La rappresentazione per proprietà caratteristica di un insieme consiste nell’indicare gli elementi di un insieme in base ad una o più proprietà, tali da identificare univocamente l’insieme.
Così, la rappresentazione per proprietà caratteristica di un insieme (detta anche più brevemente rappresentazione per caratteristica, rappresentazione intensiva o rappresentazione implicita) è un modo più sintetico di rappresentare un insieme rispetto alla rappresentazione estensiva o per elencazione.
Come abbiamo evidenziato nella precedente lezione, la rappresentazione estensiva non è consigliabile per rappresentare insiemi che contengono molti elementi, ed è addirittura inutilizzabile per rappresentare insiemi infiniti. Di qui l’esigenza di un’altra modalità di rappresentazione degli insiemi, che è proprio la rappresentazione per proprietà caratteristica.
L’idea è quella di rappresentare un insieme indicandone simbolicamente una o più proprietà che lo caratterizzano. E’ fondamentale che l’insieme sia rappresentato in maniera univoca. In altre parole, dovremo indicare le caratteristiche dell’insieme di modo che non ci sai il pericolo di identificare più di un insieme.
Tuttavia, non è il caso di preoccuparsi. Le indicazioni che forniremo a seguire vi permetteranno di effettuare correttamente la rappresentazione degli insiemi per proprietà caratteristica.
Come rappresentare gli insiemi per proprietà caratteristica (rappresentazione per caratteristica)
Per l’utilizzo della rappresentazione per proprietà caratteristica degli insiemi, prima di tutto dobbiamo tenere conto che l’insieme deve essere identificato mediante una lettera maiuscola. Ciò è esattamente lo stesso criterio utilizzato per la rappresentazione estensiva o per elencazione. Inoltre, la proprietà caratteristica dovrà essere scritta all’interno delle parentesi graffe. Così, intanto ritroviamo la forma:
A=\{\dots \} che è comune alla rappresentazione degli insiemi per elencazione.
Tuttavia, quello che cambia ora è il contenuto all’interno delle parentesi graffe. Nella rappresentazione per proprietà caratteristica dobbiamo scrivere all’interno delle graffe una o più proprietà che identificano univocamente l’insieme, e non più l’elenco di tutti i suoi elementi.
Così, se vogliamo rappresentare l’insieme dei numeri naturali più piccoli di {7}, scriveremo:
A=\{\text{un numero naturale minore di 7} \}Osserviamo che è possibile scrivere la proprietà anche utilizzando dei simboli piuttosto che a parole:
A=\{x \in \N \: | \: x < 7 \}Ora, la lettera {x} viene utilizzata per indicare un generico elemento dell’insieme {\N}, ovvero un generico numero naturale. Inoltre, il simbolo “{|}” significa “tale che”. Così, la precedente scrittura letteralmente si interpreta come:
“A è l’insieme degli elementi x che appartengono all’insieme dei numeri naturali tali che x è minore di 7”
Più brevemente, intendiamo tutti i numeri naturali minori di {7}.
Importante. Nello scrivere la proprietà caratteristica è fondamentale indicare sempre l’insieme dal quale proviene il generico elemento {x}. Ad esempio, per indicare tutti i numeri naturali minori di {7} sarebbe sbagliato scrivere:
{A=\{ x | x < 7\}}
Infatti non è precisato da quale insieme proviene il generico elemento {x}. Di conseguenza, potremmo riferirci ad un qualsiasi insieme numerico. E se ad esempio {x} viene inteso come un numero razionale, anche tutte le frazioni minori di {7} entrerebbero a far parte dell’insieme.
Stiamo dunque attenti a non dimenticare nessuna proprietà dell’insieme che intendiamo rappresentare mediante la rappresentazione per proprietà caratteristica.
Rappresentazione di insiemi infiniti mediante la proprietà caratteristica
La rappresentazione per proprietà caratteristica degli insiemi viene in nostro aiuto proprio per colmare il limite della rappresentazione per elencazione, ovvero l’impossibilità di rappresentare mediante quest’ultima degli insiemi infiniti.
Ad esempio, è impossibile rappresentare l’insieme dei numeri naturali maggiori di {10} per elencazione (l’insieme è infinito). Invece, possiamo rappresentare agevolmente tale insieme utilizzando la rappresentazione per proprietà caratteristica:
A=\{x \in \N \: | \: x > 10 \}che si legge: “A è l’insieme degli elementi x naturali tali che x è maggiore di 10”.
Ancora una volta, ricordiamo sempre di precisare l’insieme numerico al quale appartiene il generico elemento {x}, a meno che questo non sia chiaro dal contesto.
Esempi
Utilizzare la rappresentazione per proprietà caratteristica per rappresentare i seguenti insiemi:
- l’insieme delle province italiane;
- l’insieme delle auto di fabbricazione tedesca;
- infine, l’insieme dei numeri naturali pari.
Per il primo caso abbiamo, scegliendo ad esempio la lettera {A} per rappresentare l’insieme:
A=\{x \: | \: x \: \text{è una provincia italiana} \}Riesce inteso in questo caso che il generico elemento {x} sia una città italiana, e che l’insieme contiene solo le città tali da essere province. Quindi pur senza alcuna ulteriore indicazione l’insieme {A} è identificato in modo univoco.
Per il secondo caso, possiamo indicare l’insieme delle auto di fabbricazione tedesca ad esempio come:
B=\{x \: | \: x \: \text{è un'auto prodotta in Germania} \}Allo stesso modo, anche qui non è necessario indicare l’insieme di appartenenza del generico elemento {x}. L’insieme è comunque univocamente identificato anche in questo caso.
Veniamo infine al terzo caso, ovvero l’insieme dei numeri naturali pari. Indicando l’insieme ad esempio con la lettera {P}, abbiamo:
P=\{x \in \N \: | \: x =2 \cdot k, \: k \in \N \}In altre parole, l’insieme dei numeri naturali pari viene descritto come un insieme tale da contenere un qualunque numero naturale che può essere espresso come il doppio di un qualsiasi altro numero naturale {k}.
Osserviamo che in questo caso è necessario specificare l’insieme numerico di appartenenza sia del generico elemento {x}, sia del generico elemento {k} doppio dell’elemento {x}. In entrambi i casi, si tratta dell’insieme {\N} dei numeri naturali.
Comunque, se non si ha ancora familiarità con notazioni di questo tipo, è pur sempre possibile ricorrere alla seguente rappresentazione, comunque valida:
P=\{ x \in \N \: | \: x \text{ è pari} \}Allo stesso modo, per l’insieme {D} dei numeri naturali dispari possiamo scrivere:
D=\{x \in \N \: | \: x =2k+1, \: k \in \N\}ovvero, un numero naturale dispari si ottiene a partire dal doppio aumentato di {1} di un qualsiasi numero naturale.
Ancora, se non si ha familiarità con notazioni di questo tipo è possibile utilizzare la più semplice rappresentazione per proprietà caratteristica:
D= \left\{ x \in \N \: | \: x \text{ è dispari}\right\}Osservazione. L’insieme di appartenenza del generico elemento {x} si chiama insieme universo. Così nell’insieme {D} appena scritto l’insieme universo è dato dall’insieme {\N} dei numeri naturali.
Per una dato insieme {A}, un possibile insieme universo è un insieme tale che tutti gli elementi dell’insieme {A} appartengano all’insieme universo scelto. E tipicamente, l’insieme universo contiene anche elementi che non appartengono all’insieme {A}. Questo è ad esempio il caso dell’insieme {P} dei numeri primi e dell’insieme {\N} dei numeri naturali. Dato che tutti i numeri primi sono anche numeri naturali, l’insieme {\N} è sicuramente un possibile insieme universo per l’insieme {P}.
Riprenderemo più avanti la nozione di insieme universo, dopo aver introdotto le operazioni tra insiemi.
Conclusioni
Per quanto riguarda la rappresentazione degli insiemi per proprietà caratteristica (o rappresentazione intensiva degli insiemi) è tutto. Consigliamo di prestare particolarmente attenzione alla rappresentazione per proprietà caratteristica degli insiemi, poiché questa ricorrerà spesso nel prosieguo dei vostri studi. 😉
Nella prossima lezione introdurremo il concetto di insieme vuoto. Buon proseguimento!
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