Prodotto tra polinomi

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Monomi e polinomi (superiori)

Veniamo ora al prodotto tra polinomi, ovvero l’operazione di moltiplicazione tra due o più polinomi. Inizialmente vedremo il solo caso di prodotto tra due polinomi, per poi estendere la regola al caso di tre o anche più polinomi.

In particolare introdurremo il prodotto tra polinomi a partire dal prodotto di un polinomio per un monomio, del quale ci siamo occupati nella precedente lezione. In altre parole, vedremo che il prodotto tra polinomi è una somma tra prodotti di un polinomio per un monomio.

Cercheremo quindi di spiegare l’operazione di moltiplicazione tra polinomi (prodotto tra polinomi) a partire da quanto sappiamo sul prodotto polinomio per monomio e sempre facendo riferimento alla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione.

Senza ulteriori indugi vediamo subito come calcolare il prodotto tra polinomi.

Come calcolare il prodotto tra polinomi

Il prodotto tra polinomi (nel caso di due polinomi) si calcola moltiplicando ciascun termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo polinomio, sommando tra loro tutti i prodotti parziali che via via si ottengono.

In altre parole, il prodotto tra due polinomi si calcola sommando il prodotto tra il primo polinomio e il primo termine del secondo polinomio, il prodotto tra il primo polinomio e il secondo termine del secondo polinomio, il prodotto tra il primo polinomio e l’eventuale terzo termine del secondo polinomio, e così via fino a che non si esauriscono tutti i termini del secondo polinomio.

Vediamo quindi che il prodotto tra polinomi è esprimibile come somma di prodotti parziali, ove ciascun prodotto parziale è dato dal prodotto del primo polinomio per uno stesso termine del secondo polinomio. Ed avremo un prodotto parziale per ciascun termine del secondo polinomio.

Passiamo subito all’azione. Eseguiamo la seguente moltiplicazione tra polinomi:

(x^2+2x+4) \cdot(x-2)

Scriviamo il primo prodotto parziale, ovvero il prodotto del primo polinomio per il primo termine del secondo polinomio:

(x^2+2x+4)\cdot x = x^2 \cdot x + 2x \cdot x + 4 \cdot x = \boxed{x^3+2x^2+4x}

Il secondo prodotto parziale è dato dal prodotto del primo polinomio per il secondo termine del secondo polinomio:

(x^2+2x+4) \cdot (-2)=x^2 \cdot (-2) + 2x \cdot (-2) + 4 \cdot (-2) = \boxed{-2x^2-4x-8}

Poiché abbiamo esaurito tutti i termini del secondo polinomio non abbiamo ulteriori prodotti parziali da calcolare. Possiamo quindi calcolare il risultato della moltiplicazione tra polinomi di partenza come somma dei prodotti parziali che abbiamo appena scritto:

(x^2+2x+4) \cdot(x-2)=\underbrace{ x^3+2x^2+4x}_{\text{1° prodotto parziale}}\overbrace{-2x^2-4x-8}^{\text{2° prodotto parziale}}=

Avendo dei termini simili procediamo sommandoli tra di loro:

=x^3+\cancel{2x^2}+\cancel{4x}-\cancel{2x^2}-\cancel{4x}-8 = x^3-8

E questo è il risultato finale del prodotto di partenza.

Osservazione. Quello presentato non è l’unico metodo possibile. Si può anche procedere infatti moltiplicando il primo termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo polinomio, quindi il secondo termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo polinomio, e così via fino ad esaurire tutti i termini del primo polinomio. Brevemente, ciò equivale a moltiplicare ciascun termine del primo polinomio per il secondo polinomio (sommando tra loro i prodotti parziali che via via si ottengono).

Precisiamo che usare uno o l’altro metodo è comunque corretto. Infatti la moltiplicazione gode della proprietà commutativa. Sentitevi quindi liberi di utilizzare la tecnica che più vi resta comoda, comunque orientandovi sempre secondo le indicazioni del vostro insegnante.

Proseguiremo la lezione utilizzando il primo metodo presentato, adottandolo anche per le lezioni successive. In ogni caso, a fine lezione forniremo anche un esempio relativo al secondo metodo.

Un ulteriore esempio sul calcolo del prodotto tra due polinomi

Calcoliamo il seguente prodotto:

(9x^2y^4-5xy^2+1) \cdot (3xy^2+1)

Procediamo più speditamente rispetto a quanto fatto nel precedente esercizio scrivendo direttamente la somma tra i due prodotti parziali. Abbiamo:

\begin{align*} &(9x^2y^4-5xy^2+1) \cdot (3xy^2+1) = \\ \\ & = \underbrace{9x^2y^4 \cdot 3xy^2 -5xy^2 \cdot 3xy^2 +1 \cdot 3xy^2 }_{\text{primo prodotto parziale}}+\underbrace{9x^2y^4\cdot1-5xy^2\cdot1+1 \cdot 1}_{\text{secondo prodotto parziale}} = \\ \\ & = 27x^3y^6-15x^2y^4+3xy^2+9x^2y^4-5xy^2+1=\end{align*}

Ora concludiamo l’esercizio sommando i termini simili:

\begin{align*} & =27x^3y^6+(-15+9)x^2y^4+(3-5)xy^2+1= \\ \\ & = 27x^3y^6-6x^2y^4-2xy^2+1 \end{align*}

Come calcolare il prodotto fra tre polinomi

Per il calcolo del prodotto fra tre polinomi possiamo procedere calcolando il prodotto tra i primi due polinomi, quindi moltiplicando il risultato ottenuto per il terzo polinomio.

Calcoliamo ad esempio il seguente prodotto:

\left( 3a-b\right) \cdot \left(a+2b \right) \cdot \left( 2a^2-ab+b^2\right)

Cominciamo eseguendo la moltiplicazione tra i primi due polinomi:

\begin{align*} &\left( 3a-b\right) \cdot \left(a+2b \right) = {3a^2-ab+6ab-2b^2}\end{align*}

A questo punto moltiplichiamo il risultato appena ottenuto per il terzo polinomio:

\begin{align*} & (3a^2-ab+6ab-2b^2)  \cdot \left( 2a^2-ab+b^2\right) = \\ \\ & = 6a^4-2a^3b+12a^3b-4a^2b^2-3a^3b+a^2b^2-6a^2b^2+2ab^3+ \\ \\ & +3a^2b^2-ab^3+6ab^3-2b^4 = \\ \\ & =6a^4+(-2+12-3)a^3b+(-4+1+3-6)a^2b^2+(+2-1+6)ab^3-2b^4 = \\ \\ & = 6a^4+7a^3b-6a^2b^2+7ab^3-2b^4\end{align*}

Siamo così arrivati alla forma finale del risultato della moltiplicazione fra i tre polinomi dati.

Osserviamo che la regola esposta si basa sulla proprietà associativa della moltiplicazione. Abbiamo infatti anche per i polinomi:

P_1 \cdot P_2 \cdot P_3 = (P_1 \cdot P_2) \cdot P_3

Grado del prodotto

Vediamo ora quale è il grado del polinomio che si ottiene come risultato della moltiplicazione tra polinomi.

Il grado (complessivo) del polinomio risultato della moltiplicazione tra polinomi è uguale alla somma dei gradi (complessivi) dei polinomi che compaiono nella moltiplicazione.

Ad esempio nella moltiplicazione vista in precedenza:

(x^2+2x+4) \cdot(x-2)

il primo polinomio è di secondo grado, mentre il secondo è di primo grado. Ci aspettiamo così un risultato di grado 2+1=3 (somma dei gradi dei polinomi nella moltiplicazione), ed infatti come abbiamo visto:

(x^2+2x+4) \cdot(x-2)=x^3-8

Effettivamente il risultato è un polinomio di terzo grado.

Anche nel caso di più polinomi il ragionamento da seguire è lo stesso. Ad esempio per la moltiplicazione:

\left( 3a-b\right) \cdot \left(a+2b \right) \cdot \left( 2a^2-ab+b^2\right)

ci aspettiamo un risultato di quarto grado, poiché il primo e il secondo polinomio sono di primo grado, il terzo polinomio è di secondo grado e quindi la somma dei gradi è 4.

Come abbiamo visto otteniamo:

\small \left( 3a-b\right) \cdot \left(a+2b \right) \cdot \left( 2a^2-ab+b^2\right)=6a^4+7a^3b-6a^2b^2+7ab^3-2b^4

risultato che effettivamente è di quarto grado.

Ricordiamo che il grado (complessivo) di un polinomio è dato dal massimo grado fra i gradi di tutti i suoi termini. E ricordiamo che il grado (complessivo) di un termine di un polinomio è pari alla somma degli esponenti di tutte le sue lettere.

Regola alternativa per il prodotto tra polinomi

Poiché la moltiplicazione gode della proprietà commutativa, la regola qui presentata per il calcolo del prodotto tra polinomi non è l’unica possibile. Infatti, per moltiplicare due polinomi tra loro è anche possibile moltiplicare il primo termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo polinomio, quindi il secondo termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo polinomio, e così via fino a che non si esauriscono tutti i termini del primo polinomio. Ad esempio:

\begin{align*} &(2a+7a^2b+9c)\cdot(3a-7b+2)= \\ \\ & =2a \cdot (3a-7b+2)+7a^2b \cdot (3a-7b+2) + 9c \cdot (3a-7b+2) =\\ \\ & =6a^2-14ab+4a+21a^3b-49a^2b^2+14a^2b+27ac-63bc+18c\end{align*}

Sentitevi liberi di utilizzare il metodo che più preferite, anche in base alle indicazioni contenute nel vostro libro di testo e alla scelta del vostro insegnante.

Conclusioni

Per quanto riguarda il prodotto tra polinomi è tutto. Per allenarvi ulteriormente è disponibile l’esercitazione correlata.

Nella prossima lezione cominceremo lo studio dei prodotti notevoli, a partire dal quadrato di un binomio. Tali regole consentono di calcolare in modo rapido ad esempio il prodotto di un polinomio per sé stesso, senza dover applicare ogni volta le regole viste in questa lezione.