Risolvere un’equazione fratta parametrica

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Non riesco a capire come risolvere un’equazione fratta parametrica (equazione fratta letterale). Potreste aiutarmi?

Un’equazione fratta parametrica (o equazione fratta letterale) è una particolare equazione frazionaria nella quale, oltre alla incognita {x}, compaiono altre lettere dette parametri. Per risolvere un’equazione fratta parametrica i ragionamenti da fare sono gli stessi di quelli relativi alle equazioni fratte non letterali. L’unica differenza è che la possibilità che l’equazione ammetta soluzioni o meno è legata anche al parametro o ai parametri presenti. E per i valori del parametro per i quali l’equazione risulta determinata, la soluzione o le soluzioni corrispondenti saranno espresse in funzione del parametro o dei parametri.

Ricordiamo che un’equazione fratta anche non letterale ha un suo campo di esistenza. Ovvero, l’equazione è definita soltanto per i valori della {x} per i quali il denominatore dell’equazione fratta nella forma normale {\dfrac{N(x)}{D(x)}=0} non si annulla. Le equazioni fratte nella sola variabile {x} si risolvono imponendo la condizione {D(x) \neq 0} e quindi ricercando le soluzioni dell’equazione intera {N(x)=0}, escludendo infine le eventuali soluzioni per le quali si abbia {D(x)=0}.

Per risolvere correttamente un’equazione fratta letterale dovremo in modo del tutto simile escludere i valori del parametro corrispondenti a soluzioni {x} che annullano il denominatore. Consideriamo per semplicità il caso di equazioni fratte letterali di primo grado. I ragionamenti sono comunque facilmente adattabili ad equazioni fratte letterali di grado superiore.

Il primo passo per risolvere un’equazione fratta letterale ad esempio con un solo parametro {a} è quello di ricondurla alla forma normale:

\dfrac{N(x,a)}{D(x,a)}=0

e quindi passare all’equazione intera “numeratore = 0” con le opportune condizioni:

N(x,a)=0, \qquad D(x,a) \neq 0

L’equazione letterale intera è:

  • possibile o determinata, per i valori del parametro {a} tali per cui il coefficiente del termine in {x} è diverso da zero;
  • impossibile per i valori del parametro {a} tali per cui il coefficiente del termine in {x} è uguale a zero ma il termine noto è diverso da zero;
  • indeterminata, per i valori del parametro {a} per i quali entrambi il coefficiente della {x} e il termine noto sono uguali a zero.

Ma quali considerazioni dobbiamo a questo punto fare per risolvere l’equazione fratta letterale? In particolare, l’equazione fratta letterale è:

  • possibile per i valori del parametro ove l’equazione intera è possibile, esclusi i valori del parametro per cui {D(x,a)=0};
  • indeterminata per i valori del parametro per i quali risultano nulli sia il coefficiente della {x}, sia il termine noto e per i quali allo stesso tempo non si abbia {D(x,a)=0};
  • impossibile per i valori del parametro tali per cui il coefficiente della {x} sia diverso da zero ma il termine noto sia uguale a zero. Inoltre è impossibile anche per i valori del parametro che corrispondono a soluzioni {x} dell’equazione intera che però annullano il denominatore {D(x,a)}. Quest’ultima circostanza è l’analoga a quella nelle equazioni fratte nella sola variabile {x} ove una soluzione dell’equazione intera non è accettabile a causa della condizione {D(x)}=0.

Vediamo subito un esempio pratico per chiarire quanto detto.

Esempio su come risolvere un’equazione fratta parametrica

Risolvere la seguente equazione fratta parametrica:

\dfrac{a-x}{x^2-1}-\dfrac{3a}{x-1}=\dfrac{5a}{x+1}

La prima cosa da fare è ricondurre l’equazione alla forma:

\dfrac{N(x,a)}{D(x,a)}=0 

Scomponiamo anzitutto il denominatore della prima frazione algebrica:

\dfrac{a-x}{(x-1)(x+1)}-\dfrac{3a}{x-1}=\dfrac{5a}{x+1}

Ora trasportiamo al primo membro la frazione {\dfrac{5a}{x+1}}. Nel fare questo porremo un segno meno davanti alla sua linea di frazione:

\dfrac{a-x}{(x-1)(x+1)}-\dfrac{3a}{x-1}-\dfrac{5a}{x+1}=0

Ora abbiamo termini soltanto al primo membro. Procediamo mettendo tutti i termini a denominatore comune:

\dfrac{a-x-3a(x+1)-5a(x-1)}{(x-1)(x+1)}=0

Eseguiamo i prodotti al numeratore:

\dfrac{a-x-3ax-3a-5ax+5a}{(x-1)(x+1)}=0

Infine sommiamo i termini simili:

\dfrac{3a-x-8ax}{(x-1)(x+1)}=0

Siamo così arrivati alla forma {N(x,a)/D(x,a) = 0} (in questo caso il denominatore contiene la sola incognita {x}). A questo punto proprio come nelle equazioni fratte nella sola incognita {x} possiamo eliminare il denominatore {D(x,a)} ma a patto di porre la condizione {D(x,a) \neq 0}. In tal modo ci riconduciamo all’equazione intera {N(x,a)=0}. Abbiamo:

\small 3a-x-8ax=0, \qquad (x-1)(x+1) \neq 0 \iff x \neq 1 \: \wedge \: x \neq -1

Consideriamo ora l’equazione parametrica intera escludendo le eventuali soluzioni che annullano il denominatore dell’equazione fratta.

 3a-x-8ax=0

Riordiniamo i termini e raccogliamo la {x} ove possibile, in modo da vedere il coefficiente del termine in {x} dell’equazione:

(-1-8a)x+3a=0

Un’equazione di primo grado intera nella forma {ab+x=0} è possibile se il coefficiente {b} della {x} è diverso da zero. In tal caso ammette la soluzione {x=-\dfrac{b}{a}}). Ora, osserviamo che nell’equazione parametrica intera il coefficiente del termine in {x} è {-1-8a}. Così, per {-1-8a \neq 0 }abbiamo per l’equazione parametrica intera la soluzione parametrica:

x=-\dfrac{3a}{-1-8a}=\dfrac{3a}{1+8a}, \qquad -1-8a \neq 0 \iff a \neq -\dfrac{1}{8}

Resta ora da capire se la soluzione parametrica ottenuta è accettabile per l’equazione fratta di partenza. Poiché una “soluzione parametrica” è una famiglia di soluzioni {x} che si ottengono al variare del parametro {a}, ciò che potrebbe accadere è che per alcuni valori del parametro {a} la soluzione parametrica dell’equazione intera potrebbe non essere accettabile per l’equazione fratta di partenza.

In particolare, poiché per eliminare il denominatore {D(x,a)} abbiamo imposto le condizioni {x \neq 1} e {x \neq -1}, dobbiamo escludere i valori del parametro {a} per i quali la soluzione parametrica {x=\dfrac{3a}{1+8a}} assume proprio tali valori.

Si tratterà allora di escludere le soluzioni delle seguenti equazioni fratte nella variabile {a}:

\dfrac{3a}{1+8a}=1; \qquad \dfrac{3a}{1+8a}=-1

Risolvendole (si tratta di equazioni fratte non letterali), otteniamo rispettivamente le soluzioni:

a=-\dfrac{1}{5}, \qquad a=-\dfrac{1}{11}

Per cui per tali valori del parametro la soluzione parametrica indicata in precedenza non è accettabile. In conclusione l’equazione fratta di partenza è determinata se:

a \neq -\dfrac{1}{8} \quad \wedge \quad a \neq -\dfrac{1}{5} \quad \wedge \quad a \neq -\dfrac{1}{11}

(ove il simbolo {\wedge} significa “e contemporaneamente”) ed ammette la soluzione parametrica:

x=\dfrac{3a}{1+8a}

Ora, per {a=-\dfrac{1}{5}} oppure {a=-\dfrac{1}{11}} l’equazione fratta è impossibile poiché l’equazione intera {N(x,a)=0} è determinata ma le soluzioni che si ottengono non sono accettabili. Infatti come abbiamo visto sono tali da annullare il denominatore {D(x,a)}.

Infine, per {a=-\dfrac{1}{8}} già sappiamo che il termine del coefficiente in {x} dell’equazione parametrica intera {(-1-8a)x+3a=0} è nullo. Vediamo ora cosa succede al termine noto dell’equazione stessa:

3a \quad \text{con} \quad a = -\dfrac{1}{8} \quad \Rightarrow 3\cdot \left( -\dfrac{1}{8}\right) \neq 0

Il termine noto è diverso da zero e di conseguenza anche per {a=-\dfrac{1}{8}} l’equazione intera è impossibile. E pertanto è impossibile anche l’equazione fratta di partenza.

Così riassumendo nel risolvere l’equazione fratta letterale assegnata abbiamo ottenuto i seguenti risultati:

  • se {a \neq -\dfrac{1}{8}} e {a \neq -\dfrac{1}{5}} e {a \neq -\dfrac{1}{11}} l’equazione fratta di partenza è determinata con soluzione parametrica {x=\dfrac{3a}{1+8a}};
  • se {a=-\dfrac{1}{8}} oppure {a=-\dfrac{1}{5}} oppure {a=-\dfrac{1}{11}} l’equazione fratta di partenza è impossibile.

Per quanto riguarda come risolvere un’equazione fratta letterale (nel caso di un’equazione fratta parametrica di primo grado) è tutto. I ragionamenti sono facilmente adattabili anche per il caso delle equazioni fratte letterali di grado superiore al primo. Buon proseguimento!


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