Ci occupiamo ora di fornire una introduzione ai prodotti notevoli. Si tratta di particolari prodotti tra polinomi che possiamo calcolare utilizzando regole specifiche, senza il bisogno di dover eseguire ogni volta il prodotto tra polinomi.
Ad esempio, per moltiplicare un binomio per sé stesso possiamo utilizzare la regola del prodotto notevole relativo al quadrato di un binomio. Una regola semplificata esiste inoltre anche per il quadrato di un trinomio.
I prodotti notevoli in parole povere consentono di utilizzare una semplice formula che ci evita di dover ogni volta moltiplicare dei polinomi tra loro, guadagnando tempo e riducendo la possibilità di errore.
In questa lezione forniremo una breve panoramica dei vari prodotti notevoli, per poi approfondire ciascuno di essi nelle lezioni successive. E per ciascun prodotto notevole sarà disponibile una scheda di esercizi svolti e commentati.
Vediamo allora subito questa introduzione ai prodotti notevoli.
Importante: questa lezione è pensata per gli studenti delle scuole superiori. Per gli studenti delle scuole medie consigliamo questa lezione.
I prodotti notevoli: regole per particolari prodotti tra polinomi
Vogliamo subito evidenziare l’utilità dei prodotti notevoli nel rendere più semplici in alcuni casi il calcolo del prodotto tra polinomi. Presenteremo poi regole ed esempi relative a ciascun prodotto notevole.
Consideriamo il seguente prodotto tra polinomi:
\begin{align*} & (x^2+2x+4) \cdot (x^2-2x-4) =\\ \\ & = x^2 \cdot x^2 +2x \cdot x^2 + 4 \cdot x^2 +x^2 \cdot (-2x) + 2x \cdot (-2x) + 4 \cdot (-2x) + \\ \\ & +x^2 \cdot (-4) + 2x \cdot (-4) + 4 \cdot (-4) = \\ \\ & = x^4+\cancel{2x^3}+\cancel{4x^2}-\cancel{2x^3}-\cancel{4x^2}-8x-4x^2-8x-16 = \\ \\ & = x^4-4x^2-16x-16 \end{align*}Osserviamo che i polinomi nel prodotto di partenza condividono gli stessi termini, anche se presentano segni differenti. In particolare, è possibile riscrivere il prodotto di partenza come segue:
[x^2+(2x+4)] \cdot [x^2-(2x+4)]
Così, detti a = x^2 e b=2x+4 il prodotto è della forma:
(a+b) \cdot (a-b)
ovvero si tratta del prodotto di una somma tra termini per la loro differenza. L’idea allora è quella di vedere quanto fa in generale un tale prodotto e quindi adattare il risultato al caso specifico. Abbiamo:
(a+b) \cdot (a-b) = a\cdot a+ \cancel{b \cdot a}-\cancel{a \cdot b} - b \cdot b = a^2-b^2da cui segue la regola generale:
(a+b)\cdot(a-b) = a^2-b^2
ovvero, il prodotto somma per differenza tra due termini è uguale alla differenza tra il quadrato del primo termine (minuendo nella differenza) e il quadrato del secondo termine (sottraendo nella differenza).
Vediamo di applicare la regola nel nostro caso:
[\overbrace {x^2}^{a}+\overbrace{(2x+4)}^{b}] \cdot [\overbrace{x^2}^{a}-\overbrace{(2x+4)}^{b}] = \overbrace{\left( x^2\right)^2 - \left( 2x+4\right)^2}^{a^2-b^2} Ora, il quadrato (2x+4)^2 è uguale al prodotto (2x+4) \cdot (2x+4). Così abbiamo:
\begin{align*} & (2x+4)^2 = (2x+4) \cdot (2x+4) = \\ \\ & = 2x \cdot 2x + 4 \cdot 2x +2x \cdot 4 + 4 \cdot 4 = 4x^2+16x+16 \end{align*}e quindi in conclusione:
\begin{align*} &(x^2+2x+4) \cdot (x^2-2x-4) = \left( x^2\right)^2 - \left( 2x+4\right)^2 = \\ \\ & = x^4-(4x^2+16x+16) = x^4-4x^2-16x-16 \end{align*}Il risultato effettivamente coincide con quanto ottenuto eseguendo il prodotto tra polinomi normalmente. Tuttavia, in questo modo è stato possibile calcolare il prodotto con meno passaggi.
E’ ora il caso di prestare attenzione al prodotto:
(2x+4) \cdot (2x+4) = (2x+4)^2
Anche questo è un prodotto notevole ed è in particolare un quadrato di un binomio. Vediamo che cosa succede nel caso generale di due termini a e b:
(a+b)^2 = (a+b) \cdot (a+b) = a\cdot a + b \cdot a + a \cdot b + b \cdot b =a^2+2ab+b^2
così:
(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2
e quindi, in generale, il quadrato di un binomio è uguale alla somma del quadrato del primo termine del binomio, del doppio del prodotto tra i due termini del binomio e del quadrato del secondo termine nel binomio.
Così applicando tale regola abbiamo nel nostro caso (a=2x e b=4):
(2x+4)^2 = (2x)^2 +2 \cdot 2x \cdot 4 + 4^2 = 4x^2+16x+16
Riconsiderando allora il prodotto:
(x^2+2x+4) \cdot (x^2-2x-4)
è ora possibile calcolarlo ancora più rapidamente utilizzando tutte e due le due regole che abbiamo appreso:
\begin{align*} & (x^2+2x+4) \cdot (x^2-2x-4) = [x^2+(2x+4)] \cdot [x^2-(2x+4)] = \\ \\ & = (x^2)^2-(2x+4)^2=x^4-(4x^2+16x+16)=x^4-4x^2-16x-16\end{align*}Il procedimento è molto più immediato rispetto a tutti i passaggi necessari utilizzando la regola generale del prodotto tra polinomi. Serve in verità un po’ di occhio per riconoscere che il prodotto dato è un prodotto somma per differenza. Ma tali abilità si acquisiscono rapidamente con un po’ di esercizio.
Inoltre, tenete conto che tutto quanto visto finora risulterà ancora più chiaro leggendo la rimanente parte della lezione e le lezioni successive. Qui abbiamo comunque voluto stimolarvi sin dall’inizio con un problema completo sui prodotti notevoli.
A seguire riportiamo tutte le regole relative ai prodotti notevoli. Come già anticipato, approfondiremo ciascuna di esse nelle successive lezioni.
Quadrato di un binomio (prodotti notevoli)
Come visto in precedenza ricaviamo la regola generale, considerando il binomio a+b:
\left( a+b\right)^2 = \left( a+b\right) \cdot \left( a+b\right)=\boxed{a^2+2ab+b^2}Il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo termine, più il doppio prodotto dei due termini nel binomio, più il quadrato del secondo termine.
Ad esempio calcoliamo il seguente quadrato:
(2xy+7x^2y)^2
Applichiamo la regola considerando separatamente ciascuna quantità:
- quadrato del primo termine: (2xy)^2 = 4x^2y^2 (vedi potenza di un monomio);
- doppio prodotto dei termini: 2 \cdot 2xy \cdot 7x^2y = 28x^3y^2;
- quadrato del secondo termine: \left( 7x^2y\right)^2 = 49x^4y^2.
Così sommando tra loro tutte le quantità appena scritte otteniamo in conclusione:
(2xy+7x^2y)^2=4x^2y^2+28x^3y^2+49x^4y^2
Quadrato di un trinomio (prodotti notevoli)
Consideriamo il quadrato del trinomio a+b+c. Abbiamo:
\begin{align*} & (a+b+c)^2 = (a+b+c) \cdot (a+b+c) = \\ \\ & = a\cdot a+b\cdot a+ c \cdot a + a \cdot b + b \cdot b + c \cdot b + a \cdot c + b \cdot c + c \cdot c = \\ \\ & = a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2= \\ \\ & = \boxed{a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc} \end{align*}Così in conclusione:
(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
ovvero:
il quadrato di un trinomio è uguale alla somma dei quadrati di ogni suo termine più i doppi prodotti di tutte le possibili coppie di termini del trinomio.
Consideriamo ad esempio il seguente quadrato di un trinomio:
(2a^2b+7ab^2-4ab)^2
Consideriamo separatamente le quantità che ci servono:
- quadrato del primo termine: \left( 2a^2b\right)^2=4a^4b^2;
- quadrato del secondo termine: \left( 7ab^2\right)=49a^2b^4;
- il quadrato del terzo termine: \left( -4ab\right)^2=16a^2b^2;
- doppio prodotto tra il primo termine e il secondo termine: 2 \cdot 2a^2b \cdot 7ab^2= 28a^3b^3;
- doppio prodotto tra il secondo termine e il terzo: 2 \cdot 7ab^2 \cdot (-4ab)= -56a^2b^3;
- il doppio prodotto tra il terzo termine ed il primo: 2 \cdot (-4ab) \cdot 2 a^2b = -16a^3b^2
Così abbiamo sommando tutte le quantità scritte tra loro:
\begin{align*} & (2a^2b+7ab^2-4ab) ^2= \\ \\ & = 4a^4b^2+49a^2b^4+16a^2b^2+28a^3b^3-56a^2b^3-16a^3b^2 \end{align*}Prodotto della somma di due termini per la loro differenza (prodotti notevoli)
Come visto in precedenza vale la regola:
(a+b) \cdot (a-b) = a^2-b^2
ovvero:
il prodotto tra la somma di due termini e la differenza dei due termini stessi è uguale alla differenza tra il quadrato del primo termine (il minuendo nella differenza di partenza) e il quadrato del secondo termine (il sottraendo nella differenza di partenza).
Consideriamo un primo esempio:
(3-x^2)(3+x^2)
Osserviamo che nella differenza il minuendo è il termine 3 mentre il sottraendo è il termine x^2. Posti allora a=3 e b=x^2 abbiamo:
\underbrace{(3-x^2)}_{a-b} \underbrace{(3+x^2)}_{a+b} =\underbrace{3^2}_{a^2}-\underbrace {(x^2)^2}_{b^2} = 9-x^4 Veniamo ora ad un secondo esempio:
(ab+3a^2b)(3a^2b-ab)
Qui occorre prestare attenzione. Considerando la somma ab+3a^2b sembrerebbe che il primo termine è ab mentre il secondo termine è 3a^2b. Tuttavia, dobbiamo in realtà considerare la differenza 3a^2b-ab . Così dobbiamo prendere come primo termine 3a^2b che è il minuendo, e come secondo termine ab che è il sottraendo. Così abbiamo:
(ab+3a^2b)(3a^2b-ab)=(3a^2b)^2-(ab)^2=9a^4b^2-a^2b^2
Infine come ultimo esempio sul prodotto somma per differenza calcoliamo:
(x^2-2x+4) (x^2+2x-4)
Osserviamo che ci ritroviamo con un prodotto somma per differenza a patto di porre:
a = x^2, \qquad b= 2x-4
Infatti:
(x^2-2x+4) (x^2+2x-4)=[x^2-(2x-4)][x^2+(2x-4)]
e ricadiamo quindi nella forma (a-b)(a+b).
Così possiamo scrivere in conclusione:
\begin{align*} &(x^2-2x+4) (x^2+2x-4)=[x^2-(2x-4)][x^2+(2x-4)] = \\ \\ & = (x^2)^2-\underbrace{(2x-4)^2}_{\substack{\text{quadrato di } \\ \\ \text{un binomio}}}= x^4-(4x^2-16x+16) =\\ \\ & = x^4-4x^2+16x-16 \end{align*}Attenzione. Nel polinomio x^2-2x+4 non abbiamo una differenza tra due quantità ma piuttosto una somma algebrica tra termini. Così attenzione, tale polinomio non è della forma a-b e non è quindi possibile prendere b=2x+4. Piuttosto, come visto nell’esempio, è necessario riscrivere il polinomio come {x^2-(2x-4)}. In tal caso effettivamente abbiamo un polinomio della forma {a-b} e prendiamo {b=2x-4}.
Il cubo di un binomio
Come ultimo caso per questa lezione sui prodotti notevoli vediamo come calcolare il cubo di un binomio, la cui forma generale è:
(a+b)^3
Osserviamo che per le proprietà delle potenze si ha:
(a+b)^3 = (a+b)^2 (a+b)=
e poiché (a+b)^2 è il quadrato di un binomio si ha proseguendo i passaggi:
=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=
e quindi tenendo conto della regola per moltiplicare due polinomi tra loro:
=a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3 =\boxed{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}Così abbiamo in conclusione:
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
E quindi in generale:
il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo termine, più il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo termine, più il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo termine più infine il cubo del secondo termine.
Ad esempio, calcoliamo:
\left( x^2y-3xy^2\right)^3
Applicando la regola appena enunciata abbiamo:
\begin{align*} &\left( x^2y-3xy^2\right)^3= \\ \\ & = (x^2y)^3+3(x^2y)^2(-3xy^2)+3x^2y\cdot(-3xy^2)^2+(-3xy^2)^3 = \\ \\ & =x^6y^3+3x^4y^2\cdot(-3xy^2)+3x^2y\cdot9x^2y^4-27x^3y^6= \\ \\ & = x^6y^3-9x^5y^4+27x^4y^5-27x^3y^6 \end{align*}E’ qui importante ricordare le regole delle potenze di monomi e il fatto che una potenza dispari con base negativa restituisce un risultato ancora negativo (es., {(-x)^3=-x \cdot (-x) \cdot (-x) =} {x^2 \cdot (-x) = -x^3}).
Conclusioni
Per quanto riguarda questa prima introduzione ai prodotti notevoli è tutto. A partire dalla prossima lezione rivedremo tutti i vari casi di prodotti notevoli, ciascuno corredato da esempi svolti e commentati. Il primo prodotto notevole del quale ci occuperemo è il quadrato di un binomio. Dedicheremo poi una lezione anche a due particolari prodotti notevoli che qui non abbiamo esaminato: la somma di cubi e la differenza di cubi. Buon proseguimento!
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