Riprendiamo nel dettaglio i prodotti notevoli studiandone ciascun caso, a partire dal quadrato di un binomio. Questo è uno dei prodotti notevoli più ricorrenti, e si tratta di una regola che consente di calcolare in modo rapido il prodotto di un binomio per sé stesso.
In altre parole grazie alla regola del prodotto notevole del quadrato di un binomio, è possibile moltiplicare tra loro due binomi uguali.
Fondamentale per utilizzare con successo la regola del quadrato di un binomio è chiaramente ricordare con precisione la corrispondente formula. Ma dopo aver svolto qualche esercizio ricordare la regola sarà automatico.
Regola del quadrato di un binomio
Il quadrato di un binomio è uguale alla somma del quadrato del primo termine, più il doppio prodotto dei due termini, più il quadrato del secondo termine.
In formule:
\boxed{(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2}Per dimostrarlo, ci basta osservare che per le proprietà delle potenze:
(a+b)^2 = (a+b)\cdot(a+b)
e che per la regola del prodotto tra polinomi:
(a+b)\cdot(a+b) = a\cdot a+b\cdot a+a \cdot b + b \cdot b = a^2+2ab+b^2
E’ fondamentale ricordare sempre il doppio prodotto. In altre parole, la scrittura {(a+b)^2=a^2+b^2} è sbagliata. Per rendersene conto, basta sostituire alle lettere {a} e {b} dei valori numerici. Ad esempio, posto {a=5} e {b=3}, applicando la formula abbiamo: {\left( 5+3\right)^2= 5^2+ 2 \cdot 5 \cdot 3+ 3^2 = 25+30+9 =64 } Ed infatti: {\left( 5+3\right)^2 = 8^2 = 64 } Dimenticandoci il doppio prodotto avremmo invece ottenuto: {5^2+3^2=25+9=34 \neq 64=\left( 5+3\right)^2} Quindi, attenzione.
Esempi sul quadrato di un binomio
Prima di procedere con gli esempi, precisiamo che nella forma generale del quadrato di un binomio, ovvero nell’espressione {\left( a+b\right)^2}, la somma {a+b} è da intendersi in senso algebrico. Così nel calcolare il doppio prodotto dovremo tenere conto dei segni dei termini contenuti nel binomio. Invece, poiché il quadrato di una quantità non nulla è sempre positivo, il segno dei quadrati dei termini del binomio sarà sempre il più.
Così relativamente ai casi generali avremo:
\small \begin{align*} (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2 \\ \\ (a-b)^2 &= [a+(-b)]^2 = a^2+2\cdot a \cdot (-b) + (-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \\ \\ (-a-b)^2 &= [(-a)+(-b)]^2 = (-a)^2+2 \cdot (-a) \cdot (-b) +(-b)^2 = a^2+2ab+b^2 \end{align*}In altre parole nell’applicare la regola del quadrato di un binomio dovremo prendere ciascun termine con il segno con il quale appare nel binomio. Così nella scrittura {a-b} non dovremo qui intendere il segno meno come operatore di sottrazione ma bensì come segno del secondo termine. Di conseguenza il secondo termine è {-b} e non {b}.
Vediamo subito nel dettaglio i vari casi negli esempi a seguire.
Esempio 1
Calcolare il seguente quadrato di un binomio:
(4x+3x^3y)^2
Gli ingredienti dei quali abbiamo bisogno sono:
- quadrato del primo termine: {\left( 4x\right)^2 = 16x^2};
- doppio prodotto dei termini: {2 \cdot 4x \cdot 3x^3y = 2 \cdot 4 \cdot 3 x^{1+3}y = 24x^4y};
- quadrato del secondo termine: {\left( 3x^3y\right)^2 = 9x^6y^2} .
Così sommando le quantità appena scritte abbiamo in conclusione:
(4x+3x^3y)^2 = 16x^2+24x^4y+9x^6y^2
E’ qui fondamentale ricordare la regola della potenza di un monomio e saper moltiplicare dei monomi tra loro. Abbiamo visto tutto questo nella lezione sulle operazioni con i monomi.
Esempio 2
Calcolare:
(2x^2y-5xy^2)^2
Stavolta un termine è negativo. Di conseguenza il doppio prodotto avrà segno meno. Abbiamo infatti:
\begin{align*} &(2x^2y-5xy^2)^2= \left( 2x^2y\right)^2 +2 \cdot 2x^2y \cdot (-5xy^2) +\left( 5xy^2\right)^2 = \\ \\ & = 4x^4y^2-20x^3y^3+25x^2y^4\end{align*}Osservazione. Poiché come detto il segno del doppio prodotto dipende dal segno dei termini del binomio mentre i quadrati dei termini sono sempre positivi, è evidente che se un solo termine nel binomio è negativo il risultato del quadrato di un binomio è lo stesso a prescindere da quale termine abbia segno meno. In altre parole: {(a-b)^2 = (b-a)^2}
In base all’osservazione abbiamo quindi:
\small (-2x^2y+5xy^2)^2=4x^4y^2-20x^3y^3+25x^2y^4=(2x^2y-5xy^2)^2
Esempio 3
Calcolare il seguente quadrato di un binomio:
(-7a^2b^3-3a^4b^5)^2
Abbiamo:
\begin{align*} & (-7a^2b^3-3a^4b^5)^2 = (-7a^2b^3)^2+2 \cdot (-7a^2b^3) \cdot (-3a^4b^5) + (-3a^4b^5)^2 = \\ \\ & =49a^4b^6+42a^6b^8+ 9a^8b^{10}\end{align*}Come già anticipato, osserviamo che il quadrato del binomio che si ottiene invertendo i segni di entrambi i termini del precedente binomio fornisce lo stesso risultato.
(7a^2b^3+3a^4b^5)^2 = 49a^4b^6+42a^6b^8+9a^8b^{10}Di conseguenza abbiamo:
(7a^2b^3+3a^4b^5)^2= (-7a^2b^3-3a^4b^5)^2
e quindi in generale:
(-a-b)^2 = (a+b)^2
Ciò è conseguenza del fatto che il quadrato di un numero è uguale al quadrato del suo opposto. Così anche il quadrato di un dato binomio è uguale al quadrato del binomio ad esso opposto.
Esempio 4
Calcolare:
\left[ (x+1)-(y-b)\right]^2
Non necessariamente i termini {a} e {b} nella forma generale {\left( a+b\right)^2} devono essere dei monomi. Tali quantità possono essere benissimo dei binomi e per il calcolo dei quadrati dei termini si tratterà di applicare ancora la regola del quadrato di un binomio.
Così nel nostro caso dovremo porre {A= x+1} e {B=-(y-b)}. Prestiamo particolare attenzione a come abbiamo tenuto conto del segno nello scrivere {B}. Osserviamo inoltre che abbiamo usato le maiuscole per non fare confusione.
Così possiamo scrivere:
\begin{align*} & \left( A+B\right)^2 = A^2 + 2AB + B^2 = \\ \\ & =\underbrace{(x+1)^2}_{A^2}+ \underbrace {2 \cdot (x+1) \cdot [-(y-b)] }_{2AB}+ \underbrace{[-(y-b)]^2}_{B^2} = \\ \\ & =x^2+2x+1+2\cdot(x+1) \cdot (-y+b) + (-y+b)^2 = \\ \\ & =x^2+2x+1 -2xy-2y+2bx+2b+y^2-2by+b^2 \end{align*}E quindi in definitiva:
\begin{align*} & \left[ (x+1)-(y-b)\right]^2 = \\ \\ & = x^2+2x+1 -2xy-2y+2bx+2b+y^2-2by+b^2 \end{align*}Osservazione. Nell’esercizio siamo in pratica riusciti a ricondurre il calcolo del seguente quadrato di un quadrinomio: {(x+1-y+b)^2 } al calcolo del quadrato del seguente “binomio in senso esteso”: {[(x+1)-(y-b)]^2} Infatti: {x+1-y+b = (x+1)-(y-b)} Così dovendo calcolare il quadrato di un quadrinomio il trucco sta nel riscriverlo nella forma {(A+B)^2}, ove {A} e {B} sono dei binomi. Ad esempio: {\left( 2a+7b-3a+5b\right)^2 = \left[ (2a+7b)-(3a-5b)\right]^2} ove {A = 2a+7b} e {B=-(3a-5b)}.
Ancora, al fine di evitare confusione con i segni ricordiamo che la somma {A+B} è intesa in senso algebrico (somma algebrica).
Metodo alternativo per lavorare con i segni
Se intendere la somma {a+b} come somma algebrica vi crea confusione, è possibile considerare separatamente le due formule:
(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 , \qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
considerando in questo caso il segno meno nella differenza {a-b} come operatore di sottrazione. In questo modo però siamo costretti a dover ricordare due formule. Il vantaggio è però dato dal poter prendere i termini da utilizzare nelle formule sempre con segno positivo. Ad esempio:
(2a-3b)^2 = (2a)^2 -2 \cdot 2a \cdot 3b + (3b)^2 = 4a^2-12ab+9b^2
Questo è l’approccio tipicamente usato nelle scuole medie. Consigliamo comunque agli studenti delle superiori di prendere confidenza con il concetto di somma algebrica, come effettivamente abbiamo fatto nel corso di tutta la lezione.
Proprietà simmetrica dell’uguaglianza e quadrato di un binomio per la scomposizione in fattori
Per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza, se è vero che:
(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2
è anche vero che:
a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2
In altre parole è possibile riconoscere nei polinomi della forma {a^2+2ab+b^2} lo sviluppo di un quadrato di un binomio. Di conseguenza la scrittura:
a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 = (a+b)(a+b)
rappresenta la scomposizione in fattori del polinomio {a^2+2ab+b^2}. Infatti, tale polinomio può essere riscritto come prodotto dei fattori {(a+b)(a+b)}, ovvero come il quadrato {(a+b)^2}.
Così, per provare a scomporre in fattori un trinomio utilizzando la regola del quadrato di un binomio in senso inverso, dovremo anzitutto controllare se due suoi termini sono esprimibili come quadrati. In caso affermativo, dovremo infine controllare se il terzo termine è il doppio prodotto degli altri due termini. Ad esempio, dato il trinomio:
4x^2+4ax+a^2
in esso è immediato riconoscere in {4x^2} il quadrato di {2x} ed in {a^2} il quadrato di {a}. Ora, il doppio prodotto di questi due termini è {2 \cdot 2x \cdot a=4ax}, che effettivamente coincide con il rimanente termine del trinomio. Così in conclusione possiamo scrivere:
4x^2+4ax+a^2= (2x+a)^2
e questa è la scomposizione in fattori del trinomio dato. Infatti, ripartendo dal quadrato di un binomio:
(2x+a)^2 = (2x)^2+2 \cdot 2x \cdot a + (a)^2 = 4x^2+4ax+a^2
il che conferma la correttezza della scomposizione in fattori scritta.
Ci occuperemo diffusamente delle tecniche di scomposizione in fattori dei polinomi nelle lezioni dedicate, tuttavia così come fatto in questa lezione forniremo già le prime considerazioni sulla scomposizione in fattori dei polinomi durante lo studio di ciascun prodotto notevole.
Conclusioni
Per quanto riguarda il prodotto notevole del quadrato di un binomio è tutto. Per chi desidera allenarsi è disponibile l’esercitazione correlata.
Nella prossima lezione ci occuperemo del quadrato di un polinomio. Buon proseguimento!
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