Problemi di secondo grado

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Ora che abbiamo fatto la conoscenza delle equazioni di secondo grado possiamo occuparci dei problemi di secondo grado, ovvero di quei problemi che hanno per equazione risolvente proprio un’equazione di secondo grado.

Vedremo così delle applicazioni pratiche delle equazioni di secondo grado (problemi di secondo grado) allo stesso modo con il quale abbiamo visto delle applicazioni pratiche per le equazioni di primo grado (problemi di primo grado).

Ora, nel risolvere un problema di secondo grado può capitare di ottenere delle soluzioni non accettabili. Ad esempio, se nel ricercare la massa di un oggetto otteniamo un valore negativo questo andrà scartato. Stessa cosa se intendiamo ricercare ad esempio una lunghezza: l’eventuale soluzione negativa offerta dall’equazione di secondo grado risolvente andrà scartata. In generale, occorrerà sempre interpretare le soluzioni ottenute sulla base del particolare problema considerato, tenendo conto del significato geometrico o fisico delle grandezze in gioco.

Fatte le dovute premesse, vediamo subito i problemi di secondo grado (problemi risolvibili con le equazioni di secondo grado), suddivisi in problemi algebrici, problemi geometrici e problemi di fisica.

Avvertenza: relativamente ai problemi di geometria e fisica, per semplicità non riporteremo le unità di misura in tutti i passaggi. Regolatevi in ogni caso secondo le indicazioni del vostro insegnante.

Risolvere i problemi con le equazioni di secondo grado (problemi di secondo grado)

Prima parte: problemi algebrici

Esercizio 1

Il più grande di due numeri positivi supera il più piccolo di due unità. Trovare i due numeri sapendo che la somma dei loro quadrati è {74}.

Indichiamo con {x} e {y} i due numeri. Per quanto ci dice la traccia, supponendo che {x>y} possiamo scrivere le due condizioni:

x=y+2; \qquad x^2+y^2=74

Dato che le due condizioni devono valere contemporaneamente, possiamo metterle a sistema:

\begin{cases} x=y+2 \\ \\ x^2+y^2=74\end{cases}

Risolviamo il sistema per sostituzione. In particolare, sostituiamo l’espressione per la {x} data dalla prima equazione nella seconda equazione. In altre parole, sostituiamo alla {x} nella seconda equazione l’espressione {y+2}. Otteniamo così l’equazione di secondo grado:

\left( y+2\right)^2+y^2=74

Riduciamo l’equazione alla forma normale:

\begin{align*} &y^2+4y+4+y^2-74 = 0 \\ \\ & 2y^2+4y-70=0 \\ \\ & y^2+2y-35 = 0\end{align*}

L’equazione è ora ridotta alla forma normale {ay^2+by+c=0} con {a=1, \: b = 2 } e {c=-35}.

Vediamo il determinante:

\Delta = b^2-4ac=2^2-4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4+140=144>0

L’equazione offrirà quindi due soluzioni reali e distinte.

Applicando la formula risolutiva generale otteniamo:

y_{1,2} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1 }=\dfrac{-2\pm 12}{2}=\begin{cases}5\\ \\ -7 \end{cases}

Dato che la traccia afferma che i due numeri sono positivi, dovremo considerare unicamente la soluzione positiva:

y=5

A questo punto riprendendo la prima equazione del sistema, sostituendo alla {x} il valore appena trovato è infine possibile ricavare il numero {y}:

x=y+2=5+2=7

Così i due numeri cercati sono {x=7} e {y=5}. Infatti:

x^2+y^2=7^2+5^2=49+25=74

Esercizio 2

Trovare i numeri reali il cui quadrato superi di {\dfrac{3}{4}} il loro opposto.

Ciascun numero {x} che rispetta tale condizione dovrà verificare l’uguaglianza:

x^2-(-x)=\dfrac{3}{4}

Scriviamo l’equazione in forma normale:

x^2+x-\dfrac{3}{4}= 0

Otteniamo le soluzioni:

x_{1,2}= \dfrac{-1\pm \sqrt{1^2-4 \cdot 1 \cdot \left( -\dfrac{3}{4}\right)}}{2 \cdot 1}=\dfrac{-1 \pm 2}{2}=\begin{cases} \dfrac{1}{2} \\ \\ -\dfrac{3}{2}\end{cases}

Così i numeri cercati sono {x_1 = \dfrac{1}{2}} e {x_2 = -\dfrac{3}{2}}.

Esercizio 3

Proseguiamo gli esercizi sui problemi con le equazioni di secondo grado con il seguente:

Trovare due numeri aventi per somma {23} e la cui somma dei quadrati è uguale a {289}.

Detti {x} e {y} i due numeri da trovare, dovranno valere contemporaneamente le due relazioni:

x+y=23; \qquad x^2+y^2=289

Dobbiamo quindi risolvere il sistema:

\begin{cases}x+y=23 \\ \\ x^2+y^2=289 \end{cases}

Dalla prima equazione abbiamo {y=23-x}. Sostituendo nella seconda equazione:

x^2+(23-x)^2=289

Risolviamo l’equazione appena scritta, riconducendola anzitutto alla forma normale:

\begin{align*} &x^2+23^2-2\cdot23 \cdot x + x^2-289=0 \\ \\ &2x^2+529-46x-289=0 \\ \\ &2x^2-46x+240 = 0 \\ \\ &x^2-23x+120=0\end{align*}

Otteniamo le soluzioni:

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{23 \pm \sqrt{(-23)^2-4 \cdot 1 \cdot 120}}{2\cdot 1}=\begin{cases}15 \\ \\ 8 \end{cases}

e questi sono i due numeri cercati. Infatti:

15+8=23; \qquad 15^2+8^2=225+64=289

NOTA. In alternativa avremmo potuto prendere un solo valore della {x} a scelta tra le due soluzioni dell’equazione di secondo grado e ricavare la {y} dalla prima equazione a sistema.

Esercizio 4

Trovare due numeri tali che la loro somma è uguale a {3} e il quadrato della loro somma aumentato del quadrato della loro differenza è uguale a {34}.

Detti {x} e {y} i due numeri, abbiamo:

\begin{cases}x+y = 3 \\ \\ (x+y)^2+(x-y)^2=34 \end{cases}

Ricavando ad esempio la {y} dalla prima equazione e svolgendo i calcoli nella seconda equazione:

\begin{align*} & \begin{cases} y=3-x \\ \\ x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2=34  \end{cases} \\ \\ & \begin{cases} y=3-x \\ \\ 2x^2+2y^2-34=0\end{cases}  \end{align*}

Sostituendo la quantità {3-x} (il secondo membro della prima equazione) alla {y} nella seconda equazione, ci ritroviamo con la seguente equazione di secondo grado nella sola variabile {x}:

2x^2+2(3-x)^2-34=0

Ovvero, svolgendo i calcoli:

\begin{align*} &2x^2+2(9-6x+x^2)-34 = 0 \\ \\ & 2x^2+18-12x+2x^2-34 = 0 \\ \\&4x^2-12x-16=0 \\ \\ &x^2-3x-4=0\end{align*}

Otteniamo le soluzioni:

x_{1,2}=\dfrac{3 \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1}=\dfrac{3 \pm 5}{2}= \begin{cases}4 \\ \\ -1 \end{cases}

e questi sono i due numeri cercati. Infatti:

4+(-1)=3; \qquad [4+(-1)]^2+[4-(-1)]^2=3^2+5^2=9+25=34

Esercizio 5

Vediamo l’ultimo dei problemi di secondo grado di tipo algebrico. Passeremo poi ai problemi di tipo geometrico.

L’età del padre di Giuseppina è il quadrato dell’età di Giuseppina. Tra 4 anni l’età del padre sarà quadrupla dell’età della figlia. Quanti anni ha Giuseppina ora?

Indicate con {x} l’età del padre e con {y} l’età della figlia, abbiamo intanto la relazione:

x=y^2

Infatti come dice la traccia l’età del padre è il quadrato dell’età della figlia.

L’età del padre tra quattro anni è ovviamente {x+4}. E dopo quattro anni l’età del padre sarà il quadruplo di quella della figlia:

x+4= 4 (y+4)

Osserviamo che la quantità {y+4} rappresenta l’età della figlia tra {4} anni.

Dovranno quindi valere contemporaneamente le due relazioni scritte, per cui si tratterà di risolvere il sistema:

\begin{cases}x=y^2 \\ \\ x+4 = 4(y+4) \end{cases}

Dalla seconda equazione otteniamo:

\begin{align*} &y+4=\dfrac{x+4}{4} \\ \\ & y = \dfrac{x+4}{4}-4 \\ \\ &y= \dfrac{x+4-16}{4}; \quad y = \dfrac{x-12}{4} \end{align*}

e sostituendo la quantità appena ottenuta nella prima equazione a sistema otteniamo la seguente equazione di secondo grado in una sola incognita:

x=\left( \dfrac{x-12}{4}\right)^2

Riducendo l’equazione in forma normale otteniamo:

\begin{align*} &x - \left( \dfrac{x-12}{4}\right)^2=0 \\ \\ & x-\dfrac{x^2-24x+144}{16}=0 \\ \\ & 16x-x^2+24x-144 = 0 \\ \\ &-x^2+40x-144=0 \\ \\ &x^2-40x+144=0\end{align*}

Otteniamo le soluzioni:

x_{1,2} = \dfrac{40 \pm \sqrt{(-40)^2-4 \cdot 1 \cdot 144}}{2}=\begin{cases} 36 \\ \\ 4 \end{cases}

Possiamo evidentemente accettare soltanto la soluzione {x=36} per l’età del padre.

Così sostituendo il valore {x=36} nella seconda equazione a sistema otteniamo:

36+4 = 4(y+4); \qquad 40=4(y+4)

da cui otteniamo in conclusione l’età della figlia Giuseppina:

y=\dfrac{40}{4}-4=10-4=6

Osservazione. Dal punto di vista strettamente matematico avremmo potuto accettare per l’età del padre il valore {x=4} (l’altra soluzione per l’equazione di secondo grado che abbiamo risolto in precedenza). Tuttavia, osserviamo che in tal modo per l’età della figlia avremmo ottenuto la quantità {y=\dfrac{4+4}{4}-4=2-4=-2}, evidentemente inaccettabile poiché un’età negativa non ha senso.

Seconda parte: problemi di secondo grado geometrici

Esercizio 6

La lunghezza di una piscina è tre volte la sua larghezza, e la piscina è tutta circondata da un camminamento largo 4 metri. Considerato che l’intera area data dalla piscina e dal camminamento è pari a 684 metri quadrati, trovare le dimensioni della piscina (base e altezza).

Indichiamo con {A_{tot}} la somma dell’area della piscina e del camminamento, pari a {684 \text{m}}. Detta {A_c} l’area del camminamento e {A_p} l’area della piscina, abbiamo:

A_p=A_{tot}-A_c

Ora, dato che abbiamo un camminamento largo {4\text{m}} in ciascun lato della piscina, indicate rispettivamente con {x} e {y} la larghezza e la lunghezza della piscina abbiamo:

\begin{align*} & A_{tot}=(x+2\cdot4)(y+2\cdot4)=\\ \\ & =(x+8)(y+8)=xy+8x+8y+64 \end{align*}

E poiché la lunghezza è tre volte la larghezza, ovvero {y=3x}, sostituendo ad {y} la quantità {3x} la precedente diviene:

A_{tot} = x(3x)+8x+8(3x)+64

e dato che l’area totale è nota:

684 = x(3x)+8x+8(3x)+64

Sviluppando i calcoli:

\begin{align*} &684 = 3x^2+8x+24x+64 \\ \\ &684=3x^2+32x+64 \\ \\ &3x^2+32x-620=0\end{align*}

Risolvendo l’equazione possiamo ricavare la dimensione {x}. Trattandosi di una lunghezza, dovremo accettare soltanto la soluzione positiva. Abbiamo:

\begin{align*} & x_{1,2}= \dfrac{-32 \pm \sqrt{32^2-4 \cdot 3 \cdot (-620)}}{2 \cdot 3}=  \\ \\ & =\dfrac{-32\pm 92}{6} = \begin{cases}10 \\ \\ -\dfrac{62}{3} \end{cases}\end{align*}

Accettiamo la sola soluzione {x=10 \text{m}}, che è la larghezza della piscina. Per la lunghezza abbiamo infine:

y=3x=3 \cdot 10 = 30 \text{m}

Esercizio 7

Proseguiamo lo studio dei problemi di secondo grado di tipo geometrico con il seguente.

Sia dato un rettangolo di area {12 \text{cm}^2} ed avente altezza pari ad un terzo della base. Calcolare le misure della base e dell’altezza del rettangolo.

Dette {b} e {h} la base e l’altezza del rettangolo, abbiamo:

b \cdot h =12

Inoltre poiché l’altezza è un terzo della base:

h=\dfrac{b}{3}

Così sostituendo l’espressione appena ottenuta per {h} nella prima equazione scritta otteniamo:

b \cdot \dfrac{b}{3}=12

ovvero:

b^2=36 \qquad b_{1,2} = \pm\sqrt{36}=\pm 6

Possiamo accettare per la base il solo valore positivo, e quindi {b=6}. Infatti, una lunghezza negativa non ha alcun significato. Infine per l’altezza:

h=\dfrac{b}{3}=\dfrac{6}{3}=2 \text{cm}

Esercizio 8

La somma dei perimetri di due quadrati è uguale a {24 \text{cm}}. La somma delle aree dei quadrati è {\dfrac{212}{9} \text{cm}^2}. Quanto vale il perimetro di ciascun quadrato?

In un quadrato il perimetro è pari a quattro volte il lato. Detti quindi {l_1} e {l_2} i lati di ciascun quadrato, abbiamo per la somma dei perimetri:

4 \cdot l_1 + 4 \cdot l_2 = 24

ovvero:

4(l_1+l_2)=24

da cui:

l_1+l_2 = 6

Inoltre, per la somma delle aree possiamo scrivere (l’area di un quadrato è uguale al quadrato del suo lato):

l_1^2+l_2^2=\dfrac{212}{9}

Così dovremo risolvere il sistema:

\begin{cases} l_1+l_2=6 \\ \\ l_1^2+l_2^2=\dfrac{212}{9}\end{cases}

Dalla prima equazione otteniamo ad esempio {l_1 = 6-l_2}. Sostituendo nella seconda equazione:

(6-l_2)^2+l_2^2=\dfrac{212}{9}

Eseguendo i calcoli e riducendo l’equazione alla forma normale:

\begin{align*} &36-12l_2+l_2^2+l_2^2-\dfrac{212}{9} = 0 \\ \\ &2l_2^2-12l_2+36-\dfrac{212}{9}=0 \\ \\ &18l_2^2-108l_2+324-212=0 \\ \\ &18l_2^2-108l_2+112=0 \\ \\ &9l_2^2-54l_2+56=0\end{align*}

Risolvendo l’equazione otteniamo:

l_{2, 1,2} = \dfrac{54 \pm \sqrt{(-54)^2-4 \cdot 9 \cdot 56}}{2 \cdot 9}= \begin{cases}\dfrac{54+30}{18}=\dfrac{14}{3} \\ \\ \dfrac{54-30}{18}= \dfrac{4}{3}\end{cases}

I due valori ottenuti per {l_2} sono entrambi accettabili poiché positivi. Potremmo in teoria scegliere uno dei due valori e ricavare {l_1} dalla prima equazione. Tuttavia, osserviamo che se entrambi i valori ricavati per {l_2} soddisfano il sistema è chiaro che le soluzioni dell’equazione appena ottenute rappresentano già i valori di {l_1} e {l_2}.

Abbiamo così ottenuto le misure dei lati dei quadrati . Per i perimetri abbiamo in conclusione:

\begin{align*} & p_1=4 \cdot l_1 = 4 \cdot \dfrac{14}{3}=\dfrac{56}{3} \text{cm}; \\ \\ &  p_2 = 4 \cdot l_2= 4 \cdot \dfrac{4}{3}= \dfrac{16}{3} \text{cm} \end{align*}

Terza parte: problemi di fisica (problemi con le equazioni di secondo grado)

Concludiamo la lezione con un paio di problemi di secondo grado riguardanti la fisica (problemi di fisica risolvibili con le equazioni di secondo grado).

Esercizio 9

Se si lancia da terra un corpo l’altezza raggiunta dal corpo stesso nel tempo {t} è uguale a {h=-4,9t^2+24,5t}. Dopo quanti secondi il corpo raggiunge l’altezza di {29,4 \text{m}}?

La traccia dice che {h=29,4 \text{m}}. Di conseguenza dovremo sostituire tale valore di {h} nella formula dell’altezza, ottenendo l’equazione di secondo grado:

29,4=-4,9t^2+24,5t

Ricaviamo il tempo {t}. Anzitutto riduciamo l’equazione alla forma normale:

\begin{align*} & -4,9t^2+24,5t-29,4=0 \\ \\ &4,9t^2-24,5t+29,4=0 \end{align*}

Calcoliamo le eventuali soluzioni:

\begin{align*} &t_{1,2}= \dfrac{24,5 \pm \sqrt{(-24,5)^2-4 \cdot 4,9 \cdot 29,4}}{2 \cdot 4,9} =\\ \\ & =\dfrac{24,5 \pm 4,9}{2 \cdot 4,9}=\begin{cases} 2 \\ \\ 3\end{cases} \end{align*}

Otteniamo per il tempo i due valori {t_1=2 \text{s}} e {t_2=3 \text{s}}. Ciò significa che l’oggetto raggiunge l’altezza desiderata dopo due secondi. Successivamente l’oggetto comincia a scendere e si ritrova di nuovo all’altezza di {29,4 \text{m}} (questo dopo tre secondi).

A noi interessa soltanto dopo quanti secondi l’oggetto si trova per la prima volta a quella data altezza, per cui la risposta al problema è {t= 2 \text{s}}.

Il problema mostra come è importante saper interpretare le soluzioni ottenute, in quanto da un punto di vista strettamente matematico sono entrambe accettabili.

Esercizio 10

Al termine di un viaggio di {448 \text{km}} un automobilista calcola che se avesse aumentato la velocità media di {8 \text{km/h}} avrebbe impiegato un’ora in meno per compiere il viaggio. A quale velocità media ha viaggiato?

Partiamo dalla formula che esprime la velocità in funzione dello spazio percorso e del tempo impiegato:

v=\dfrac{s}{t}

Lo spazio è noto ed è pari a {448 \text{km}}. Esplicitando il tempo abbiamo:

t=\dfrac{s}{v}=\dfrac{448 \text{km}}{v}

Se aumentiamo la velocità di {8 \text{km/h}}, il tempo di percorrenza deve diminuire di un’ora:

\dfrac{448 \text{km} }{v+8 \text{km/h}}=t-1h

Abbiamo un’equazione in due incognite. Cerchiamo allora di esprimere {v} in funzione di {t}:

v=\dfrac{448 \text{km}}{t}

Sostituendo nell’equazione otteniamo:

\dfrac{448}{\frac{448}{t}+8}=t-1

Ovvero:

\begin{align*} &\dfrac{448}{\dfrac{448+8t}{t}}=t-1 \\ \\& 448 \cdot \dfrac{t}{448+8t}-t+1=0 \\ \\ &448 \cdot \dfrac{t}{8(56+t)}-t+1=0 \\ \\ & \dfrac{56t}{56+t}-t+1=0 \\ \\ &\dfrac{56t-t(56+t)+56+t}{56+t}=0 \\ \\ &56t-56t-t^2+56+t=0 , \qquad t \neq -56 \\ \\ & -t^2+t+56=0\end{align*}

Attenzione: abbiamo incontrato un’equazione di secondo grado frazionaria (infatti, l’incognita {t} compariva anche al denominatore). Per risolvere tali equazioni occorre ricondursi ad un’equazione intera. Si tratta in particolare di porre tutti i termini nell’equazione a denominatore comune, e quindi eliminare il denominatore escludendo il valore che annulla il denominatore stesso. Così nel passaggio all’equazione intera abbiamo escluso per le soluzioni dell’equazione il valore {t=-56}.
Il procedimento da seguire è quindi del tutto simile a quello relativo alle equazioni fratte di primo grado.

Ci ritroviamo quindi con l’equazione intera (invertiamo per comodità il segno di tutti i termini):

t^2-t-56=0

Otteniamo le soluzioni:

t_{1,2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{(-1)^2-4 \cdot 1 \cdot (-56)}}{2 \cdot 1}=\dfrac{1 \pm 15}{2}=\begin{cases}8 \\ \\ -7 \end{cases}

Un tempo negativo non ha senso per cui scartiamo la soluzione negativa. Abbiamo quindi un tempo di percorrenza di otto ore:

t=8 \text{h}

Ora non resta che ricavare la velocità media:

v= \dfrac{s}{t}=\dfrac{448}{8} \text{km/h}=56 \text{km/h}

e abbiamo concluso.


Per quanto riguarda i problemi di secondo grado è tutto. Nella prossima lezione ci occuperemo delle formule risolutive ridotta e ridottissima, le quali consentono in alcuni casi di ridurre i calcoli per la ricerca delle soluzioni di un’equazione di secondo grado. Buon proseguimento!


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