Scomposizione del polinomio x^4+x^2+1

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Domande e risposte

Vediamo come effettuare la scomposizione in fattori del polinomio x^4+x^2+1:

x^4+x^2+1

Osserviamo che il polinomio non ammette radici intere o razionali. Infatti il polinomio è somma di termini tutti positivi, e quindi non può essere nullo per nessun valore della {x}. Di conseguenza non è possibile eseguire la scomposizione con la regola di Ruffini. Per tale regola infatti abbiamo bisogno di una radice, che ci permetta di individuare il binomio {x-c} per il quale il polinomio da scomporre è divisibile.

E’ importante però far caso al fatto che il polinomio somiglia molto allo sviluppo di un quadrato di un binomio. Ricordiamo che in generale si ha:

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

Possiamo infatti rileggere nel polinomio da scomporre il termine {x^4} come {(x^2)^2} e il termine {1} come {1^2}. Di conseguenza, effettivamente abbiamo i quadrati dei termini presenti nel binomio {x^2+1}. La nota dolente è data dal terzo termine, che è {x^2} e non {2x^2}. Invece del doppio prodotto abbiamo il prodotto, per cui il polinomio dato è il falso quadrato del binomio {x^2+1}.

Per meglio comprendere quanto detto, possiamo porre ad esempio la sostituzione {x^2=t}. In tal modo il polinomio diviene:

t^2+t+1

Ora è ancora più chiaro: siamo in presenza del falso quadrato del binomio {t+1}. Abbiamo infatti il termine {t} al posto di {2t}. Così il polinomio dato e lo sviluppo del quadrato del binomio {t+1} differiscono tra loro per {2t-t=t}. Così possiamo scrivere:

t^2+t+1=(t+1)^2-t

Risostituendo {t=x^2} abbiamo:

x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2

In alternativa, avremmo semplicemente potuto aggiungere e togliere la quantità {t} al polinomio da scomporre espresso nella variabile {t}:

t^2+t+1+t-t=t^2+2t+1-t=(t+1)^2-t

In un modo o nell’altro arriviamo comunque all’espressione {(x^2+1)^2-x^2}, che è la differenza di due quadrati. In particolare abbiamo la differenza tra il quadrato del binomio {x^2+1} e il quadrato del termine {x}. Così utilizzando la tecnica di scomposizione in fattori con il prodotto somma per differenza abbiamo:

\begin{align*} & (x^2+1)^2-x^2=[(x^2+1)+x][(x^2+1)-x]= \\ \\ & =(x^2+x+1)(x^2-x+1)\end{align*}

e questa è la scomposizione cercata.

In pratica abbiamo applicato la regola generale:

A^2-B^2=(A+B)(A-B)

ponendo {A=x^2+1} e {B=x}.

Ricontrolliamo come verifica che moltiplicando i due fattori riotteniamo il polinomio di partenza. Si tratterà così di svolgere un prodotto tra polinomi:

\begin{align*} & (x^2+x+1)(x^2-x+1)= \\ \\ & =x^4+\cancel{x^3}+\cancel{x^2}-\cancel{x^3}-\cancel{x^2}-\cancel{x}+{x}^2+\cancel{x}+1=\\ \\ & =x^4+x^2+1\end{align*}

e quindi ci siamo.

Per quanto riguarda la tecnica di scomposizione del polinomio x^4+x^2+1 è tutto. Buon proseguimento!