Retta passante per l’origine

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Una retta passante per l’origine ha equazione in forma esplicita data da y=mx ed equazione in forma implicita data da ax+by=0. I coefficienti m, a e b sono tutti reali ed in particolare m rappresenta il coefficiente angolare della retta.

Una retta passante per l’origine, come suggerisce la definizione, è tale da intersecare entrambi gli assi x e y in uno stesso punto, che è dato dall’origine degli assi O. Così l’equazione di una retta passante per l’origine sarà soddisfatta sicuramente da valori entrambi nulli dell’ascissa e dell’ordinata.

Una retta del piano passante per l’origine rappresenta il caso più elementare di retta nel piano cartesiano. Nella precedente lezione abbiamo già fornito una panoramica sulle equazioni che rappresentano rette, ed in particolare ci siamo occupati anche del caso più generale di rette passanti anche per punti diversi dall’origine. Approfondiremo quest’ultimo caso nella lezione successiva.

Ma vediamo subito la definizione di retta passante per l’origine e la relativa definizione di coefficiente angolare, per poi occuparci di particolari casi ancora relativi alle rette passanti per l’origine.

Equazione in forma esplicita di una retta del piano passante per l’origine

La funzione:

y=mx, \qquad m \in \R

è una funzione lineare caratterizzata da un termine noto nullo. Infatti, ricordiamo che la forma più generale di funzione lineare è:

y=mx+q, \qquad m, q \in \R

Per quanto abbiamo visto nella precedente lezione sull’equazione di una retta generica del piano cartesiano, il grafico di una funzione lineare è dato da una retta.

Così, il grafico della funzione lineare {y=mx} è dato da una retta, che ha la particolarità di passare per l’origine degli assi. In altre parole, l’equazione è soddisfatta attribuendo un valore nullo ad entrambe l’ascissa e l’ordinata (che rappresentano rispettivamente, lo ricordiamo, le coordinate lungo l’asse {x} e lungo l’asse {y} di un punto appartenente alla retta).

Infatti, ponendo {y_0 = 0} e {x_0 = 0}, otteniamo un’identità.

y_0 = m x_0 \quad \Rightarrow \quad 0 = 0

Dunque, le coordinate del punto {O=(0,0)} soddisfano l’equazione {y=mx}. Ma allora l’origine degli assi appartiene alla retta di equazione {y=mx}, e dunque si tratta dell’equazione di una retta passante per l’origine.

Come è immediato vedere dalla figura, effettivamente la retta attraversa il punto {O} origine degli assi cartesiani.

E’ utile inoltre osservare che l’equazione:

y=mx 

può in generale essere riletta come una legge di proporzionalità diretta tra le variabili {y} e {x}, e che {m} rappresenta il coefficiente di proporzionalità diretta. Nel caso specifico dell’equazione della retta, al coefficiente {m} viene attribuito il nome di coefficiente angolare.

L’equazione {y=mx} rappresenta una particolare funzione lineare che ha come grafico una retta passante per l’origine degli assi cartesiani. Più, brevemente, diciamo che l’equazione {y=mx}, con {m \in \R} , è relativa ad una qualunque retta passante per l’origine (ad eccezione della retta che coincide con l’asse {y}). Il coefficiente reale {m} si dice coefficiente angolare.

Il fatto che l’equazione {y=mx} non può rappresentare l’asse delle {y} sarà chiaro alla fine della lezione.

Coefficiente angolare di una retta passante per l’origine

Nel caso particolare di una retta passante per l’origine degli assi, ovvero di una retta del piano cartesiano di equazione:

y=mx

il coefficiente angolare {m} è esprimibile come:

m= \dfrac{y}{x}, \qquad x \neq 0\quad \text{(solo per una retta passante per l'origine)}

Osserviamo che la condizione {x \neq 0} è necessaria affinché la frazione algebrica {\dfrac{y}{x}} abbia significato. Di conseguenza, il rapporto {\dfrac{y}{x}} è definito solo per punti della retta diversi dall’origine.

Il coefficiente angolare di una retta passante per l’origine è dato dal rapporto tra l’ordinata e l’ascissa di un qualunque punto {P(x,y)} appartenente alla retta stessa e diverso dall’origine degli assi. In particolare, per ogni punto {P(x,y)} della retta diverso dall’origine abbiamo:{m=\dfrac{y}{x}, \qquad x \neq 0}

Importante. La definizione appena data di coefficiente angolare è valida soltanto per rette passanti per l’origine. Ci occuperemo della definizione più generale nella lezione successiva.

Introduciamo ora un’importante definizione, la quale consentirà di caratterizzare ulteriormente la nozione di coefficiente angolare.

L’inclinazione rispetto all’asse {x} di una retta è rappresentata dall’angolo {\alpha} avente come primo lato la direzione positiva dell’asse {x} e come secondo lato la retta stessa.

retta passante per l'origine

Osserviamo che l’angolo che consideriamo è quello descritto a partire dalla direzione positiva dell’asse {x} fino alla retta {y=mx} procedendo in senso antiorario, cioè nel senso contrario a quello col quale si muovono le lancette di un orologio. Tale angolo per convenzione è positivo (o più propriamente, l’ampiezza di un tale angolo è positiva).

Si può dimostrare che tra il coefficiente angolare e l’angolo {\alpha} vale la seguente relazione:

\alpha = \arctan (m)

ovvero l’ampiezza dell’angolo {\alpha} è uguale all’arcotangente del coefficiente angolare {m}. Per chi ancora non conosce il significato della funzione arcotangente non c’è di che preoccuparsi. L’importante è comprendere che esiste un legame tra l’angolo {\alpha} che la retta data forma con la direzione positiva dell’asse delle {x} e il coefficiente angolare {m}.

Ora, è importante avere presente cosa sono i quadranti. Ricordiamo che dei punti nel piano cartesiano appartengono al primo quadrante oppure al terzo quadrante se e solo se le loro coordinate hanno segni concordi. In altre parole, tutti i punti tali da avere ascissa ed ordinata entrambe positive o entrambe negative appartengono al primo o al terzo quadrante.

Diversamente, dei punti del piano cartesiano appartengono al secondo oppure al quarto quadrante se le loro coordinate sono discordi. In altre parole, tutti i punti del piano cartesiano tali da avere ascissa positiva ed ordinata negativa, oppure ascissa negativa ed ordinata positiva appartengono al secondo quadrante oppure al quarto.

Ora, poiché il coefficiente angolare {m} è il rapporto dell’ordinata e dell’ascissa di un qualunque punto appartenente alla retta data e diverso dall’origine, è evidente che in base al segno di {m} sarà possibile capire a quali quadranti appartengono i punti della retta.

In particolare, se {m > 0} allora il rapporto {\dfrac{y}{x}} è anch’esso maggiore di zero. Ma se il rapporto tra due quantità è positivo le due quantità hanno necessariamente lo stesso segno. Di conseguenza, le ascisse e le ordinate del generico punto {P(x,y)} diverso dall’origine della retta hanno entrambe lo stesso segno. Per cui una retta con {m> 0} e passante per l’origine è costituita da punti tutti appartenenti esclusivamente o al primo o al terzo quadrante. E l’angolo {\alpha} risulterà compreso fra {0°} e {90°}:

m > 0 \iff  0° < \alpha < 90° 
retta passante per l'origine

Con un ragionamento del tutto simile, possiamo concludere che se invece {m < 0}, le coordinate di un generico punto della retta data diverso dall’origine sono di segno tra loro opposto. Così, tutti i punti della retta data dovranno appartenere necessariamente o al secondo o al quarto quadrante. E di conseguenza, l’angolo {\alpha} risulterà compreso fra {90°} e {180°}:

m < 0 \iff 90° < \alpha < 180°
retta passante per l'origine

Osserviamo infine che si ha {m=0} nel solo caso in cui sia {y=0}. Dunque il coefficiente angolare {m} risulta nullo nel caso in cui tutti i punti della retta considerata abbiano ordinata uguale a zero. Di conseguenza, se {m=0} abbiamo {\alpha = 0°} (o il che è lo stesso {\alpha = 180°}) e la retta coinciderà con l’asse {x}.

Per una retta di equazione {y=mx}, e quindi per una retta passante per l’origine, distinguiamo i seguenti casi, in base al segno del coefficiente angolare {m}.
Se il coefficiente angolare {m} è positivo, la retta ha punti tutti appartenenti o al primo o al terzo quadrante e l’angolo {\alpha } risulta compreso tra {0} gradi e {90} gradi (estremi esclusi).
Se il coefficiente angolare {m} è negativo, la retta ha punti tutti appartenenti o al secondo o al quarto quadrante e l’angolo {\alpha} risulta compreso tra {90} gradi e {180} gradi (estremi esclusi).
Infine, se il coefficiente angolare è nullo, ovvero se {m=0}, l’angolo {\alpha} è zero gradi oppure {180} gradi e la retta coincide con l’asse delle {x}, ovvero la retta costituita da tutti i punti del piano cartesiano tali da avere ordinata nulla. Abbiamo in altre parole per {m=0} la retta {y=0}.

Osserviamo che l’equazione {y=mx} non può in alcun caso rappresentare l’asse delle {y}, ovvero l’insieme dei punti del piano cartesiano aventi ascissa nulla. Infatti, per un qualunque punto di ascissa nulla il rapporto {\dfrac{y}{x}}, che rappresenta il coefficiente angolare {m}, perde di significato. In altre parole, non esiste alcun valore di {m} tale che l’equazione {y=mx} possa rappresentare l’asse delle {y}.
L’equazione dell’asse {y}, infine, è data da {x=0}, come vedremo meglio nel seguito.

Condizione di appartenenza di un punto del piano cartesiano alla retta y=mx

Un punto appartiene ad una retta passante per l’origine se le sue coordinate soddisfano la corrispondente equazione {y=mx}.

Così, ad esempio, data la retta passante per l’origine di equazione:

y=3x

ci domandiamo se il punto {P=(2,6)} appartiene a tale retta. Per stabilirlo, basta sostituire le coordinate {x_0= 2} e {y_0 = 6} del punto {P} nell’equazione della retta considerata. Abbiamo:

y_0 = 3 x_0 \quad \Rightarrow \quad  6= 3 \cdot 2 \iff 6=6

Abbiamo ottenuto un’identità, ovvero un’uguaglianza numerica vera. Di conseguenza, l’equazione {y=mx} risulta soddisfatta dalle coordinate del punto {P}, il quale in conclusione appartiene alla retta data.

Grazie a tale condizione è possibile determinare senza troppe difficoltà l’equazione di una retta passante per l’origine noto un suo punto {P}, come mostra il seguente esempio.

Esempio (equazione di una retta passante per l’origine noto un suo punto)

Scrivere l’equazione della retta passante per l’origine della quale è noto il punto {P=(-3,5)}.

Dato che il punto {P} appartiene ad una retta passante per l’origine, questo soddisferà necessariamente l’equazione:

y=mx

Possiamo dunque ricavare il coefficiente angolare {m} utilizzando le coordinate dello stesso punto {P=(x_0, y_0)}:

y=mx \quad \Rightarrow \quad m=\dfrac{y}{x}, \quad x \neq 0 \quad \Rightarrow \quad m=\dfrac{y_0}{x_0}

e quindi:

m=\dfrac{y_0}{x_0}=\dfrac{-3}{5}=-\dfrac{3}{5}

Ma a questo punto rimane soltanto da scrivere l’equazione di una retta passante per l’origine ed avente coefficiente angolare {m=-\dfrac{3}{5}}:

y=mx \quad \text{con} \quad m=-\dfrac{3}{5} \quad \Rightarrow \quad \boxed{y=-\dfrac{3}{5}x}

Abbiamo così scritto l’equazione della retta data.

Casi particolari di rette passanti per l’origine

Bisettrice del primo e del terzo quadrante

A partire dall’equazione di una retta passante per l’origine degli assi:

y=mx

ponendo {m=1} otteniamo l’equazione:

y=x

la quale rappresenta l’insieme di tutti i punti del piano cartesiano tali da avere ascissa uguale all’ordinata.

Abbiamo quindi un luogo di punti dato da tutti i punti del piano cartesiano tali da avere coordinata lungo l’asse {x} uguale a quella lungo l’asse {y}. Tale luogo di punti è una particolare retta detta bisettrice del primo e del terzo quadrante. Infatti, dato che ciascun punto della retta ha coordinate dello stesso segno, questa non potrà essere formata che da punti appartenenti o al primo o al terzo quadrante.

La bisettrice del primo e del terzo quadrante è la retta di equazione:{y=x}ovvero è la retta passante per l’origine tale da avere coefficiente angolare {m=1}.
La retta è formata da tutti i punti del piano cartesiano tali da avere ascissa uguale in modulo e segno all’ordinata.
L’angolo che tale retta forma con la direzione positiva dell’asse delle {x} è {\alpha = 45 ^{\circ}}.

retta passante per l'origine

Importante. Esistono infinite rette passanti per l’origine aventi punti appartenenti esclusivamente al primo e al terzo quadrante. Tuttavia, tra queste ne esiste una sola caratterizzata da un angolo {\alpha} uguale a {45^{\circ}}. E questa è proprio la bisettrice del primo e terzo quadrante.
Prestiamo dunque attenzione a non indicare come bisettrice del primo e terzo quadrante una retta che in realtà forma con la direzione positiva dell’asse delle {x} un angolo {\alpha} diverso da {45^{\circ}}.

Bisettrice del secondo e del quarto quadrante

Riprendiamo ancora l’equazione {y=mx}, che rappresenta una retta passante per l’origine, e poniamo {m=-1}. Otteniamo in questo modo l’equazione:

y=-x

che rappresenta il luogo dei punti tali da avere ascissa opposta all’ordinata (in altre parole, ascissa uguale in modulo all’ordinata ma di segno opposto).

Di conseguenza, dato che i punti della retta {y=-x} hanno ascissa opposta all’ordinata, questi devono appartenere necessariamente o al secondo o al quarto quadrante. Inoltre, l’ascissa e l’ordinata sono uguali tra loro in modulo. Pertanto, la retta {y=-x} si indica con il nome di bisettrice del secondo e del quarto quadrante.

La bisettrice del secondo e del quarto quadrante è la retta di equazione {y=-x}ovvero è la retta passante per l’origine tale da avere coefficiente angolare {m=-1}.
La retta è formata da tutti i punti del piano cartesiano tali da avere ascissa opposta all’ordinata. In altre parole, l’ascissa e l’ordinata di ciascun punto di tale retta sono tra loro uguali in modulo ma di segno opposto.
L’angolo che tale retta forma con la direzione positiva dell’asse delle {x} è {\alpha = 135 ^{\circ}}.

retta passante per l'origine

Importante. Esistono infinite rette passanti per l’origine i punti delle quali appartengono esclusivamente al secondo o al quarto quadrante. Tuttavia, la bisettrice del secondo e quarto quadrante è l’unica fra queste rette ad essere caratterizzata da un angolo {\alpha = 135^{\circ}}.


Ora, gli assi {x} e {y} stessi sono delle particolari rette passanti per l’origine. In particolare, l’asse {x} è il luogo dei punti aventi ordinata uguale a zero, mentre l’asse {y} è il luogo dei punti aventi ascissa uguale a zero.

Asse delle ascisse (asse x)

L’asse delle ascisse (o asse {x}) è una particolare retta avente equazione:

y=0

ovvero è il luogo dei punti tali da avere ordinata nulla. Così ciascun punto dell’asse {x} può essere rappresentato come:

P=(x,0)

Osserviamo che l’equazione dell’asse {x} si ottiene a partire dalla generica equazione di una retta passante per l’origine ponendo {m=0}:

y=mx, \quad m = 0 \quad \Rightarrow \quad y=0

Asse delle ordinate (asse y)

L’asse delle ordinate (o asse {y}) è una particolare retta di equazione:

x=0

ovvero è il luogo dei punti tali da avere ascissa nulla. Di conseguenza, ciascun punto dell’asse {y} può essere rappresentato come:

P=(0,y)

Osserviamo come già anticipato che per {x=0} la definizione di coefficiente angolare non ha significato. Infatti, la frazione algebrica {\dfrac{y}{x}}, che effettivamente rappresenta il coefficiente angolare di una retta passante per l’origine, non ha senso per {x=0}.

Pertanto, non è possibile ricavare l’equazione dell’asse {y} a partire dalla equazione {y=mx}, per nessun valore di {m}.

L’equazione {y=mx} rappresenta una qualunque retta passante per l’origine, per ogni fissato valore di {m}, ad eccezione della retta che coincide con l’asse delle {y}.
Di conseguenza, il coefficiente angolare della retta {x=0} non è definito.

Come vedremo nella prossima lezione, il coefficiente angolare risulta non definito per una qualsiasi retta verticale.


Importante. Prestiamo particolare attenzione al fatto che l’equazione dell’asse delle {x} è {y=0}, mentre l’equazione dell’asse delle {y} è {x=0}.
Non cadiamo quindi nell’errore di ritenere che l’equazione {x=0} rappresenti l’asse delle {x}. Ciò è falso, anche se effettivamente nell’equazione {x=0} figura l’ascissa. Allo stesso modo, è errato ritenere che l’equazione {y=0} rappresenti l’asse delle {y}, anche se in tale equazione effettivamente compare l’ordinata.

Equazione in forma implicita di una retta passante per l’origine

Consideriamo l’equazione:

ax+by=0, \qquad a,b \in \R

Osserviamo che questa risulta soddisfatta per {x=0} e {y=0}. Infatti, sostituendo tali valori ci ritroviamo con l’identità {0=0}, che è un’uguaglianza numerica vera.

Inoltre, l’equazione è in forma implicita poiché nessuna delle due incognite {x} o {y} risulta esplicitata. In altri termini, l’equazione non è della forma {x=k} né della forma {y=k}, con {k} numero reale (anche nullo).

Tuttavia, supponendo {b \neq 0} possiamo ricavare la {y} (ovvero esplicitarla). Basta infatti dividere entrambi i membri dell’equazione per {b}, e quindi ricavare la {y}:

\dfrac{ax+by}{b}=\dfrac{0}{b} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{a}{b}x+y=0 \quad \Rightarrow \quad y=-\dfrac{a}{b}x

E quindi, ponendo {m=-\dfrac{a}{b}}:

y=mx

Di conseguenza, poiché ritroviamo l’equazione di una generica retta passante per l’origine (esclusa la retta che corrisponde all’asse {y}), possiamo affermare che l’equazione:

ax+by=0

rappresenta in forma implicita l’equazione di una retta passante per l’origine. Ciò non ci stupisce, poiché effettivamente, come già anticipato, l’equazione risulta soddisfatta per {x=0} e contemporaneamente {y=0}, che sono le coordinate dell’origine.

Tale equazione inoltre presenta una particolarità rispetto alla forma esplicita {y=mx+q}. Infatti, ponendo {b=0} si ha:

ax=0

e quindi, supponendo {a \neq 0} (dividendo entrambi i membri per {a}):

x=0

Otteniamo così l’equazione dell’asse {y}, la quale effettivamente è un caso particolare che deriva dell’equazione {ax+by=0}.

Tra parentesi, ponendo {a=0} ricaviamo con una procedura del tutto simile l’equazione {y=0}, che rappresenta una retta coincidente con l’asse {x}.

Possiamo quindi concludere quanto segue.

L’equazione {ax+by=0}, con {a, b \in \R}, rappresenta l’equazione in forma implicita di una qualunque retta passante per l’origine, compresa anche la retta che coincide con l’asse {y}.

Vediamo ora un paio di esempi su come passare dalla forma esplicita alla forma implicita e viceversa.

Esempio (retta passante per l’origine dalla forma implicita alla forma esplicita)

Riscrivere in forma esplicita la seguente equazione di una retta passante per l’origine: {2x+3y=0}.

Ricaviamo la {y}. Per fare questo, cominciamo dividendo entrambi i membri per {3}, ovvero per il coefficiente della {y}. Quindi, trasportiamo opportunamente i termini isolando la {y} ad esempio al primo membro:

\dfrac{2x+3y}{3}=\dfrac{0}{3} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{2}{3}x+y=0 \quad \Rightarrow \quad y=-\dfrac{2}{3}x

Abbiamo così ottenuto l’equazione in forma esplicita:

y=-\dfrac{2}{3}x

Esempio (retta passante per l’origine dalla forma esplicita alla forma implicita)

Riscrivere in forma implicita l’equazione: {y=-\dfrac{4}{5}x} (retta passante per l’origine).

E’ qui sufficiente trasportare opportunamente i termini in modo da avere il secondo membro dell’equazione uguale a zero:

y+\dfrac{4}{5}x=0

L’equazione è già in forma implicita. Tuttavia, per un discorso estetico conviene mettere tutti i termini a denominatore comune, per poi eleminare il denominatore (l’eliminazione del denominatore avviene in modo diretto poiché si tratta di un denominatore numerico sicuramente diverso da zero):

\dfrac{5y+4x}{5}=0 \quad \Rightarrow \quad 5y+4x=0

Così in conclusione l’equazione della retta data in forma implicita è:

5y+4x=0

Conclusioni

Per quanto riguarda questa lezione sulle rette passanti per l’origine è tutto. Nella prossima lezione ci occuperemo dell’equazione di una retta generica. Buono studio a tutti voi! 🙂


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