Radicali doppi (formule ed esempi)

Home

In quest’ultima lezione sui radicali ci occupiamo dei radicali doppi, presentando le regole da utilizzare, le relative formule ed esempi. Un radicale doppio è un particolare radicale il cui argomento è una somma di termini dei quali uno è a sua volta un radicale. In un radicale doppio abbiamo quindi una radice più esterna e una radice più interna.

I radicali doppi non devono essere confusi con le radici di radici. Infatti, nelle radici di radici abbiamo come argomento della radice più esterna un solo termine sotto radice. Nei radicali doppi, invece, come argomento della radice più esterna abbiamo la somma algebrica di più termini dei quali uno è sotto radice.

In presenza dei radicali doppi il nostro obiettivo è riscrivere le corrispondenti espressioni di modo che contengano soltanto una radice. In altre parole, a partire da un radicale doppio vogliamo scrivere un’espressione equivalente che però risulti priva della radice più esterna. Tale operazione si dice trasformazione del radicale doppio.

Per trasformare i radicali doppi una prima idea è riconoscere nell’argomento della radice più esterna il quadrato di un binomio. In tal modo sarà possibile eliminare la radice più esterna, poiché siamo nel caso di indice della radice ed esponente del radicando uguali. Tuttavia, tale procedura non è sempre agevole, ma vengono in nostro aiuto delle opportune formule di trasformazione. Come vedremo, tali formule sono applicabili in modo conveniente sotto un’opportuna ipotesi.

Vediamo allora subito come trasformare i radicali doppi, con regole, formule ed esempi.

Cosa sono i radicali doppi

Introduciamo subito la definizione di radicale doppio.

Un radicale doppio è un’espressione del tipo: {\sqrt{a+\sqrt{b}}} oppure: {\sqrt{a-\sqrt{b}}} Ciascuna espressione può essere trasformata in un’espressione ad essa equivalente ma priva della radice esterna, a patto che le quantità rispettivamente {a+\sqrt{b}} e {a-\sqrt{b}} siano esprimibili come un quadrato di un binomio.

Vediamo subito un paio di esempi su come trasformare i radicali doppi utilizzando la definizione. Nel paragrafo successivo presenteremo invece delle comode formule di trasformazione.

Esempi sui radicali doppi utilizzando la definizione

Esempio 1

Trasformare il seguente radicale doppio:

\sqrt{4+\sqrt{7}}

Siamo in presenza di un radicale doppio con {a=4} e {b=7}. Dobbiamo così riconoscere che la quantità {a+\sqrt{b}} e quindi {4+\sqrt{7}} sia lo sviluppo del quadrato di un certo binomio. Dobbiamo quindi riscrivere la somma {4+\sqrt{7}} come somma dei quadrati dei termini di un certo binomio e del loro doppio prodotto.

Poiché come argomento della radice più esterna abbiamo due termini, per forza di cose un termine dovrà essere la somma dei quadrati, e l’altro termine dovrà essere il doppio prodotto. E’ evidente che {\sqrt{7}} non può essere la somma dei quadrati, data la presenza della radice. Così, avremo che il termine {4} rappresenta la somma dei quadrati e {\sqrt{7}} rappresenta il doppio prodotto.

Il problema è ora dato dal fatto che un doppio prodotto deve essere nella forma {2 \cdot \text{qualcosa}}. Ma ci ritroviamo con il termine {\sqrt{7}}. Per risolvere il problema, moltiplichiamo e dividiamo l’argomento della radice più esterna per {2}. Ciò è lecito poiché in questo modo di fatto moltiplichiamo per {1}.

\small\sqrt{4+\sqrt{7}}=\sqrt{(4+\sqrt{7}) \cdot \dfrac{2}{2} }=\sqrt{\dfrac{1}{2} (4+\sqrt{7}) \cdot 2}=\sqrt{\dfrac{1}{2}(8+2\sqrt{7})}=

A questo punto spezziamo la radice (basta applicare la regola del prodotto fra radicali dello stesso indice, in senso inverso):

=\sqrt{\dfrac{1}{2}} \cdot \sqrt{8+2\sqrt{7}}=(*)

Ora conviene ragionare separatamente sul radicale {\sqrt{8+2\sqrt{7}}}. Osserviamo che con il trucco utilizzato ci ritroviamo con il termine {2 \sqrt{7}} che effettivamente è un doppio prodotto. In particolare, tale termine può essere visto come il doppio prodotto dei termini {\sqrt{7}} e {1}. Vediamo se la somma dei quadrati dei termini individuati è pari ad {8}:

\left( \sqrt{7}\right)^2+1^2=7+1=8

Effettivamente ci siamo. Ma allora possiamo scrivere:

8+2\sqrt{7}=(\sqrt{7}+1)^2

e quindi riprendendo la trasformazione del radicale doppio:

(*)=\sqrt{\dfrac{1}{2}} \cdot \sqrt{(\sqrt{7}+1)^2}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}\cdot(\sqrt{7}+1)=\sqrt{\dfrac{7}{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}}

Osserviamo che si ha {\sqrt{\left(\sqrt{7}+1\right)^2}=\sqrt{7}+1} senza alcun simbolo di modulo poiché la quantità è certamente positiva.

Ci siamo in questo modo liberati della radice più esterna e già avremmo completato la trasformazione. Tuttavia è comunque consigliabile completare l’esercizio razionalizzando i denominatori del risultato ottenuto. Abbiamo:

\begin{align*} &\sqrt{\dfrac{7}{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\\ \\ & = \dfrac{\sqrt{7}\cdot \sqrt{2}+\sqrt{2}}{2}= \dfrac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}\end{align*}

Così in conclusione possiamo scrivere:

\sqrt{4+\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}

Siamo quindi passati da un radicale doppio ad un’espressione data dalla somma di termini ciascuno contenente un unico simbolo di radice.


E’ importante osservare che le radici presenti nei radicali doppi hanno indice {2}, quindi pari. In particolare, si tratta di radici quadrate. E come sappiamo, il risultato di una radice quadrata deve essere necessariamente positivo o al più nullo. Il seguente esempio mostra le conseguenze di tali ragionamenti.

Esempio 2

Trasformare il seguente radicale doppio:

\sqrt{6-4\sqrt{2}}

Osserviamo che {4\sqrt{2} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2}}. Così abbiamo il doppio prodotto dei termini {2} e {\sqrt{2}}. Vediamo intanto quanto è la somma dei quadrati dei termini (trattandosi di quadrati il segno di ciascun termine non conta):

2^2+ (\sqrt{2})^2 = 4+2=6

Ritroviamo l’altro termine sotto la radice più esterna. Ora, il doppio prodotto è negativo (infatti nel radicale di partenza abbiamo la quantità {-4\sqrt{2}}). Di conseguenza, dovremo attribuire il segno meno ad uno dei due termini del binomio. Considerando il termine {\sqrt{2}} con segno meno, possiamo allora scrivere:

\sqrt{6-4\sqrt{2}}=\sqrt{(2-\sqrt{2})^2}=2-\sqrt{2}

Ora, nell’eliminare la radice più esterna abbiamo eseguito un’operazione di estrazione di radice quadrata. Per cui dobbiamo assicurarci che la quantità {2-\sqrt{2}}, risultato dell’operazione, sia positiva o al più nulla. Ma poiché ovviamente {\sqrt{2}<2} tale condizione è rispettata.

Osserviamo che in generale tale verifica è importante. Infatti, in questo caso attribuendo il segno meno all’altro termine del binomio avremmo anche potuto scrivere:

\sqrt{6-4\sqrt{2}}=\sqrt{(-2+\sqrt{2})^2}=-2+\sqrt{2} \quad \textbf{NO}

infatti il quadrato di un binomio è uguale al quadrato dell’opposto di quello stesso binomio. Ma la quantità {-2+\sqrt{2}} è negativa, e non può essere il risultato di una radice quadrata. Quindi, attenzione.

Formule di trasformazione per i radicali doppi

E’ possibile trasformare convenientemente espressioni con radicali doppi del tipo:

\sqrt{a+\sqrt{b}}, \qquad \sqrt{a-\sqrt{b}}

nel caso in cui sia {a, b > 0} e inoltre la quantità {a^2-b} sia un quadrato perfetto (ovvero, sia esprimibile come il quadrato di un numero intero noto).

Sotto tali ipotesi sono utili le seguenti formule di trasformazione:

\begin{align*} &\sqrt{a+ \sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} + \sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}, \\ \\ & \sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} - \sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\end{align*}

Osservazione. Le formule sono in generale valide ogni volta che la quantità {a^2-b} è un numero positivo (con {a, \: b > 0}). Tuttavia, esse sono di conveniente utilizzo soltanto nel caso in cui {a^2-b} sia un quadrato perfetto. Diversamente, infatti, le formule di trasformazione portano ad avere come risultato un’espressione più complicata di quella di partenza.


Rivediamo ora i precedenti esempi utilizzando le formule di trasformazione dei radicali doppi appena introdotte.

Esempi

Esempio 1-II:

Trasformare il seguente radicale doppio:

\sqrt{4+\sqrt{7}}

Abbiamo {a=4} e {b=7}. Vediamo anzitutto se la quantità {a^2-b} è un quadrato perfetto:

a^2-b=4^2-7=16-7=9=3^2

Ci siamo poiché effettivamente {9} è il quadrato di {3}, che è un numero intero. Quindi {9} essendo il quadrato di un numero intero è un quadrato perfetto.

Di conseguenza possiamo utilizzare l’opportuna formula di trasformazione, da scegliere in base al segno che separa i termini all’interno della radice più esterna. Abbiamo:

\begin{align*} &\sqrt{a+ \sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} + \sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\\ \\ & \Rightarrow \\ \\ & \sqrt{4+ \sqrt{7}}=\sqrt{\dfrac{4+\sqrt{4^2-7}}{2}} + \sqrt{\dfrac{4-\sqrt{4^2-7}}{2}} = \\ \\ &= \sqrt{ \dfrac{4+\sqrt{16-7}}2{}}+\sqrt{\dfrac{4-\sqrt{16-7}}{2}} = \\ \\ & = \sqrt{\dfrac{4+\sqrt{9}}{2}}+\sqrt{\dfrac{4-\sqrt{9}}{2}}=\\ \\ & =\sqrt{\dfrac{4+3}{2}}+\sqrt{\dfrac{4-3}{2}}  = \sqrt{\dfrac{7}{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}}  \end{align*}

Ritroviamo lo stesso risultato del metodo precedente (rimane solo da razionalizzare i denominatori, esattamente come fatto in precedenza). Come è evidente, utilizzando le formule di trasformazione procediamo in modo spedito, senza dover utilizzare particolari trucchi. Lo svantaggio, ovviamente, è dato dal fatto di dover ricordare le formule.

Esempio 2

Trasformare il seguente radicale:

\sqrt{6-4\sqrt{2}}

Poiché nelle formule di trasformazione l’argomento della radice più esterna deve essere della forma {a \pm \sqrt{b}}, dobbiamo prima di tutto portare dentro il fattore nel termine {4\sqrt{2}}:

4\sqrt{2}=\sqrt{4^2 \cdot 2} = \sqrt{(2^2)^2 \cdot 2}=\sqrt{2^5}=\sqrt{32}

Così riscriviamo il radicale di partenza come:

\sqrt{6-\sqrt{32}}

Ora possiamo ragionare con le formule di trasformazione.

Verifichiamo prima di tutto che la quantità {a^2-b} sia un quadrato perfetto. Abbiamo:

a^2-b=6^2-32=36-32=4=2^2

Le formule di trasformazione sono dunque utilizzabili convenientemente. Ora resta da scegliere quale delle due formule usare.

Dato che nel radicale doppio da trasformare i termini sotto la radice più esterna sono separati dal segno meno, dobbiamo utilizzare la seconda formula di trasformazione:

\begin{align*} &\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} - \sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} \\ \\ & \Rightarrow \\ \\ & \sqrt{6-\sqrt{32}}= \sqrt{\dfrac{6+\sqrt{6^2-32}}{2}}-\sqrt{\dfrac{6-\sqrt{6^2-32}}{2}} = \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{6+\sqrt{36-32}}{2}}-\sqrt{\dfrac{6-\sqrt{36-32}}{2}}= \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{6+\sqrt{4}}{2}}-\sqrt{\dfrac{6-\sqrt{4}}{2}}=\sqrt{\dfrac{6+2}{2}}-\sqrt{\dfrac{6-2}{2}}= \\ \\ & = \sqrt{\dfrac{8}{2}}-\sqrt{\dfrac{4}{2}}=\sqrt{4}-\sqrt{2}=2-\sqrt{2}\end{align*}

Ritroviamo anche in questo caso il precedente risultato. Osserviamo che otteniamo correttamente un risultato positivo, senza dover effettuare alcun controllo. Ovviamente dovremo sempre verificare preventivamente la possibilità di applicare le formule di trasformazione dei radicali doppi.

Radicali doppi con termini letterali

Nel caso di radicali doppi con termini letterali dobbiamo ragionare sui segni delle quantità, ricordando sempre che la radice quadrata di una quantità non può mai avere come risultato un numero negativo.

Vediamo subito un esempio. Trasformiamo il seguente radicale doppio:

\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}

Tralasciamo per semplicità la discussione delle condizioni di esistenza del radicale doppio.

Proviamo a trasformare il radicale doppio utilizzando le formule di trasformazione. In questo caso abbiamo {a=x} e {b=2x-1}. Verifichiamo che la quantità {a^2-b} sia un quadrato perfetto. In questo caso, poiché abbiamo delle quantità letterali, dobbiamo verificare che {a^2-b} sia il quadrato di un binomio:

a^2-b=x^2-(2x-1)=x^2-2x+1=(x-1)^2

La quantità è esprimibile come il quadrato del binomio {x-1}, per cui le formule di trasformazione sono convenientemente applicabili. Poiché nel radicale doppio i termini sotto la radice più esterna sono separati dal segno meno, dobbiamo utilizzare la seconda formula di trasformazione. Abbiamo:

\begin{align*} &\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}= \sqrt{\dfrac{x+\sqrt{x^2-(2x-1)} }{2}}-\sqrt{\dfrac{x-\sqrt{x^2-(2x-1)}}{2}}= \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{x+\sqrt{(x-1)^2}}{2}}-\sqrt{\dfrac{x-\sqrt{(x-1)^2}}{2}}= \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{x+|x-1|}{2}}-\sqrt{\dfrac{x-|x-1|}{2}}=(*) \end{align*}

A questo punto dobbiamo procedere diversamente a seconda che la quantità {x-1} sia positiva o negativa. In particolare, per la definizione di valore assoluto abbiamo:

x-1 \geq 0  \iff |x-1| = x-1; \quad x-1 <0 \iff |x-1|=-x+1

Quindi abbiamo {|x-1|=x-1} se {x \geq 1} e invece {|x-1|=-x+1} nel caso in cui sia {x < 1}. Così se {x \geq 1} proseguiamo i passaggi come:

(*) = \sqrt{\dfrac{x+x-1}{2}}-\sqrt{\dfrac{x-x+1}{2}}=\sqrt{\dfrac{2x-1}{2}}-\sqrt{\dfrac{1}{2}}

Invece se {x < 1} abbiamo:

(*)=\sqrt{\dfrac{x-x+1}{2}}-\sqrt{\dfrac{x+x-1}{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{\dfrac{2x-1}{2}}

Poiché in un caso abbiamo ottenuto un’espressione finale che è l’opposto dell’espressione ottenuta nell’altro caso, possiamo sintetizzare entrambi i risultati scrivendo:

\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=\left|\sqrt{\dfrac{2x-1}{2}}-\sqrt{\dfrac{1}{2}} \right|

Lasciamo a voi il compito di semplificare il risultato eseguendo la razionalizzazione dei denominatori.

Conclusioni e importanza dell’uso delle formule di trasformazione

Per quanto riguarda i radicali doppi è tutto. Abbiamo visto in conclusione come sia possibile trasformarli in espressioni equivalenti eliminando la radice più esterna, sia ragionando con la definizione di radicale doppio, sia utilizzando le formule di trasformazione.

L’utilizzo delle formule di trasformazione consente di operare in modo immediato, tuttavia dobbiamo ricordare tali formule. Sfruttando invece la definizione dobbiamo soltanto riesprimere l’argomento della radice più esterna sotto forma di quadrato di un binomio. In tal modo evitiamo di doverci ricordare a memoria le formule di trasformazione ma c’è un grosso inconveniente: tale procedura non è sempre immediata. Consideriamo ad esempio il seguente radicale doppio:

\sqrt{20-5 \sqrt{7}}

Volendo ragionare con la definizione di radicale doppio le cose si complicano un po’. Proviamo a portare dentro la radice più interna il fattore {5}:

\sqrt{20-5 \sqrt{7}}=\sqrt{20-\sqrt{5^2 \cdot 7}}=\sqrt{20-\sqrt{175}}

Ora moltiplichiamo il radicando della radice più esterna per la quantità {\dfrac{2}{2}}, in modo da ritrovare un doppio prodotto:

\begin{align*} & \sqrt{20-\sqrt{175}}=\sqrt{(20-\sqrt{175}) \cdot \dfrac{2}{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{2} \cdot2(20-\sqrt{175})} = \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{1}{2}} \cdot \sqrt{2(20-\sqrt{175})} =\sqrt{\dfrac{1}{2}} \cdot \sqrt{40 - 2\sqrt{175}}=(*)\end{align*}

A questo punto dobbiamo vedere la quantità {\sqrt{175}} come il prodotto di due radicali. Ad esempio:

\sqrt{175}=\sqrt{35 \cdot 5}=\sqrt{35} \cdot \sqrt{5}

Così possiamo vedere il doppio prodotto {-2\sqrt{175}} come il doppio prodotto dei termini {\sqrt{35}} e {\sqrt{5}}, dei quali uno dei due è negativo.

Vediamo intanto quanto fa la somma dei quadrati dei due termini individuati (il loro segno in questo caso non conta):

(\sqrt{35})^2+(\sqrt{5})^2=35+5=40

Effettivamente ritroviamo l’altro termine all’interno del radicale doppio di partenza.

Così, considerando ad esempio il termine negativo {-\sqrt{5}}, riprendendo la trasformazione del radicale doppio possiamo scrivere:

(*)=\sqrt{\dfrac{1}{2}} \cdot \sqrt{(\sqrt{35}-\sqrt{5})^2}=\sqrt{\dfrac{1}{2}} \cdot (\sqrt{35}-\sqrt{5})=\dfrac{\sqrt{35}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}}

Abbiamo così trasformato il radicale doppio di partenza. La procedura però non è certo stata immediata. E’ dunque preferibile sicuramente in casi come questi ricorrere alle formule di trasformazione.

In questo caso, se comunque non ricordiamo le formule di trasformazione, possiamo cavarcela in modo comunque più brillante. Riprendiamo il radicale doppio di partenza:

\sqrt{20-5 \sqrt{7}}

Piuttosto che portare dentro radice il fattore {5}, è più conveniente trasformare il termine {5\sqrt{7}} in un doppio prodotto. Per fare questo, dovremo dividere tale termine per {5}, e quindi moltiplicarlo per {2}. Ma ovviamente, non dobbiamo alterare l’espressione di partenza. Di conseguenza, dovremo anche moltiplicare per {5} e dividere per {2}, di modo che nel complesso avremo moltiplicato per una quantità uguale a {1}. E’ più facile da fare che da dire:

\begin{align*} & \sqrt{20-5 \sqrt{7}}=\sqrt{(20-5\sqrt{7}) \cdot \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{5}{2}} = \\ \\ & = \sqrt{\dfrac{5}{2}} \cdot \sqrt{(20-5\sqrt{7}) \cdot \dfrac{2}{5}} = \sqrt{\dfrac{5}{2}} \cdot \sqrt{20 \cdot \dfrac{2}{5}-5 \sqrt{7} \cdot \dfrac{2}{5}} = \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{5}{2}}\cdot \sqrt{8-2\sqrt{7}} =\sqrt{\dfrac{5}{2}}\cdot  \sqrt{(\sqrt{7}-1)^2} = \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{5}{2}} \cdot (\sqrt{7}-1)=\dfrac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{35}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\end{align*}

In questo modo abbiamo trasformato il radicale doppio in modo più agevole rispetto al metodo precedente. Tuttavia, il modo più semplice per effettuare la trasformazione è in questo caso indubbiamente dato dall’utilizzo dell’opportuna formula di trasformazione. Questa può essere utilizzata poiché come è immediato verificare la quantità {a^2-b} è un quadrato perfetto. Abbiamo:

\begin{align*} &\sqrt{20-5 \sqrt{7}} = \sqrt{20-\sqrt{175}}= \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{20+\sqrt{20^2-175}}{2}}-\sqrt{\dfrac{20-\sqrt{20^2-175}}{2}}= \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{20+\sqrt{400-175}}{2}}-\sqrt{\dfrac{20-\sqrt{400-175}}{2}} = \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{20+\sqrt{225}}{2}}-\sqrt{\dfrac{20-\sqrt{225}}{2}} = \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{20+15}{2}}-\sqrt{\dfrac{20-15}{2}}=\dfrac{\sqrt{35}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\end{align*}

Come possiamo vedere grazie alle formule di trasformazione dei radicali doppi abbiamo trasformato il radicale doppio di partenza in un baleno. Non è dunque sprecato il piccolo sforzo necessario per impararle a memoria. 😉 Tuttavia, ci siamo comunque soffermati con attenzione sui metodi risolutivi alternativi alle formule, e non solo per fornirvi un’alternativa nel caso in cui non ricordiate le formule stesse. Come infatti avrete modo di verificare nel prosieguo dei vostri studi, trucchi algebrici del tipo di quelli visti finora saranno utilissimi per il calcolo dei limiti e degli integrali.

In tutti i casi precisiamo infine che sarà opportuno razionalizzare il denominatore del risultato ottenuto.

Per chi vuole allenarsi ulteriormente è disponibile la scheda di esercizi correlata (vedi link in basso). Un saluto a tutti voi e buono studio!


«    Lezione precedente Esercizi correlatiLezione successiva   »
Ulteriori esercizi

Radicali