Scomposizione con il prodotto somma per differenza

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Monomi e polinomi (superiori)

Proseguiamo lo studio dei metodi di scomposizione dei polinomi occupandoci della scomposizione con il prodotto somma per differenza.

Con questa lezione cominciamo così a vedere i metodi di scomposizione in fattori dei polinomi che si basano sui prodotti notevoli. In particolare, la regola di scomposizione con il prodotto somma per differenza ci permette di riconoscere nel polinomio di partenza proprio un prodotto fra una somma e una differenza, basandoci su quello che sappiamo sul corrispondente prodotto notevole.

Come già abbiamo anticipato, il concetto chiave è dato dall’utilizzo della proprietà simmetrica dell’uguaglianza. Così, se dai prodotti notevoli sappiamo che il prodotto di una somma di due termini per la differenza dei termini stessi è uguale alla differenza dei quadrati di ciascun termine, per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza avremo che la differenza tra i quadrati di due termini è uguale al prodotto somma per differenza di quegli stessi termini.

In generale i prodotti notevoli rappresentano un’ottima guida per scomporre i polinomi. Senza di essi sarebbe estremamente controintuitivo individuare un prodotto che consenta di ottenere il polinomio di partenza. Ed è proprio in questo che consiste la scomposizione in fattori dei polinomi.

Fatte le dovute premesse, mettiamoci comodi e vediamo subito la regola e i relativi esercizi di esempio sulla scomposizione con il prodotto notevole somma per differenza.

Scomposizione con il prodotto notevole somma per differenza: regola generale

Ricordiamo che per il prodotto notevole somma per differenza abbiamo:

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Ciò significa che se riconosciamo in un prodotto una somma di termini moltiplicata per la differenza di quegli stessi termini, possiamo riscrivere il prodotto stesso come la differenza tra i quadrati dei termini.

Ora, per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza, per la quale se {A=B} allora avremo anche {B=A}, possiamo riscrivere la precedente uguaglianza come segue:

a^2-b^2=(a+b)(a-b)

Come possiamo vedere in questo modo passiamo da un polinomio ad un prodotto che rappresenta un’espressione ad esso equivalente. Ed è questo il concetto di scomposizione in fattori di un polinomio.

Vediamo ora di enunciare la regola relativa alla scomposizione con il prodotto somma per differenza:

E’ possibile scomporre una differenza tra i quadrati di due termini come prodotto della somma dei due termini per la loro differenza. E in quest’ultima differenza, il minuendo sarà il termine il cui quadrato è accompagnato nel polinomio di partenza con il segno più, mentre il sottraendo sarà il termine il cui quadrato nel polinomio di partenza è accompagnato dal segno meno.

Ricordiamo per chiarire la definizione che nella differenza {a^2-b^2} il minuendo è {a^2} mentre il sottraendo è {b^2}.

Così dato ad esempio il polinomio:

x^2-9

questo rappresenta la differenza tra il quadrato di {x}, ovvero {x^2}, e il quadrato di {3}, ovvero {9}. Si tratterà allora di scrivere il prodotto della somma dei termini {x} e {3} per la differenza dei termini stessi.

Nello scrivere la differenza, attenzione. Controlliamo nel polinomio di partenza quale dei due quadrati è preceduto dal segno meno. Nel nostro caso, il quadrato preceduto dal segno meno è{9}, che è il quadrato del termine {3}. Così, nella differenza che scriveremo {3} dovrà essere anch’esso preceduto dal segno meno. In altre parole, dovrà essere il sottraendo. Pertanto, scriveremo la differenza come {x-3} e non come {3-x}. Prestiamo sempre attenzione ai segni. 😉

Così in conclusione il polinomio di partenza può essere riespresso come il prodotto tra la somma {x+3} e la differenza {x-3}:

x^2-9=(x+3)(x-3)

Per convincersi del risultato ottenuto, basta eseguire il prodotto {(x+3)(x-3)} e si potrà agevolmente verificare che è possibile ritrovare il polinomio di partenza.

Vediamo subito ulteriori esempi sulla scomposizione dei polinomi con il prodotto somma per differenza.

Esempio 1

Scomporre il polinomio:

4x^2y^4-25z^6

Osserviamo che il primo termine è il quadrato di {2xy^2}. Invece, il secondo termine è il quadrato di {5z^3}. Ma come è possibile rendersene conto?

Consideriamo il primo termine. Per capire di chi è il quadrato il monomio {4x^2y^4}, basta estrarre la radice quadrata del coefficiente e dividere gli esponenti di ciascuna lettera per due. Così:

\sqrt{4}x^{2:2}y^{4:2}=2xy^2

Infatti, come prova, per passare da {2xy^2} al suo quadrato dobbiamo elevare al quadrato il coefficiente e moltiplicare per due gli esponenti delle sue lettere (proprietà delle potenze di potenze):

(2xy^2)^2=(2x^{1}y^{2})^2=2^2x^{1 \cdot 2}y^{2 \cdot 2} = 4x^2y^4

Con ragionamento del tutto simile vediamo inoltre che il termine {25z^6} è il quadrato di:

\sqrt{25}z^{6:2}=5z^3

Ovviamente con l’esperienza non ci sarà più il bisogno di fare calcoli di questo tipo in modo esplicito e risulterà immediato ricavare mentalmente un monomio a partire dal suo quadrato.

Così, abbiamo riconosciuto nel polinomio di partenza i quadrati dei termini {2xy^2} e {5z^3}. Non resta a questo punto che scrivere la somma di questi termini per la loro differenza. Come già evidenziato, attenzione per la differenza. Il segno meno va attribuito al termine il cui quadrato nel polinomio di partenza è accompagnato dal segno meno. Per cui nella differenza il sottraendo sarà il termine {5z^3}.

Così in conclusione possiamo scrivere la scomposizione:

4x^2y^4-25z^6=(2xy^2+5z^3)(2xy^2-5z^3)

Importante. Quando estraiamo se possibile la radice quadrata del coefficiente di un monomio e dividiamo per due gli esponenti delle sue lettere, non ricaviamo l’unico termine che elevato al quadrato restituisce il monomio di partenza. Infatti, considerando ad esempio il monomio {25x^2}, questo è il quadrato sia di {5x}, sia di {-5x}. Infatti, come visto nell’esercizio, prima estraiamo la radice del coefficiente del monomio e dividiamo gli esponenti delle sue lettere per due, ottenendo il solo termine positivo. Poi, scegliamo il segno per il termine ottenuto in base a dei ragionamenti sul doppio prodotto.

Tutto ciò si giustifica, come già più volte ribadito, osservando che il quadrato di un termine positivo o negativo è comunque positivo.

Andando avanti nel vostro corso di studi, vi renderete conto che l’operazione di estrarre la radice quadrata del coefficiente di un monomio e di dividere per due gli esponenti delle sue lettere non coincide con l’estrazione della radice quadrata del monomio. Infatti, come avrete modo di vedere: {\sqrt{4x^2y^2}=2|xy|} Per comprendere il perché del modulo, osserviamo che l’operazione di radice quadrata deve avere per convenzione un risultato sempre positivo. Così possiamo scrivere {\sqrt{4}=2} senza il simbolo di modulo poiché effettivamente abbiamo un risultato positivo, mentre dobbiamo scrivere {\sqrt{x^2}=|x|} poiché non sappiamo se {x} è una quantità positiva o negativa. E il modulo “forza” tale quantità come positiva.

Esempio 2

Scomponiamo in fattori il polinomio:

16a^2x^3y-4b^2xy

Come in questo caso, talvolta non possiamo subito applicare la regola della scomposizione con il prodotto somma per differenza. Infatti, la presenza dei fattori {y} e {xy} fa sì che i termini nel polinomio di partenza non corrispondono sicuramente a nessun quadrato.

Osserviamo però che è possibile raccogliere per il termine {xy}:

16a^2x^3y-4b^2xy=xy(16a^2x^2-4b^2)=

A questo punto il polinomio entro le parentesi tonde è effettivamente la differenza tra due quadrati. In particolare, ci ritroviamo con il quadrato di {4ax} e il quadrato di {2b}. Infatti {\sqrt{16}a^{2:2}x^{2:2} = 4ax} e infine {\sqrt{4}b^{2:2}=2b}. Possiamo così completare la scomposizione, tenendo conto nello scrivere la differenza dei termini che il quadrato accompagnato dal segno meno è quello relativo al termine {2b}:

=xy(4ax+2b)(4ax-2b)

Esempio 3

\dfrac{1}{81}a^2x^2-\dfrac{y^2}{121}

Osserviamo che si ha:

\sqrt{\dfrac{1}{81}}a^{2:2}x^{2:2}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{81}}ax=\dfrac{1}{9}ax

Inoltre:

\sqrt{\dfrac{1}{121}}y^{2:2}=\dfrac{1}{11}y

Di conseguenza tenendo conto che il quadrato accompagnato dal segno meno è il quadrato dell’ultimo termine scritto possiamo scrivere:

\dfrac{1}{81}a^2x^2-\dfrac{y^2}{121}=\left( \dfrac{1}{9}ax+\dfrac{1}{11}y\right)\left( \dfrac{1}{9}ax-\dfrac{1}{11}y\right)

In caso di dubbio è sempre possibile moltiplicare tra loro i fattori della scomposizione e verificare che otteniamo il polinomio di partenza.

Esempio 4

-a^8b^6+9c^4

Ci ritroviamo con i quadrati dei termini {a^4b^3} e {3c^2}.

Attenzione ai segni: poiché il quadrato con il segno meno è quello del termine {a^4b^3}, ci ritroveremo tra i fattori della scomposizione la differenza {3c^2-a^4b^3}. Così possiamo scrivere in conclusione:

-a^8b^6+9c^4=(3c^2+a^4b^3)(3c^2-a^4b^3)

Conclusioni

Per quanto riguarda la scomposizione con il prodotto somma per differenza è tutto. Per chi vuole allenarsi ulteriormente è anche disponibile la scheda di esercizi correlata. Buon lavoro!