Raccoglimento a fattore comune

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Monomi e polinomi (superiori)

Dopo aver introdotto la scomposizione in fattori dei polinomi, cominciamo a studiare nel dettaglio ciascun metodo di scomposizione a partire dal raccoglimento a fattore comune. Come abbiamo visto nell’introduzione, la tecnica relativa a questo metodo di scomposizione dei polinomi si giustifica a partire dalla divisione di un polinomio per un monomio e dalle proprietà della divisione tra polinomi.

In particolare, se è possibile individuare un monomio che sia il massimo comune divisore di tutti i termini di un polinomio, è possibile scomporre il polinomio come prodotto di tale massimo comune divisore per un particolare polinomio quoziente, ottenuto dividendo ciascun termine del polinomio da scomporre per il massimo comune divisore di tutti i suoi termini.

Inoltre, a volte non è possibile individuare un massimo comune divisore diverso da {1} per tutti i termini del polinomio da scomporre, ma si può comunque provare a riscrivere il polinomio stesso come somma di due polinomi. E magari per i termini di ciascun polinomio è possibile individuare un massimo comune divisore. In tal caso eseguiremo un raccoglimento parziale in ciascun polinomio, in maniera tale da poter poi eseguire un raccoglimento totale. Il risultato finale sarà la scomposizione in fattori del polinomio di partenza.

Fatte le dovute premesse, vediamo subito nel dettaglio come scomporre i polinomi con i raccoglimenti a fattore comune, sia nel caso di raccoglimento totale, sia nel caso di raccoglimenti parziali seguiti da un raccoglimento totale.

Raccoglimento a fattore comune totale

Supponiamo di dover scomporre in fattori il seguente polinomio:

8ax+12ay-4az

Proviamo a scomporlo in fattori con la tecnica del raccoglimento a fattore comune totale. L’idea è quella di calcolare il massimo comune divisore di tutti i termini del polinomio. E come sappiamo, questo è in generale un monomio avente come parte numerica il massimo comune divisore dei coefficienti dei termini di partenza, e come parte letterale il prodotto fra le lettere comuni a tutti i termini, prese con il più piccolo esponente.

Nel nostro caso, abbiamo:

\text{MCD}(8,12,-4)=4

Inoltre, l’unica lettera in comune a tutti i termini è la {a}, presa con esponente {1} poiché è l’unico esponente con il quale si presenta la lettera stessa nei termini del polinomio da scomporre.

Così, il massimo comune divisore dei termini del polinomio è {4a}.

A questo punto, è possibile scomporre il polinomio di partenza come prodotto tra il massimo comune divisore dei suoi termini, ovvero {4a}, e il quoziente tra il polinomio e lo stesso massimo comune divisore (nel nostro caso, il quoziente della divisione di un polinomio per un monomio {(8ax+12ay-4az):(4a)}). Abbiamo:

\begin{align*} & 8ax+12ay-4az=\\ \\ & = 4a \left[\left(8ax+12ay-4az \right):(4a)\right]=\\ \\ & =4a \left(\dfrac{8ax}{4a}+\dfrac{12ay}{4a}-\dfrac{4az}{4a}\right)=\\ \\ & =4a\left( 2x+3y-z\right) \end{align*}

Così possiamo in conclusione scrivere:

8ax+12ay-4az=4a(2x+3y-z)

Nella pratica scriviamo direttamente questo ultimo passaggio, dividendo mentalmente il massimo comune divisore {4a} per ciascun termine del polinomio da scomporre. E diciamo che abbiamo raccolto il polinomio di partenza con il termine {4a}.

Riepiloghiamo a questo punto la regola per il raccoglimento a fattore comune.

Per raccogliere un termine in un polinomio scriviamo il prodotto tra il termine che utilizziamo per il raccoglimento e il polinomio che si ottiene dividendo ciascun termine del polinomio da scomporre per lo stesso termine utilizzato per il raccoglimento.

E’ ora importante fare un’osservazione.

La regola del raccoglimento a fattore comune si giustifica osservando che questa consiste nella pratica a moltiplicare e dividere il polinomio di partenza per uno stesso termine (il massimo comune divisore di tutti i termini del polinomio). E come è evidente, se moltiplichiamo e dividiamo una data espressione per una stessa quantità, stiamo praticamente moltiplicando per {1}. Di conseguenza, scriviamo un qualcosa di equivalente all’espressione stessa.

Ad esempio, per scomporre il polinomio {2x^3+3x^2+7x} possiamo eseguire un raccoglimento per il massimo comune divisore dei suoi termini, ovvero {x}. E ciò equivale a moltiplicare e dividere il polinomio per {x}: {\dfrac{x}{x}(2x^3+3x^2+7x)=x \cdot \dfrac{1}{x}(2x^3+3x^2+7x)=} Osserviamo infine che il prodotto {\dfrac{1}{x}(2x^3+3x^2+7x)} equivale ad eseguire la divisione tra il polinomio {2x^3+3x^2+7x} e il monomio {x}. Quindi, concludendo i passaggi: {=x\left( \dfrac{2x^3}{x}+\dfrac{3x^2}{x}+\dfrac{7x}{x}\right)=x(2x^2+3x+7)}

Vediamo ora alcuni ulteriori esempi sul metodo di scomposizione dei polinomi del raccoglimento a fattore comune totale.

Esempio 1 (raccoglimento a fattore comune totale)

Scomponiamo in fattori il polinomio:

4ab-2ac+4a^2

Il minimo comune multiplo dei coefficienti del polinomio è {2}. L’unica lettera in comune tra i termini del polinomi è la {a}, e l’esponente più piccolo con il quale compare nei termini è {1}. Così il termine con il quale raccogliere è {2a}. Abbiamo:

4ab-2ac+4a^2=2a(2b-c+2a)

Infatti osserviamo che {(4ab-2ac+4a^2):(2a)=2b-c+2a}. Ricordiamo che conviene eseguire tale divisione mentalmente.

Esempio 2

Scomponiamo in fattori il polinomio:

\dfrac{20}{3}a^3b^3+10a^2b^2+\dfrac{8}{3}ab^2

Come possiamo ricordare dalla regola per il calcolo del massimo comune divisore di monomi, se almeno un termine dei monomi è frazionario prendiamo come parte letterale del MCD il valore {1}. In questo caso, tuttavia, osserviamo che è possibile individuare un MCD tra i numeratori dei due coefficienti frazionari e il coefficiente intero. Di conseguenza possiamo prendere come parte numerica del MCD tra i termini del polinomio la quantità:

\text{MCD}(20, \: 10, \: 8)=2

Per quanto riguarda la parte letterale, dobbiamo prendere le sole lettere comuni a tutti i termini del polinomio con i più piccoli esponenti. Nel nostro caso prendiamo la lettera {a} con esponente {1} e la lettera {b} con esponente {2}.

In conclusione dobbiamo raccogliere il polinomio per il termine {2ab^2}:

\dfrac{20}{3}a^3b^3+10a^2b^2+\dfrac{8}{3}ab^2=2ab^2\left( \dfrac{10}{3}a^2b+5a+\dfrac{4}{3}\right)

Come nel caso precedente, abbiamo diviso mentalmente ciascun termine del polinomio di partenza per il termine con il quale abbiamo effettuato il raccoglimento. In tal modo abbiamo ottenuto il fattore {\dfrac{10}{3}a^2b+5a+\dfrac{4}{3}}.

Esempio 3

Scomporre in fattori la seguente espressione:

2(x-1)-6(x-1)^2

Diversamente dai casi precedenti, non siamo di fronte propriamente ad un polinomio ma bensì ad un’espressione. Comunque l’espressione sviluppando i calcoli si riduce ad un polinomio.

Tuttavia, in questo caso non dobbiamo svolgere i calcoli. Piuttosto, l’idea è quella di vedere l’espressione come la somma di due termini che hanno un fattore comune {(1-x)}. Per renderci conto di questo, possiamo sostituire a {1-x} la lettera {A}. Così abbiamo:

2(x-1)-6(x-1)^2
=2A-6A^2=

Ora è intuitivo che possiamo raccogliere per {2A}:

=2A(1-3A)=

A questo punto sostituiamo alla {A} l’espressione corrispondente {x-1}:

=2(\underbrace{x-1}_{A})[1-3(\underbrace{x-1}_{A})]=2(x-1)(1-3x+3)=2(x-1)(-3x+4)

Nella pratica evitiamo di effettuare la sostituzione e semplicemente riguardiamo direttamente alla quantità {2(x-1)} come ad un fattore comune. Così, tornando al problema iniziale, possiamo scrivere direttamente:

\begin{align*} & 2(x-1)-6(x-1)^2= \\ \\ & =2(x-1) \left\{ 2(x-1):[2(x-1)] -6(x-1)^2:[2(x-1)]\right\} = \\ \\ & =2(x-1)[1-3(x-1)^{2-1}]=2(x-1)[1-3(x-1)]=\\ \\ & =2(x-1)(1-3x+3)=2(x-1)(-3x+4)\end{align*}

Osserviamo che nella divisione {-6(x-1)^2:[2(x-1)]} ci ritroviamo nel caso del rapporto fra potenze di uguale base, ove la base è {x-1}. Di conseguenza come evidenziato nei passaggi abbiamo sottratto tra loro gli esponenti.

Come sempre è consigliabile eseguire le divisioni mentalmente. Per cui una volta acquisita dimestichezza con i raccoglimenti è bene eseguire soltanto i seguenti passaggi:

\begin{align*} & 2(x-1)-6(x-1)^2= \\ \\ & =2(x-1)[1-3(x-1)]=\\ \\ & =2(x-1)(1-3x+3)=2(x-1)(-3x+4)\end{align*}

Raccoglimento a fattore comune parziale

Supponiamo di dover scomporre in fattori il seguente polinomio:

12xz-8tx+15yz-10ty

E’ abbastanza immediato concludere che non è possibile raccogliere il polinomio per un fattore comune a tutti i termini. Infatti, nessuna lettera è in comune a tutti i termini.

Quello che però possiamo fare è dividere il polinomio in due gruppi, riscrivendolo cioè come la somma algebrica di due polinomi:

\begin{align*} & 12xz-8tx+15yz-10ty=(12xz+15yz)+(-8tx-10ty) = \\ \\ & =12xz+15yz-(8tx+10ty) \end{align*}

Osservando attentamente i due polinomi ci rendiamo conto che è possibile eseguire in ciascuno di essi un raccoglimento. Per cui diciamo che è possibile eseguire nel polinomio di partenza due raccoglimenti a fattore comune parziali. Abbiamo, considerando separatamente ciascun polinomio:

12xz+15yz=3z(4x+5y)

8tx+10ty=2t(4x+5y)

Per cui ripartendo dal polinomio iniziale, riepilogando i passaggi abbiamo:

\begin{align*} &  12xz-8tx+15yz-10ty= (12xz+15yz)+(-8tx-10ty)  =\\ \\ & =12xz+15yz-(8tx+10ty)  =3z(4x+5y)-2t(4x+5y)= \end{align*}

Ora attenzione. Con riferimento a quanto visto nell’esempio 3, è immediato renderci conto che abbiamo un fattore comune uguale a {4x+5y}. Di conseguenza è possibile eseguire un raccoglimento totale. Proseguendo i passaggi:

=(4x+5y)(3z-2t)

E questa è la scomposizione del polinomio di partenza. Per cui possiamo in conclusione scrivere:

12xz-8tx+15yz-10ty=(4x+5y)(3z-2t)

Siamo quindi riusciti a scomporre il polinomio utilizzando dei raccoglimenti parziali seguiti da un raccoglimento totale.

Vediamo ora un ulteriore esempio sulla tecnica di scomposizione dei raccoglimenti parziali seguiti da un raccoglimento totale.

Esempio 4

Scomponiamo in fattori il polinomio:

6b^2+5a-10ab-3b

Riscriviamo il polinomio come somma di polinomi:

6b^2+5a-10ab-3b=(5a-10ab)+(6b^2-3b)=

Abbiamo scelto i termini di ciascun polinomio in modo da avere delle lettere in comune. Possiamo così eseguire due raccoglimenti parziali:

=5a(1-2b)+3b(2b-1)

Per completare la scomposizione vorremmo raccogliere per un fattore in comune a tutti i termini, eseguendo un raccoglimento totale. Tuttavia, nel primo termine abbiamo il fattore {1-2b}, mentre nel secondo termine abbiamo un fattore {2b-1}. I due fattori sono tra loro opposti. L’idea allora è quella di mettere in evidenza un segno meno in uno dei due fattori. Ciò equivale a raccogliere uno dei due fattori per {-1}. In tal modo sarà possibile individuare un fattore comune ad entrambi i termini, eseguendo quindi un raccoglimento totale.

Evidenziamo ad esempio un segno meno nel fattore {1-2b}:

1-2b=-1 \cdot(-1+2b)

Così tornando alla scomposizione, abbiamo:

\begin{align*} & 5a(1-2b)+3b(2b-1)= \underbrace{5a \cdot (-1)}_{-5a} (\underbrace{-1+2b}_{2b-1})+3b(2b-1) = \\ \\ & =-5a(2b-1)+3b(2b-1)= \end{align*}

Avendo aggiustato i segni in questo modo è infine possibile eseguire un raccoglimento a fattore comune totale, raccogliendo con {2b-1}:

=(2b-1)(-5a+3b)

Abbiamo così scomposto il polinomio di partenza. Riepilogando tutti i passaggi:

\begin{align*} &6b^2+5a-10ab-3b =(5a-10ab)+(6b^2-3b) = \\ \\ & =5a(1-2b)+3b(2b-1) = \\ \\ & = 5a \cdot (-1) (-1+2b)+3b(2b-1) = \\ \\ & =-5a(2b-1)+3b(2b-1)=(2b-1)(-5a+3b)\end{align*}

Conclusioni

Per quanto riguarda la scomposizione dei polinomi in fattori con il raccoglimento a fattore comune (raccoglimento totale e raccoglimenti parziali seguiti da raccoglimento totale) è tutto. Per chi vuole ulteriormente allenarsi è disponibile la scheda di esercitazioni correlata.

Nella prossima lezione ci occuperemo della scomposizione dei polinomi in fattori con il prodotto notevole somma per differenza. Buon proseguimento!