la {x}:

x=\dfrac{3}{4}y=\dfrac{3}{4} \cdot 8=6 \text{cm}

Terza parte: problemi con sistemi risolventi di tre equazioni in tre incognite

Concludiamo questa lezione sui problemi con i sistemi lineari presentando alcuni esempi relativi a problemi che richiedono per la loro risoluzione l’utilizzo di sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite.

Esempio 6

Trovare tre numeri sapendo che la somma del doppio del primo e degli altri due è uguale a 272, che la somma del triplo del secondo e degli altri due è uguale a 408, e infine che la somma del quadruplo del terzo e degli altri due è uguale a 544.

Qui abbiamo praticamente un sistema di tre equazioni in tre incognite scritto a parole. Si tratta quindi, semplicemente, di dividere il testo in tre pari e scrivere per ogni parte la corrispondente equazione. Indicati ordinatamente con {x, \: y, \: z} i tre numeri, abbiamo:

\begin{cases}2x+y+z = 272 \\ \\ x + 3y + z=408 \\ \\ x+y+4z=544 \end{cases}

Il sistema si presenta già in forma normale e possiamo risolverlo utilizzando ad esempio la regola di Cramer. Ricordiamo che per il calcolo dei determinanti delle matrici 3 ✕ 3 è necessaria la regola di Sarrus.

\small \begin{align*} &x=\dfrac{D_x}{D}=\dfrac{\det \begin{bmatrix} 272 & 1 & 1 \\ 408 & 3 & 1 \\ 544 & 1  &4 \end{bmatrix}}{\det \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 4\end{bmatrix}}= \\ \\ & =\dfrac{272 \cdot 3 \cdot 4 +1 \cdot 1 \cdot 544 + 1 \cdot 408 \cdot 1 - 544 \cdot 3 \cdot 1 - 1\cdot 1 \cdot 272 - 4 \cdot408 \cdot 1}{2\cdot3 \cdot 4 +1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 3 \cdot 1 -1 \cdot 1 \cdot 2 -4 \cdot 1 \cdot 1} = \\ \\ & = \dfrac{680}{17}= 40; \\ \\ & y=\dfrac{D_y}{D}=\dfrac{\det \begin{bmatrix} 2 & 272 & 1 \\ 1 & 408 & 1 \\ 1 & 544 & 4 \end{bmatrix}}{17}=\dfrac{1496}{17}=88; \\ \\ & z = \dfrac{D_z}{D}=\dfrac{\det \begin{bmatrix} 2 & 1 & 272 \\ 1 & 3 & 408 \\ 1 & 1 & 544\end{bmatrix}}{17}= \dfrac{1768}{17}=104\end{align*}

Così i tre numeri cercati sono {40, \: 88} e {104}.

Esempio 7

Proseguiamo questi esercizi di esempio sui problemi con i sistemi lineari con il seguente.

Lavorando insieme per 3 giorni x e y guadagnano in tutto 555 euro. In 4 giorni lavorando insieme y e z guadagnano complessivamente 800 euro. Ogni giorno x, y e z lavorando insieme guadagnano complessivamente 305 euro. Quale è il guadagno giornaliero di ognuno?

Identificando con le incognite {x, \: y, \: z} i guadagni giornalieri di ciascun soggetto, traducendo ciascuna parte del testo in un’equazione otteniamo il sistema risolvente:

\begin{cases} 3 (x+y)= 555 \text{ euro} \\ \\ 4 (y+z)=800 \text{ euro} \\ \\ x+y+z=305\text{ euro} \end{cases}

Omettiamo per semplicità le unità di misura e riduciamo il sistema alla forma normale:

\begin{cases}3x+3y+0z= 555 \\ \\ 0x+4y+4z = 800 \\ \\ x+y+z=305 \end{cases}

Utilizzando ancora la regola di Cramer otteniamo:

\begin{align*} &x = \dfrac{D_x}{D}=\dfrac{\det \begin{bmatrix} 555 & 3 & 0 \\ 800 & 4 & 4 \\ 305 & 1 & 1\end{bmatrix}}{\det \begin{bmatrix} 3 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & 4 \\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix}}=  \dfrac{1260}{12}= 105 \text{ euro};  \\ \\ & y = \dfrac{D_y}{D}=\dfrac{ \det \begin{bmatrix} 3 & 555 & 0 \\ 0 & 800& 4 \\ 1 &305  & 1\end{bmatrix}}{\det \begin{bmatrix} 3 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & 4 \\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix}}=  \dfrac{960}{12}= 80 \text{ euro}; \\ \\ & z = \dfrac{D_z}{D}=\dfrac{\det \begin{bmatrix} 3 & 3 & 555 \\ 0 & 4 & 800 \\ 1 & 1 & 305\end{bmatrix}}{\det \begin{bmatrix} 3 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & 4 \\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix}}=  \dfrac{1440}{12}= 120 \text{ euro}\end{align*}

Vediamo ora un ultimo esempio sui problemi con i sistemi lineari.

Esempio 8

Il perimetro del triangolo ABC misura 62 cm. Determinare le misure dei suoi lati sapendo che il lato AC è i 3/4 del lato AB e che la somma dei lati AB e BC supera di 8 cm il doppio del lato AC.

Ricordiamo che il perimetro di un triangolo è uguale alla somma delle misure dei suoi lati. Così intanto dalla prima frase del testo sappiamo che:

AB+BC+AC=62 \text{ cm}

Dalla relazione di proporzionalità tra il lato {AC} e il lato {AB} che segue nel testo possiamo scrivere:

AC=\dfrac{3}{4}AB

Infine sfruttando l’informazione sulla somma dei lati {AB} e {BC}:

AB+BC=2AC+8

Utilizzando per i lati {AB, \: BC, \: AC} rispettivamente le lettere {x, \: y, \: z}, mettendo insieme le equazioni sin qui scritte possiamo scrivere il seguente sistema risolvente:

\begin{cases}x+y+z=62 \\ \\ z = \dfrac{3}{4}x \\ \\ x+y=2z+8 \end{cases}

Riscriviamo prima di tutto il sistema in forma normale:

\begin{cases}x+y+z=62 \\ \\ \dfrac{3}{4}x+0y-z=0\\ \\ x+y-2z=8 \end{cases}

Risolviamo il sistema ad esempio per riduzione. Sottraiamo la terza equazione alla prima, e sostituiamo la nuova equazione ottenuta ad esempio alla prima equazione a sistema. In tal modo riusciamo a trovare il valore dell’incognita {z}. Dopo di che ricaviamo le rimanenti incognite per sostituzione. Abbiamo:

\begin{cases}3z=54 \quad \Rightarrow \quad z=18 \text{cm} \\ \\ \dfrac{3}{4}x+0y-z=0 \quad \Rightarrow \quad x=\dfrac{4}{3}z=\dfrac{4}{3}\cdot 18=24 \text{cm}\\ \\ x+y-2z=8 \quad \Rightarrow \quad y=-x+2z+8=-24+2 \cdot 18+8= 20 \text{cm}\end{cases}

Così le misure dei lati del triangolo sono rispettivamente {24 \text{cm}, \: 20 \text{cm}, \: 18 \text{cm}}.

Per quanto riguarda i problemi con i sistemi lineari è tutto. Buon proseguimento con SìMatematica! 🙂