Rappresentazione degli insiemi per elencazione

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La rappresentazione degli insiemi per elencazione (o rappresentazione degli insiemi estensiva) è la modalità più intuitiva per rappresentare simbolicamente un insieme indicandone gli elementi che appartengono ad esso, uno ad uno.

Dopo aver visto la definizione di insieme, in questa lezione vediamo come rappresentare un insieme utilizzando la rappresentazione per elencazione (o anche, rappresentazione degli insiemi estensiva, esplicita o tabulare).

La nozione di rappresentazione estensiva degli insiemi, con tutti i vari sinonimi, fa in realtà riferimento ad un concetto molto semplice. In pratica, si tratta di elencare uno ad uno gli elementi che appartengono all’insieme. Ma nel farlo, utilizzeremo delle semplici convenzioni che consentiranno di identificare facilmente l’insieme, ed elencheremo gli elementi in modo che siano opportunamente separati l’uno dall’altro.

Come rappresentare un insieme utilizzando la rappresentazione estensiva (o per elencazione)

La rappresentazione estensiva o per elencazione degli insiemi consiste nell’indicare esplicitamente tutti gli elementi che appartengono al dato insieme sotto forma di un elenco.

La particolare convenzione da seguire è quella di scrivere tutti gli elementi dell’insieme all’interno di una coppia di parantesi graffe, separando un elemento dall’altro utilizzando una virgola (o un punto e virgola).

Così ad esempio l’insieme {B} dei numeri interi compresi fra {5} e {9} inclusi gli estremi si indica con:

B=\{5, \: 6, \: 7, \: 8, \: 9 \}

E’ importante ricordare come del resto sappiamo dalla definizione di insieme che gli elementi dell’insieme stesso devono essere distinti. In altre parole, non è possibile ripetere uno stesso elemento all’interno delle parentesi graffe.

Così se vogliamo scrivere ad esempio l’insieme delle lettere che compongono la parola “matematica” avremo, indicando tale insieme con la lettera {A}:

A=\{m, \: a, \: t, \: e , \: i, \: c \}

Osserviamo che abbiamo scritto all’interno delle parentesi graffe soltanto lettere tutte differenti l’una dall’altra. Stiamo quindi attenti a non fare ripetizioni nell’elencare gli elementi di una dato insieme.

Ora, se vogliamo scrivere l’insieme dei numeri naturali minori di {10} che sono divisibili per {3} avremo:

B=\{3, \: 6, \: 9 \}

Osserviamo che i numeri naturali minori di {10} e divisibili per {3} sono tutti numeri distinti. Di conseguenza, in questo caso non c’è la possibilità di incorrere in ripetizioni.

Esempi

Vediamo ora alcuni semplici esempi sull’utilizzo della modalità di rappresentazione degli insiemi per elencazione o estensiva.

  • L’insieme dei mesi dell’anno che iniziano con la lettera m si può indicare con la rappresentazione estensiva o per elencazione come segue:
M=\{\text{marzo, \: maggio} \}
  • O ancora, l’insieme dei colori dell’arcobaleno si può rappresentare come segue:
R=\{\text{rosso, arancio, giallo, verde, blu, indaco, violetto} \}
  • Infine, l’insieme dei numeri naturali divisibili per {7} compresi fra 7 e {36} si può scrivere tramite la rappresentazione estensiva (elencazione) come:
A=\{7, \: 14, \: 21, \: 28, \: 35 \}

Limiti della rappresentazione degli insiemi per elencazione o estensiva

Per quanto semplice ed intuitiva, la rappresentazione degli insiemi per elencazione (o estensiva) mostra i suoi limiti in due situazioni:

  • quando ci ritroviamo a dover rappresentare insiemi che contengono molti elementi;
  • quando intendiamo rappresentare insiemi infiniti.

Nel primo caso, la rappresentazione degli insiemi mediante elencazione è senz’altro possibile ma piuttosto scomoda. Pensiamo ad esempio a dover scrivere uno ad uno gli elementi di un insieme che contiene mille elementi.

D’altro canto, rappresentare un insieme infinito per elencazione è impossibile. Pensiamo ad esempio all’impossibilità di elencare tutti gli elementi dell’insieme dei numeri naturali. Comunque arrivassimo a scrivere un numero anche grandissimo, ne esisterebbe sempre e comunque uno più grande.

Per ovviare a questa mancanza, esiste un altro modo per rappresentare gli insiemi, noto come rappresentazione per proprietà caratteristica o rappresentazione intensiva. Un altro sinonimo utilizzato per indicare una tale modalità di rappresentazione degli insiemi è anche rappresentazione implicita.

Non perdetevi allora la prossima lezione sugli insiemi, nella quale tratteremo proprio la rappresentazione per proprietà caratteristica (o intensiva, o implicita).

Un saluto a tutti voi e buon proseguimento con SìMatematica!


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