Problemi con le equazioni di primo grado

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Equazioni (superiori)

In questa lezione vediamo come risolvere i problemi con le equazioni di primo grado (problemi di primo grado). Ci occuperemo in particolare di problemi che possono essere risolti mediante equazioni di primo grado.

Così, è possibile risolvere alcuni problemi scrivendo un’opportuna equazione di primo grado, detta equazione risolvente. Vedremo quindi come le equazioni di primo grado possono essere utilizzate come un modello per risolvere determinati problemi.

Vediamo allora subito come risolvere i problemi con le equazioni di primo grado (problemi di primo grado, o problemi lineari).

Risolvere i problemi con le equazioni di primo grado (problemi di primo grado o problemi lineari)

Per risolvere i problemi di primo grado è utile tenere conto dei seguenti passaggi:

• leggere attentamente il problema in modo da comprendere cosa dobbiamo ricercare;
• organizzare correttamente le informazioni in modo da capire che cosa abbiamo (dati) e che cosa dobbiamo trovare (incognite);
• le incognite devono essere rappresentate, convenzionalmente, con la lettera {x};
• ove possibile, occorre rappresentare determinate quantità come espressioni contenenti la {x};
• tradurre il problema in un’equazione di primo grado, detta equazione risolvente;
• determinare le soluzioni dell’equazione risolvente.

Ricordiamo che un’equazione di primo grado può avere una sola soluzione (equazione determinata o possibile), infinite soluzioni (equazione indeterminata) o nessuna soluzione (equazione impossibile).

Cominciamo subito con un primo esempio sui problemi con le equazioni di primo grado.

NOTA: per semplicità non riporteremo eventuali unità di misura nelle equazioni, ma le indicheremo soltanto nei dati e nei risultati finali.

Esempio 1

Se paghiamo 250 euro per un telefono dopo aver ricevuto uno sconto del 33%, quanto era il costo originale del telefono?

Scriviamo anzitutto i dati dei quali disponiamo:

• prezzo del telefono scontato {p_{s}=250} euro;
• sconto ricevuto: {33\%}.

Quello che dobbiamo determinare è il costo originale del telefono, ovvero il prezzo senza lo sconto (prezzo pieno):

• incognita: prezzo pieno del telefono {x}.

Poiché abbiamo ricevuto uno sconto del {33\%}, il prezzo del telefono scontato è il {33\%} del prezzo pieno {x}. Possiamo allora esprimere lo sconto ricevuto {S}, ovvero il denaro che abbiamo risparmiato grazie allo sconto, come:

S=\dfrac{33}{100}x

Inoltre, il prezzo scontato del telefono sarà uguale a:

p_{s}=x-S = x-\dfrac{33}{100}x=x\left( 1-\dfrac{33}{100}\right)=x \cdot \dfrac{67}{100}

Abbiamo quindi:

p_s=x \cdot \dfrac{67}{100}

E poiché {p_s=250} euro (dato del problema), ci ritroviamo con la seguente equazione di primo grado risolvente:

250 = x \cdot \dfrac{67}{100}

Ora non resta che risolvere l’equazione, ricavando l’incognita {x}. Moltiplichiamo entrambi i membri per {100} (secondo principio di equivalenza):

250 \cdot 100 = x \cdot 67; \qquad 25000=x \cdot 67

A questo punto per isolare la {x}, dividiamo entrambi i membri per {25000}, utilizzando ancora il secondo principio di equivalenza:

x=\dfrac{25000}{67}= \approx 373,13 \: \text{euro}

Così il prezzo pieno del telefono (il prezzo senza lo sconto) è di circa {373,13} euro.

Esempio 2

Un deposito di metalli contiene una quantità {Q} di tonnellate di ferro. Sapendo che se si raddoppia la quantità esistente si ottiene l’equivalente della metà di {Q} aumentata di {12} tonnellate, determinare la quantità {Q}.

Disponiamo dei seguente dato:

• se si raddoppia la quantità {Q}, si ottiene {\dfrac{Q}{2}} aumentata di {12} tonnellate.

Dobbiamo determinare l’incognita:

• quantità di ferro {Q}

Traducendo in linguaggio matematico il dato di partenza, ciò che sappiamo è che:

2Q = \dfrac{Q}{2}+12

Non ci resta che ricavare {Q} dall’equazione di primo grado a termini frazionari appena scritta. Portiamo tutti i termini a primo membro e calcoliamo il denominatore comune. Nel trasportare i termini non dimentichiamo di cambiarne il segno:

\begin{align*} & 2Q-\dfrac{Q}{2}-12=0; \\ \\  &4Q-Q-24=0; \\ \\ &3Q=24; \\ \\ &Q=\dfrac{24}{3}=8 \: \text{tonnellate} \end{align*}

Per cui in conclusione nel deposito abbiamo una quantità {Q} uguale ad {8} tonnellate di ferro.

Esempio 3

Un sacco di patate pesa 5 kg in più di un sacco di carote e quest’ultimo pesa 3 kg in meno rispetto ad un sacco di cipolle. Sapendo che il peso complessivo dei tre sacchi è di 47 kg, determinare i pesi di ciascun sacco.

Vediamo i dati dei quali disponiamo:

• Peso complessivo dei tre sacchi, {P_{tot} = 47 } kg;
• il sacco di patate pesa 5 kg in più del sacco di carote;
• il sacco di carote pesa 3 kg in meno del sacco di cipolle.

Dobbiamo determinare le seguenti incognite:

• peso del sacco di patate {P_{pat}};
• peso del sacco di carote {P_{car}};
• infine, peso del sacco di cipolle {P_{cip}}.

Dai dati sappiamo che vale la relazione:

P_{pat} + P_{car}+P_{cip} = 47 \quad\text{(kg)} \qquad (*)

E inoltre:

\boxed{P_{pat}=P_{car}+5}; \qquad P_{car}=P_{cip}-3 \quad \Rightarrow \quad \boxed{P_{cip}=P_{car}+3}

L’idea è quella di sostituire le due relazioni appena scritte nella relazione di partenza *, in modo da poter ricavare l’incognita {P_{car}}. Effettuando le sostituzioni abbiamo:

\underbrace {P_{car}+5}_{P_{pat}}+P_{car}+\underbrace{P_{car}+3}_{P_{cip}}=47

Possiamo a questo punto ricavare agevolmente il peso del sacco di carote. Sommiamo i termini simili al primo membro:

3P_{car}+8=47 

Infine trasportiamo il termine {8} al secondo membro (non dimentichiamo, cambiandone il segno):

3P_{car}=47-8; \qquad 3P_{car}=39 

ovvero, dividendo entrambi i membri per {3}:

P_{car}=\dfrac{39}{3}=13 \: \text{kg}

Infine ricaviamo i pesi del sacco di patate e del sacco di cipolle:

P_{pat}=P_{car}+5=13+5=18 \: \text{kg} ; \qquad P_{cip}=P_{car}+3=13+3=16  \: \text{kg} 

Verifichiamo che la somma dei pesi che abbiamo trovato sia uguale al loro totale dato in partenza:

P_{car}+P_{pat}+P_{cip}=13+18+16=47  \: \text{kg} 

Di conseguenza i pesi determinati sono corretti.

Esempio 4

In un portafoglio ci sono banconote da 10 euro e banconote da 20 euro. Se la somma totale contenuta nel portafoglio è di 130 euro, e abbiamo 2 banconote da 20 euro in più rispetto al numero delle banconote da 10 euro, quante banconote ci sono in tutto nel portafoglio?

Cominciamo con lo scrivere i dati che abbiamo a disposizione:

• somma di denaro totale nel portafoglio: {S= 130} euro;
• nel portafoglio abbiamo banconote nei soli tagli da 10 euro e da 20 euro;
• il numero di banconote da 20 euro supera di due banconote il numeri di banconote da 10 euro.

Scriviamo le seguenti incognite:

• numero totale di banconote nel portafoglio: {x};
• numero di banconote da 10 euro: {n_{10}};
• infine, numero di banconote da 20 euro: {n_{20}}.

L’idea è quella di ricavare prima il numero di banconote ad esempio da 10 euro, quindi il numero di banconote da 20 euro, e quindi il loro numero totale.

Indichiamo con {n_{10}} la quantità di banconote da {10} euro. Così la quantità di banconote da {20} euro sarà {n_{10}+2}.

Di conseguenza, dato che in tutto nel portafoglio abbiamo {130} euro, nei soli tagli di banconote da {10} e {20} euro, la somma totale presente nel portafoglio sarà data da:

\begin{align*} &10 \cdot n_{10} + 20 \cdot n_{20} =130 \: \text{euro} & \end{align*}

e poiché come detto {n_{20}= n_{10}+2} riusciamo a ricondurci ad una equazione di primo grado nella sola incognita {n_{10}}:

 10 \cdot n_{10} + 20 \cdot (n_{10}+2) = 130 

A questo punto basta ricavare {n_{10}} con le stesse tecniche che conosciamo per ricavare la {x} da un’equazione di primo grado. Cominciamo calcolando il prodotto al primo membro:

10n_{10}+20n_{10}+40=130

Ora portiamo il {40} a secondo membro (cambiando il segno) e sommiamo i termini simili. Otteniamo:

30n_{10}=90; \qquad n_{10}=\dfrac{90}{30}=3

Di conseguenza abbiamo {n_{20}=n_{10}+2=3+2=5} e il numero totale di banconote è, in conclusione:

x=n_{20}+n_{10}=5+3=8 \quad \text{(numero di banconote)}

Esempio 5

Ci occupiamo ora di problemi con le equazioni di primo grado che riguardano capitale ed interesse. Ci limiteremo soltanto al caso più intuitivo di interesse semplice.

Indichiamo con {C} il capitale (ovvero la somma di denaro che viene prestata). Siano inoltre {r} la percentuale di interesse applicata (espressa in centesimi), {t} la durata del prestito in anni e {I} l’interesse (ovvero la quantità di denaro che deve essere restituita in più oltre al capitale). Abbiamo allora per la somma da restituire {S} la relazione:

S= C+I =C+C\cdot r \cdot t

Osserviamo che la quantità {C \cdot r} è l’interesse annuo.

Veniamo ora al problema:

Una parte di un capitale pari a 7000 euro viene concessa in prestito al tasso di interesse semplice annuo del 6% e la rimanente parte al tasso di interesse semplice annuo dell’8%. Se l’interesse maturato dopo 3 anni è pari a 1380 euro, a quanto ammontano le parti di capitale concesse in prestito a ciascun tasso?

Abbiamo i seguenti dati:

• capitale totale {C=7000} euro;
• durata del prestito {t=3} anni;
• tasso annuo di interesse per la parte di capitale {C_1}: 6%. Di conseguenza {r_1=\dfrac{6}{100}};
• tasso annuo di interesse per la parte di capitale {C_2}: 8%. Di conseguenza: {r_2=\dfrac{8}{100}};
• il capitale totale è dato dalla somma delle relative parti: {C=C_1+C_2}.

Le incognite sono:

• le parti del capitale {C_1} e {C_2} concesse in prestito rispettivamente al tasso del {6\%} e dell’{8\%}.

Partiamo dalla formula:

S=C+I

Nel nostro caso il capitale viene concesso in prestito in due parti {C_1} e {C_2}, a ciascuna delle quali corrispondono gli interessi {I_1} e {I_2}. La somma da restituire è allora data da:

S = C_1+I_1+C_2+I_2

ovvero:

S = C_1+C_1 \cdot r_1 \cdot t + C_2 + C_2 \cdot r_2 \cdot t

E poiché sappiamo che {r_1=\dfrac{6}{100}}, {r_2 = \dfrac{8}{100}} e {t=3} anni:

S=C_1+C_1 \cdot \dfrac{6}{100} \cdot 3+C_2 + C_2 \cdot \dfrac{8}{100} \cdot 3

ovvero:

\begin{align*} & S=C_1+C_2+C_1 \cdot \dfrac{18}{100}+C_2 \cdot \dfrac{24}{100}=\\ \\ & =C+I \end{align*}

Quindi {I=\dfrac{1}{100}\left( 18C_1+24C_2\right)}. Ma poiché per i dati che abbiamo {I=1380} euro, allora:

1380=\dfrac{1}{100}\left( 18C_1+24C_2\right)

Moltiplicando entrambi i membri per {100}:

138000=18C_1+24C_2

Proviamo a ricavare ad esempio l’incognita {C_1}, trattando {C_2} come se fosse un numero:

C_1=\dfrac{138000-24C_2}{18}

Quindi:

C=C_1+C_2=\dfrac{138000-24C_2}{18}+C_2

e poiché {C=7000} euro:

7000=\dfrac{138000-24C_2}{18}+C_2

Moltiplichiamo entrambi i membri per {18}:

126000=138000-24C_2+18C_2

ovvero, trasportando i termini opportunamente (attenzione a cambiare i segni):

24C_2-18C_2=138000-126000; \qquad 6C_2=12000

e quindi:

C_2 = \dfrac{12000}{6}=2000  \: \text{euro} 

Per cui una parte del capitale {C} è pari a {C_2=2000} euro. E’ ora immediato ricavare {C_1}:

C_1=C-C_2=7000-2000=5000  \: \text{euro} 

Per cui sono stati prestati {C_1 = 5000} euro al tasso di interesse semplice annuo del {6 \%} (infatti {r_1 = \frac{6}{100}}) e {C_2 = 2000} euro al tasso di interesse semplice annuo del {8 \%} (infatti {r_2 = \frac{8}{100}}).

Come verifica, sommiamo gli interessi maturati in {3} anni dalle due cifre con i rispettivi tassi e vediamo se otteniamo l’interesse di {1380} euro, uno dei dati del problema:

\begin{align*} & I=C_1 + C_1 \cdot r_1 \cdot t =+C_2 + C_2 \cdot r_2 \cdot t = \\ \\ & =5000 \cdot \dfrac{6}{100} \cdot 3 + 2000 \cdot \dfrac{8}{100} \cdot 3 =\\ \\ & =50\cdot6\cdot3+20\cdot8\cdot3 = 30(5\cdot6+2\cdot8)=\\ \\ & =30(30+16)=30\cdot46=1380 \: \text{euro}\end{align*}

e ci siamo.

Esempio 6

Passiamo ora a un problema relativo ai concetti di velocità, spazio e tempo. Ricordiamo che tra velocità {v}, spazio {s} e tempo {t} sussistono le relazioni:

v=\dfrac{s}{t};  \qquad s=v \cdot t; \qquad t=\dfrac{s}{v}

Nel risolvere problemi di questo tipo è bene chiedersi:

• esistono due distanze uguali tra loro?
• la somma o la differenza di due distanze è uguale ad una costante?

Veniamo ora al problema.

Due treni partono da Bari e si dirigono verso Trieste. Il primo treno viaggia ad una velocità media di 90 km/h. Il secondo treno, che parte un’ora dopo, viaggia alla velocità media di 130 km/h. Quanto tempo impiegherà il primo treno per raggiungere il secondo treno?

Dati:

• {v_1=90} km/h: velocità media del primo treno;
• {v_2=130} km/h: velocità media del secondo treno;
• {t_r = 1} ora: tempo che intercorre dalla partenza del primo treno alla partenza del secondo.

Incognita:

• {x}: tempo che impiega il primo treno a raggiungere il secondo.

Quando il secondo treno raggiunge il primo treno, il primo treno avrà già viaggiato per un tempo pari a {t_r + x}, ovvero {1+x}, quindi avrà percorso lo spazio:

s_1 = v_1 \cdot (t_r+x)=90(1+x)

Il secondo treno avrà invece viaggiato per il tempo {x} necessario a raggiungere il primo treno, percorrendo lo spazio:

s_2 = v_2 \cdot x = 130 \cdot x

Ma quando il secondo treno raggiunge il primo, evidentemente i due treni avranno percorso lo stesso spazio, per cui:

s_1 = s_2; \qquad 90(1+x)=130x

Risolviamo l’equazione rispetto ad {x}:

\begin{align*}  &1+x=130x \cdot 90; \\ \\  & (1+x)\cdot90=130x;  \\ \\ &90x-130x=-90; \\ \\ & -40x=-90 \quad \Rightarrow \quad x=\dfrac{90}{40}=\dfrac{9}{4}=2,25 \: \text{ore} \end{align*}

Per cui il secondo treno raggiungerà il primo treno dopo due ore e un quarto di viaggio.

Per quanto riguarda i problemi con le equazioni di primo grado è tutto. Come abbiamo visto, grazie alle equazioni di primo grado è possibile risolvere problemi matematici del tipo più vario. Buon proseguimento!