Prodotti notevoli nei prodotti tra polinomi

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Monomi e polinomi (superiori)

In questa scheda vediamo come è possibile utilizzare convenientemente le regole dei prodotti notevoli nei prodotti tra polinomi. L’obiettivo è quello di semplificare i calcoli rispetto al solo uso della regola generale del prodotto tra polinomi.

In particolare, il trucco sta nel riconoscere nel prodotto da calcolare uno o più prodotti notevoli. In tal modo, riusciremo a ridurre il numero di fattori presenti rendendo il calcolo del prodotto più rapido.

Vediamo allora subito come possono esserci di aiuto i prodotti notevoli nei prodotti tra polinomi.

Utilizzo dei prodotti notevoli nei prodotti tra polinomi

Esempio 1

Calcolare il seguente prodotto tra polinomi

(x+2)(x-2)(x-1)

In teoria dovremmo eseguire un prodotto fra tre polinomi. Ciò consiste nell’eseguire il prodotto tra i primi due polinomi, per poi moltiplicare il risultato ottenuto per il terzo polinomio.

Tuttavia, osserviamo che è possibile riconoscere nel prodotto {(x+2)(x-2)} il prodotto notevole somma per differenza. Così abbiamo {(x+2)(x-2)=(x)^2-(2)^4=x^2-4} e quindi il prodotto di partenza diviene:

(x^2-4)(x-1)

In questo modo siamo passati da tre fattori a due soli fattori, ed il prodotto da eseguire è molto più semplice:

(x^2-4)(x-1)=x^3-4x-x^2+4

e questo è il risultato cercato. Così in conclusione, riepilogando tutti i passaggi:

\underbrace{(x+2)(x-2)}_{x^2-4}(x-1)=(x^2-4)(x-1)=x^3-4x-x^2+4

Esercizio 2

Calcolare:

x(3-x)(x+3)

Osserviamo che riscrivendo opportunamente il terzo fattore abbiamo:

x(3-x)(x+3)=x(3-x)(3+x)

E’ ora evidente che nel prodotto abbiamo un prodotto somma per differenza:

x(\underbrace{3-x}_{a-b})(\underbrace{3+x}_{a+b})=x(\underbrace{3^2-x^2}_{a^2-b^2})=x(9-x^2)=9x-x^3

Siamo quindi arrivati al risultato finale grazie ai prodotti notevoli con un semplice prodotto tra un monomio e un binomio.

Esercizio 3

(5-x)(x+5)(2-x)(x+2)

E’ possibile riconoscere due prodotti notevoli somma per differenza:

\underbrace{(5-x)(x+5)}_{5^2-x^2} \:\: \underbrace{(2-x)(x+2)}_{2^2-x^2}

Ricordiamo come sempre che nel prodotto {(a-b)(a+b)}, per capire quale è il primo quadrato da scrivere nella differenza {a^2-b^2}, dobbiamo guardare alla differenza {a-b} nel prodotto iniziale.

Così possiamo scrivere:

\begin{align*} & (5-x)(x+5)(2-x)(x+2)=(5^2-x^2)(2^2-x^2)=\\ \\ & =(25-x^2)(4-x^2)=100-4x^2-25x^2+x^4=\\ \\ & =x^4-29x^2+100 \end{align*}

Osserviamo che grazie ai prodotti notevoli da un prodotto di quattro binomi ci siamo ricondotti ad un prodotto di due soli binomi.

Esercizio 4

Utilizzare nel seguente calcolo i prodotti notevoli:

(x+1)(x+5)(-1-x)(x-5)

Anzitutto riordiniamo i fattori sfruttando la proprietà commutativa della moltiplicazione:

(x+1)(-1-x)(x+5)(x-5)=

A questo punto osserviamo che {(-1-x) \cdot (-1) = -(x+1)}:

=(-1) \cdot(x+1)(x+1)(x+5)(x-5)=(-1)(x+1)^2(x+5)(x-5)=

Riconosciamo inoltre il prodotto somma per differenza negli ultimi due fattori:

=(-1)(x+1)^2(x^2-25)=

Sviluppiamo infine il quadrato di un binomio:

=-(x^2+2x+1)(x^2-25)=(-x^2-2x-1)(x^2-25)=

Ora non resta che eseguire il prodotto tra polinomi:

=-x^4-2x^3-x^2+25x^2+50x+25=-x^4-2x^3+24x^2+50x+25

e siamo arrivati.

Anche in questo caso osserviamo i vantaggi ottenuti dall’uso dei prodotti notevoli nei prodotti tra polinomi. In particolare, dal prodotto iniziale di quattro binomi siamo passati al prodotto di due soli polinomi.

Esercizio 5

x(x+3)(x^2-3x+9)

E’ qui fondamentale per semplificare i calcoli riconoscere nel prodotto {(x+3)(x^2-3x+9)} il prodotto notevole della somma di cubi:

(x+3)(x^2-3x+9)=(x)^3+(3)^3=x^3+27

Infatti il trinomo {x^2-3x+9} è il falso quadrato del binomio {x-3}. E’ un falso quadrato, ricordiamo, poiché nei suoi termini compaiono sì i quadrati dei termini del binomio ma al posto del doppio prodotto abbiamo semplicemente il loro prodotto.

Di conseguenza per il prodotto di partenza abbiamo:

x(x+3)(x^2-3x+9)=x (x^3+27)=x^4+27x

Esercizio 6

Calcolare:

x(x-2)(x^2+2x+4)

In modo del tutto simile all’esercizio precedente, riconosciamo nel trinomio {x^2+2x+4} il falso quadrato del binomio {x+2}. Così abbiamo:

(x-2)(x^2+2x+4)=(x)^3-(2^3)=x^3-8

e quindi per il prodotto di partenza:

x(x-2)(x^2+2x+4)=x(x^3-8)=x^4-8x

Esercizio 7

Proseguiamo gli esercizi sull’uso dei prodotti notevoli nei prodotti tra polinomi con il seguente:

(x^2+2)(x^4+4x^2+4)

Osserviamo che il quadrato del binomio {x^2+2} è esattamente uguale al trinomio presente nel prodotto. Infatti riconosciamo nel trinomio i quadrati dei termini {x^2} e {2}, oltre al loro doppio prodotto. Di conseguenza possiamo scrivere:

(x^2+2)(x^4+4x^2+4)=(x^2+2)(x^2+2)^2=

e quindi per le proprietà delle potenze (prodotto tra potenze di uguale base):

=(x^2+2)^3=

A questo punto non rimane che sviluppare il cubo del binomio:

=(x^2)^3+3 \cdot (x^2)^2 \cdot 2 + 3 \cdot x^2 \cdot 2^2 +2^3=x^6+6x^4+12x^2+8

arrivando al risultato finale.

Esercizio 8

Concludiamo questa serie di esercizi sull’uso dei prodotti notevoli nel prodotto tra polinomi con il seguente:

(x^2-1)(x^4+x^2+1)(x-1)(x+1)

Osserviamo che {(x-1)(x+1)=x^2-1} (prodotto somma per differenza). Così possiamo riscrivere il prodotto dato come:

(x^2-1)(x^4+x^2+1)(x^2-1)

Attenzione. In questo caso non conviene associare i due fattori uguali {x^2-1} nel quadrato di un binomio {(x^2-1)^2}. Piuttosto, è più conveniente riconoscere nel prodotto {(x^2-1)(x^4+x^2+1)} una differenza di cubi.

Ciò è possibile in quanto il trinomio {x^4+x^2+1} è il falso quadrato del binomio {x^2+1}. Così:

\begin{align*} & (x^2-1)(x^4+x^2+1)(x^2-1)=\underbrace{(x^2-1)(x^4+x^2+1)}_{(x^2)^3-1^3}(x^2-1)= \\ \\ & = (x^6-1)(x^2-1)= x^8-x^6-x^2+1\end{align*}

Conclusioni

Per questa serie di esercizi sull’uso dei prodotti notevoli nei prodotti tra polinomi è tutto. Buono studio a tutti voi!