Prodotto somma per differenza

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Ci occupiamo ora del prodotto notevole somma per differenza. Si tratta di un prodotto nel quale compaiono la somma di due quantità per la differenza di quelle stesse quantità. Le due quantità possono essere dei monomi, ma come vedremo in generale può trattarsi anche di polinomi (tipicamente, binomi).

Nel caso più semplice il prodotto notevole somma per differenza si presenta comunque nella forma di una somma di monomi moltiplicata per una differenza di monomi.

Come nel caso degli altri prodotti notevoli, anche per i prodotti somma per differenza esiste una regola che ne consente il rapido calcolo.

Regola per il prodotto somma per differenza

Scriviamo il prodotto somma per differenza nella forma generale:

(a+b)(a-b)

Come possiamo vedere abbiamo il prodotto della somma tra i due termini {a} e {b} moltiplicata per la differenza di quegli stessi termini.

Per stabilire una regola per il calcolo rapido di un tale prodotto dobbiamo vedere che risultato otteniamo a partire dalla sua forma generale. E nel fare questo applicheremo la regola generale per il prodotto tra polinomi:

\begin{align*} & (a+b)(a-b) = a\cdot a+ b \cdot a + a \cdot (-b) + b \cdot (-b) = \\ \\ & = a^2+\cancel{ab}-\cancel{ab}-b^2=\boxed{a^2-b^2} \end{align*}

Così otteniamo la regola generale:

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Il prodotto somma per differenza relativo a due termini è uguale al quadrato del termine che nella differenza compare come minuendo (primo termine) meno il quadrato del termine che nella differenza compare come sottraendo (secondo termine).

Ad esempio:

(xy+y^2)(xy-y^2)=(xy)^2-(y^2)^2=x^2y^2-y^4

Sottolineiamo che nello scrivere la differenza tra i quadrati dobbiamo osservare attentamente la differenza nel prodotto notevole iniziale. Dovremo così scrivere il quadrato del termine {xy} (che nella differenza è il minuendo) meno il quadrato del termine {y^2} (che nella differenza è il sottraendo). E per ricordare le definizioni di minuendo e sottraendo, osserviamo ad esempio che nella differenza {a-b} il minuendo è {a} mentre il sottraendo è {b}.

Osservazione. E’ anche possibile tra parentesi ragionare nei termini di somme algebriche. Ad esempio: {(a+b)[a+(-b)]=a^2-b^2} Con una rilettura di questo tipo osserviamo che nel prodotto di partenza abbiamo due termini uguali {a} e due termini opposti ({b} e {-b}). Così, il risultato del prodotto sarà dato dalla differenza tra il quadrato di uno dei due termini uguali meno il quadrato di uno dei due termini opposti. Questa osservazione consente ad esempio di riconoscere agevolmente nel prodotto: {(-a-b)(-a+b)} un prodotto somma per differenza e in particolare di scrivere: {(-a-b)(-a+b)=a^2-b^2} Infatti abbiamo considerato la differenza tra il quadrato di uno dei due termini uguali (ovvero {(-a)^2=a^2}) e il quadrato di uno dei due termini opposti (ovvero {(-b)^2=b^2} oppure {(b)^2=b^2}).

Precisiamo comunque che a partire dal prodotto: {(-a-b) \cdot (-a+b)} è anche possibile moltiplicare entrambi i fattori per {-1} in modo da ritrovarci con l’equivalente prodotto: {(a+b)(a-b)} che può essere tranquillamente calcolato utilizzando la regola generale.

Esempi sul prodotto notevole somma per differenza

Esempio 1

Calcolare:

(x-2)(x+2)

Osserviamo che nella differenza il minuendo è {x} mentre il sottraendo è {2}. Così dovremo scrivere come risultato la differenza tra il quadrato del minuendo e il quadrato del sottraendo:

(x-2)(x+2)=(x)^2-(2)^2=x^2-4

Esempio 2

Calcolare:

(-3x-y)(-3x+y)

I segni dei termini così come si presentano non rendono in generale ovvio se si tratta di un prodotto somma per differenza o meno. Proviamo a moltiplicare entrambi i fattori per {-1} e vediamo cosa succede. Osserviamo che l’operazione è lecita poiché consiste nel moltiplicare per {1} (infatti {-1 \cdot (-1) = 1}).

\begin{align*} &(-3x-y)(-3x+y)=(-3x-y) \cdot (-1) \cdot(-3x+y) \cdot (-1) = \\ \\ & =(3x+y)(3x-y) \end{align*}

Effettivamente ci ritroviamo con un prodotto somma per differenza:

(3x+y)(3x-y)=(3x)^2-(y)^2=9x^2-y^2

Così in conclusione possiamo scrivere:

(-3x-y)(-3x+y)=9x^2-y^2

In alternativa, ragionando con le somme algebriche, ripartendo dal prodotto iniziale:

(-3x-y)(-3x+y)

possiamo osservare che abbiamo due termini uguali {-3x} e due termini opposti {y} e {-y}. Così per quanto detto nella precedente osservazione, dovremo scrivere come risultato la differenza tra il quadrato di uno dei due termini uguali meno il quadrato di uno dei due termini opposti:

(-3x-y)(-3x+y)=(-3x)^2-(-y)^2=9x^2-y^2

ritrovando lo stesso risultato.

Esempio 3

(1-x^2-y^2)(1+x^2+y^2)

E’ possibile rileggere anche in questo caso l’espressione data come un prodotto notevole somma per differenza, a patto di porre le sostituzioni {A=1} e {B=x^2+y^2}. In tal caso potremo scrivere:

\begin{align*} &(1-x^2-y^2)(1+x^2+y^2)= [\underbrace {1}_{A}-\underbrace{(x^2+y^2}_{B})]\cdot [1+(x^2+y^2)]= \\ \\ & =(A-B)(A+B) =A^2-B^2=1^2-(x^2+y^2)^2= \end{align*}

Proseguendo i passaggi calcolando il quadrato di un binomio {(x^2+y^2)^2}:

=1-(x^4+2x^2y^2+y^4)=1-x^4-2x^2y^2-y^4

e quindi in conclusione:

(1-x^2-y^2)(1+x^2+y^2)=1-x^4-2x^2y^2-y^4

Il trucco del metodo qui adottato sta nell’osservare che la somma algebrica:

1-x^2-y^2

si può riscrivere in forma di sottrazione come:

1-(x^2+y^2)

e ciò consente di riconoscere un prodotto somma per differenza con {A=1} e {B=x^2+y^2}.

Osserviamo che in teoria è comunque corretto calcolare il prodotto {(1-x^2-y^2)(1+x^2+y^2)} utilizzando la regola generale del prodotto tra polinomi. Tuttavia, in tal modo i calcoli sono considerevolmente più lunghi. E’ dunque bene cercare sempre di riconoscere ove possibile i prodotti notevoli.


Per questa lezione è tutto. Per chi vuole ulteriormente allenarsi con il prodotto notevole appena studiato sono disponibili esercizi svolti e commentati nell’esercitazione correlata. Buon proseguimento!


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Monomi e polinomi (superiori)