Prodotto di radicali con lo stesso indice

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In questa lezione ci occupiamo del prodotto di radicali con lo stesso indice. Vedremo quindi come eseguire il prodotto tra quantità sotto radice nel particolare caso in cui gli indici delle radici siano gli stessi. Estenderemo inoltre la regola anche al caso del quoziente tra radicali dello stesso indice.

Giustificheremo la regola del prodotto di radicali con lo stesso indice utilizzando le proprietà delle potenze. Tali proprietà come già abbiamo avuto modo di vedere sono piuttosto ricorrenti nella spiegazione delle proprietà dei radicali (vedi ad esempio la lezione sulla semplificazione dei radicali).

Inoltre, ci occuperemo sia del caso di radicandi numerici, sia del caso di radicandi variabili. Vedremo cioè anche come ragionare nel caso in cui le quantità sotto radice dipendano da una variabile. In tale circostanza, dovremo capire per quali valori della variabile esiste il prodotto tra i radicali. Precisiamo tra l’altro che le considerazioni che faremo in questo senso saranno valide sia per il prodotto di radicali con lo stesso indice, sia per il prodotto di radicali con indice diverso.

Vediamo allora subito come si calcola il prodotto di radicali con lo stesso indice.

Regola per il prodotto di radicali con lo stesso indice

Vediamo subito la regola relativa al prodotto di radicali con lo stesso indice, nel caso di indice {n} della radice pari oppure dispari.

Prodotto di radicali con lo stesso indice. Sia {n} un numero naturale diverso da zero. Detti {a} e {b} due numeri reali, nel caso in cui {n} sia pari abbiamo: {\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}, \qquad \text{con } a \geq0 \: \wedge b \geq 0 \small \qquad n \: \textbf{pari}} Nel caso in cui {n} sia dispari, abbiamo: {\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}, \qquad \forall \: a, \: b \: \in \mathbb{R} \qquad n \: \small \textbf{dispari}}

Per dimostrarlo basta riscrivere il prodotto di partenza passando dai radicali alle corrispondenti potenze con esponenti frazionari. A tal punto basta infatti applicare le proprietà delle potenze (prodotto tra potenze di uguale esponente):

\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}}=(a \cdot b)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a \cdot b}

Inoltre, la regola data si applica anche al quoziente tra radicali con lo stesso indice. Infatti:

\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{a} \cdot \dfrac{1}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{\dfrac{1}{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}, \qquad b \neq 0

Nei passaggi abbiamo utilizzato l’uguaglianza {\dfrac{1}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{1}{b}}}. Questa si giustifica osservando che per le proprietà delle potenze:

\dfrac{1}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{1}{b}} \iff \left(\dfrac{1}{\sqrt[n]{b}} \right)^n = \left(\sqrt[n]{\dfrac{1}{b}}\right)^n \Rightarrow \dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{b}

Quoziente tra radicali con lo stesso indice. Sia {n} un numero naturale diverso da zero. Detti {a} e {b} due numeri reali, nel caso in cui {n} sia pari abbiamo: {\dfrac{\sqrt[n]{a}} {\sqrt[n]{b}} =\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}, \qquad \text{con } a \geq0 \: \wedge b > 0 \small \qquad n \: \textbf{pari}} Nel caso in cui {n} sia dispari, abbiamo: {\dfrac{\sqrt[n]{a}} {\sqrt[n]{b}} =\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}, \qquad \forall \: a, b \in \mathbb{R}, \: b \neq 0 \small \qquad n \: \textbf{dispari}}

Esempi sul prodotto e quoziente di radicali con lo stesso indice (radicandi numerici)

Esempio 1

Calcolare il seguente prodotto di radicali con lo stesso indice:

\sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{2^4}

Il risultato è dato da un radicale avente per indice lo stesso indice dei radicali nel prodotto e per radicando il prodotto dei radicandi presenti nei radicali di partenza:

\sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{2^4}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 2^4}=\sqrt[3]{2^7}

Esempio 2

Calcolare il seguente rapporto tra radicali con lo stesso indice:

\dfrac{\sqrt[4]{3^5}}{\sqrt[4]{3^2}}

Scriviamo come risultato un radicale avente per indice lo stesso indice dei radicali e come radicando il rapporto tra i radicandi:

\dfrac{\sqrt[4]{3^5}}{\sqrt[4]{3^2}}=\sqrt[4]{\dfrac{3^5}{3^2}}=\sqrt[4]{3^{5-2}}=\sqrt[4]{3^3}

Esempio 3

Calcolare:

\dfrac{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{5}}

Qui siamo in presenza sia di un prodotto, sia di un rapporto tra radicali. Cominciamo calcolando il prodotto al numeratore e quindi calcolando il quoziente tra il risultato del prodotto e il radicale al denominatore:

\dfrac{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{5}}=\dfrac{\sqrt[3]{2 \cdot 3}}{\sqrt[3]{5}}= \dfrac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{5}}=\sqrt[3]{\dfrac{6}{5}}

Prodotto e quoziente di radicali con lo stesso indice nel caso di radicandi variabili

Nel caso di prodotto o quoziente di radicali con lo stesso indice con radicandi variabili dobbiamo tenere conto delle condizioni di esistenza dei radicali di partenza e contemporaneamente di quelle del radicale che otteniamo come risultato.

Vediamo subito degli esempi.

Esempio 1

Calcolare:

\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1}

A meno dello studio del campo di esistenza, abbiamo:

\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1} = \sqrt{(x+1)(x-1)} =\sqrt{x^2-1}

Tuttavia, per quali valori della {x} esiste tale risultato?

Studiamo intanto il campo di esistenza del radicale ottenuto come risultato. L’indice della radice è pari, per cui dovremo imporre il radicando maggiore o uguale a zero:

x^2-1 \geq 0

ovvero:

(x+1)(x-1) \geq 0

Dovremo quindi studiare il segno di ciascun fattore al primo membro della disuguaglianza, e quindi determinare il segno del prodotto mediante l’algebra dei segni. Abbiamo:

prodotto di radicali con lo stesso indice

Di conseguenza il radicando {(x+1)(x-1)} è maggiore o uguale a zero per {x \leq -1} oppure per {x \geq 1}. Queste sono dunque le condizioni di esistenza del radicale relativo al risultato del prodotto.

Ora, vediamo le condizioni di esistenza dei singoli radicali nel prodotto di partenza. Abbiamo:

x+1 \geq 0 \iff x \geq -1; \qquad x-1 \geq 0 \iff x \geq 1

Queste sono le condizioni di esistenza dei due radicali di partenza.

Ora, il prodotto tra i due radicali sarà definito soltanto per i valori che rispettano le condizioni di esistenza sia dei due radicali che compaiono nel prodotto di partenza, sia del radicale risultato del prodotto:

\begin{cases}x \geq 1 \\ \\ x \geq -1 \\ \\ x \leq -1 \: \vee \: x \geq 1 \end{cases}

La parentesi graffa indica che tutte le condizioni in essa racchiuse devono essere verificate contemporaneamente.

Dobbiamo quindi considerare l’intersezione degli insiemi delle soluzioni relative alle condizioni di esistenza dei radicali. Possiamo procedere graficamente come segue:

prodotto di radicali con lo stesso indice

Di conseguenza il prodotto fra i radicali dati esiste per {x \geq 1}.

Quindi in generale per il prodotto di radicali aventi lo stesso indice con radicandi dipendenti dalla variabile {x} si tratterà di:

  • calcolare il prodotto o quoziente dei radicali secondo la regola generale;
  • se l’indice dei radicali è pari, imporre tutti i radicandi maggiori o uguali a zero;
  • se in uno o più radicandi abbiamo un denominatore dipendente dalla variabile, dobbiamo escludere i valori della {x} per i quali esso si annulla.

Vediamo un ulteriore esempio in modo da chiarire anche il terzo punto.

Esempio 2

Calcolare:

\dfrac{\sqrt{5-2x}}{\sqrt{x}}

A meno della discussione del campo di esistenza, abbiamo:

\dfrac{\sqrt{5-2x}}{\sqrt{x}}=\sqrt{\dfrac{5-2x}{x}}

Ora vediamo per quali valori della {x} ha senso l’uguaglianza scritta.

L’indice dei radicali è pari, di conseguenza dovremo imporre le condizioni di esistenza:

\begin{cases}5-2x \geq 0 \\ \\ x > 0 \\ \\ \dfrac{5-2x}{x} \geq 0 \end{cases}

Per la condizione {5-2x \geq 0 } otteniamo:

-2x \geq -5 \quad \Rightarrow \quad x \leq \dfrac{5}{2}

Per la terza condizione dobbiamo studiare i segni del numeratore e del denominatore della frazione { \dfrac{5-2x}{x}}. Proviamo a farlo per esercizio senza il diagramma dello studio del segno. La frazione sarà positiva nei casi in cui il numeratore e il denominatore sono concordi:

\begin{cases}5-2x \geq 0 \\ \\ x > 0 \end{cases}  \quad \vee \quad  \begin{cases}5-2x < 0 \\ \\ x <  0 \end{cases} 

Per il sistema a sinistra abbiamo:

\begin{cases}5-2x \geq 0 \\ \\ x > 0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x \leq \dfrac{5}{2} \\ \\ x > 0\end{cases} \quad \Rightarrow \quad 0\: < x \leq \dfrac{5}{2}

Per il sistema a destra:

\begin{cases}5-2x < 0 \\ \\ x <  0 \end{cases}  \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x> \dfrac{5}{2} \\ \\ x < 0  \end{cases} \quad \Rightarrow \quad S = \{ \emptyset \}

Abbiamo quindi ottenuto una condizione utile soltanto dal sistema a sinistra.

Così tornando alle condizioni relative a tutti i radicali possiamo scrivere:

\begin{cases}x \leq \dfrac{5}{2} \\ \\ x > 0 \\ \\0 < x \leq \dfrac{5}{2}\end{cases} \quad \Rightarrow \quad  \boxed{0 < x \leq \dfrac{5}{2}}

E questo è l’insieme delle {x} per le quali esiste il quoziente di partenza.

Regole inverse (prodotto e quoziente di radici con stesso n)

Vediamo ora le regole inverse relative al prodotto e quoziente di radicali con lo stesso indice {n}.

Consideriamo il seguente radicale:

\sqrt[n]{a \cdot b}

Se l’indice {n} è dispari, applicando la regola del prodotto tra radicali dello stesso indice nel senso inverso otteniamo:

\sqrt[n]{a \cdot b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}, \qquad \small n \: \textbf{dispari}

Diversamente, se l’indice del radicale è pari, dovremo scrivere:

\sqrt[n]{a \cdot b}=\sqrt[n]{|a|} \cdot \sqrt[n]{|b|}, \qquad \small n \: \textbf{pari}

Infatti i radicali {\sqrt[n]{a}} e {\sqrt[n]{b}} non esistono se {a < 0} oppure {b < 0}. Invece, il radicando {a \cdot b } esiste anche se entrambi i fattori {a} e {b} sono negativi. Di conseguenza dobbiamo porre i radicandi entro il simbolo di valore assoluto, in modo da “forzarli positivi”.

Discorso del tutto simile vale anche nel caso della regola del rapporto tra radicali dello stesso indice applicata in senso inverso:

\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\begin{cases}\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \qquad \small n \textbf{ dispari}\\ \\  \dfrac{\sqrt[n]{|a|}}{\sqrt[n]{|b|}} \qquad \small n \textbf{ pari}\end{cases}

Conclusioni

Per quanto riguarda questa lezione sul prodotto di radicali con lo stesso indice è tutto. Nella prossima lezione ci occuperemo della regola per portare un fattore dentro al simbolo di radice. In tal modo, sotto un’altra prospettiva, vedremo come il risultato del prodotto di una quantità priva di radici per un radicale ha come risultato un radicale. Buon proseguimento!


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