Ci occupiamo ora della tecnica di scomposizione dei polinomi che utilizza il prodotto notevole del quadrato di un binomio. Vedremo così più brevemente la scomposizione con il quadrato di un binomio.
Ricordiamo che il quadrato di un binomio è dato dalla somma del quadrato del primo termine, del doppio prodotto dei due termini e infine del quadrato del secondo termine.
Ora, leggendo l’uguaglianza in senso contrario, possiamo in modo altrettanto corretto affermare che se in un trinomio riconosciamo i quadrati di due termini e il doppio prodotto dei due termini stessi, possiamo riscrivere il trinomio di partenza come il quadrato di un binomio dato dalla somma dei due termini.
Fatte le dovute premesse, vediamo subito la regola per poter effettuare la scomposizione dei polinomi con il quadrato di un binomio.
Scomposizione con il quadrato di un binomio: regola ed esempi
Per effettuare la scomposizione di un polinomio con il quadrato di un binomio dobbiamo utilizzare la regola del prodotto notevole del quadrato di un binomio, ovvero:
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
Grazie alla proprietà simmetrica dell’uguaglianza, abbiamo anche:
a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
Ciò significa che è possibile scomporre il trinomio {a^2+2ab+b^2} come il prodotto {(a+b)(a+b)}, ovvero come il quadrato {(a+b)^2}. In tal modo abbiamo riespresso il polinomio di partenza come un prodotto tra polinomi, effettuandone in pratica la scomposizione.
E’ possibile scomporre un trinomio come il quadrato di un binomio se nel trinomio sono presenti i quadrati di due quantità e se il rimanente termine del trinomio è il doppio prodotto delle due stesse quantità.
Consideriamo ad esempio il trinomio:
25x^2-20xy+4y^2
Come prima cosa dobbiamo controllare quali dei termini del polinomio sono eventualmente dei quadrati. Escludiamo al volo il termine {-20xy} in quanto avendo lettere tutte con esponente {1} non può certamente essere il quadrato di nessun monomio.
Ora, il termine {25x^2} è il quadrato del monomio {\sqrt{25}x^{2:2}=\boxed{5x}}. Ricordiamo che per cercare il monomio che corrisponde ad un dato quadrato dobbiamo estrarre la radice quadrata del coefficiente del quadrato e dividere per due gli esponenti delle lettere. Chiaramente, se nel processo ci ritroviamo con un risultato nel quale almeno una lettera abbia un esponente frazionario, ciò significa che il monomio di partenza non era un quadrato. Infatti per definizione nei monomi possiamo avere nelle lettere esponenti soltanto interi positivi.
Allo stesso modo, il termine {4y^2} è il quadrato di {\sqrt{4}y^{2:2}=\boxed{2y}}.
Per riconoscere i due termini dai quali nascono i quadrati abbiamo utilizzato la regola descritta nell’esempio 1 della precedente lezione sulla scomposizione con il prodotto notevole somma per differenza.
Vediamo il doppio prodotto dei due termini che abbiamo ricavato:
2 \cdot 5x \cdot 2y = 20xy
Vediamo che il doppio prodotto appena ottenuto differisce da quello nel trinomio di partenza per il segno.
Quindi, stiamo attenti: il quadrato di un termine positivo o negativo è comunque positivo. Nel nostro caso quindi, poiché il doppio prodotto nel trinomio di partenza è negativo, dobbiamo attribuire il segno meno ad uno dei due termini {5x} e {2y}. Scegliamo ad esempio di attribuire segno meno a {5x}, considerando di conseguenza il termine {-5x}. E come detto anche il quadrato di questo termine restituirà uno dei quadrati presenti nel trinomio da scomporre, infatti {(-5x)^2=25x^2}.
Così possiamo in conclusione scrivere:
25x^2-20xy+4y^2=(2y-5x)^2
Osserviamo che se avessimo attribuito in alternativa il segno meno al termine {2y} lasciando positivo il termine {5x} avremmo comunque scritto una risposta corretta:
25x^2-20xy+4y^2=(5x-2y)^2
Così è possibile scrivere due possibili scomposizioni per lo stesso trinomio.
Avremmo invece commesso un errore attribuendo segno meno ad entrambi i termini. Infatti in tal caso il doppio prodotto è positivo, in contrasto con il termine corrispondente nel trinomio da scomporre.
Quando si è all’inizio è normale avere dei dubbi. Per non sbagliare moltiplichiamo sempre il prodotto relativo alla scomposizione ottenuta e controlliamo che sia uguale al trinomio di partenza.
Ad esempio abbiamo:
(5x-2y)^2=(5x)^2-2 \cdot 5x \cdot 2y + (2y)^2 = 25x^2-20xy+4y^2
e ciò verifica un delle scomposizioni precedentemente ottenute. In modo del tutto simile è possibile verificare anche l’altra scomposizione.
Vediamo ora degli ulteriori esercizi di esempio.
Esempio 1
Scomporre il seguente trinomio:
x^4+2x^2+1
Osserviamo che {x^4} è il quadrato di {x^{4:2}=\boxed{x^2}}. Inoltre, {1} è evidentemente il quadrato di {\boxed{1}}.
Inoltre, il doppio prodotto dei due termini appena trovati è {2 \cdot x^2 \cdot 1 = \boxed{2x^2}}, termine che coincide con il rimanente termine nel trinomio da scomporre.
Possiamo così in conclusione scrivere:
x^4+2x^2+1=(x^2+1)^2
Esempio 2
Scomporre il trinomio:
49z^2-70zt+25t^2
Riconosciamo agevolmente nel primo termine il quadrato di {7z} e nel secondo termine il quadrato di {5t}. Vediamo ora il doppio prodotto dei due termini appena trovati, e vediamo se coincide con il rimanente termine del trinomio da scomporre:
2 \cdot 7z \cdot 5t = 70zt
Come possiamo vedere il doppio prodotto differisce dal rimanente termine nel polinomio da scomporre per il segno. Ciò vuol dire che dobbiamo prendere uno fra i termini {7z} e {5t} con il segno meno. Scegliamo ad esempio di prendere {-5t}. Abbiamo così:
49z^2-70zt+25t^2=(7z-5t)^2
Ancora, osserviamo che anche la scomposizione {(5t-7z)^2} è comunque corretta.
Vediamo un altro caso di scomposizione del quadrato di un binomio, stavolta contenente dei quadrati di polinomi.
Esempio 3
4a^2-4a(b-1)+(b-1)^2
Nell’espressione abbiamo due quadrati: il quadrato del termine {2a} e il quadrato del binomio {b-1}. Vediamo se il rimanente termine è il doppio prodotto tra {2a} e {b-1}:
2 \cdot 2a \cdot (b-1)=4a(b-1)
Il risultato ottenuto differisce dal rimanente termine dell’espressione di partenza, ma soltanto per il segno. Come negli altri casi, ciò significa che dobbiamo prendere uno dei due termini che originano i quadrati con il segno meno. Prendiamo ad esempio il termine {-2a}. Così possiamo in conclusione scrivere:
4a^2-4a(b-1)+(b-1)^2=(-2a+b-1)^2
Conclusioni
Per quanto riguarda la scomposizione con il quadrato di un binomio è tutto. Nella prossima lezione ci occuperemo della scomposizione con il quadrato di un polinomio.
Ricordiamo come sempre la scheda di esercizi correlata, per chi vuole allenarsi ulteriormente sull’argomento della lezione. Buono studio a tutti voi! 🙂
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