Sistemi e matrici (introduzione per l’università)

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Sistemi lineari (superiori)

In questa lezione vogliamo mostrare il legame tra sistemi lineari, matrici e vettori. La lezione è di carattere introduttivo ed è destinata prevalentemente (ma non solo) agli studenti dell’università che si accostano per la prima volta allo studio dell’algebra lineare.

Il nostro obiettivo è mostrare l’utilizzo delle matrici e dei vettori per la rappresentazione a la risoluzione dei sistemi lineari (sistemi di equazioni di primo grado). Così riprenderemo gran parte degli argomenti visti nelle lezioni sui sistemi lineari per le scuole superiori, ma andando oltre la ben nota regola di Cramer per quanto riguarda l’uso della matrici.

In particolare vedremo come rappresentare un sistema lineare in forma più compatta grazie alle matrici e ai vettori colonna, e mostreremo inoltre come sia possibile applicare una variante del metodo di riduzione (eliminazione gaussiana o metodo di Gauss) lavorando direttamente su una particolare matrice relativa al sistema (la matrice completa), piuttosto che sulle equazioni del sistema stesso.

Nel corso della lezione risulterà chiaro come le matrici possano in generale essere utilizzate per poter lavorare in modo più agile e con calcoli più rapidi su determinati oggetti matematici. Di qui la grande utilità del legame tra sistemi lineari, matrici e vettori.

Come ultima precisazione, abbiamo già lavorato con le matrici nell’ambito della risoluzione dei sistemi lineari utilizzando il metodo di Cramer. Tuttavia, in questa lezione proporremo un metodo generalmente più efficace dal punto di vista dell’efficienza dei calcoli, specialmente nel caso dei sistemi lineari dalle quattro equazioni in su.

Fatte le dovute premesse, vediamo subito il legame che intercorre tra sistemi lineari, matrici e vettori.

Eliminazione gaussiana per risolvere i sistemi lineari senza l’utilizzo di matrici e vettori

Tralasciamo per il momento l’utilizzo nei sistemi delle matrici e dei vettori colonna, e vediamo come risolvere i sistemi lineari utilizzando un nuovo metodo, noto con il nome di eliminazione gaussiana (o, se preferite, metodo di Gauss). Si tratta di una variante del metodo di riduzione, pensata per ridurre i calcoli da eseguire. In particolare, utilizzando il metodo di Gauss nella risoluzione dei sistemi lineari è possibile ricavare i valori delle incognite di un sistema (determinato) utilizzando delle semplici sostituzioni a ritroso.

Consideriamo il seguente sistema lineare di tre equazioni in tre incognite:

\begin{cases} 3x+5y+z=2 \\ \\ x+2y-z=-5 \\ \\ 2y-z=-6\end{cases}

L’idea del metodo di Gauss per risolvere i sistemi lineari (senza usare le matrici) è quella di riscrivere il sistema in forma triangolare, ovvero in una forma equivalente a quella di partenza ma tale che:

• nella prima equazione siano presenti tutte e tre le incognite {x, \: y, \: z};
• nella seconda equazione siano presenti le due sole incognite {y, \: z};
• infine, nella terza equazione sia presente la sola incognita {z}.

In generale un sistema di tre equazioni in tre incognite può dirsi in forma triangolare in tutti quei casi in cui un’incognita compare in tutte e tre le equazioni, un’altra incognita compare soltanto nella prima e nella seconda equazione e infine la rimanente incognita compare soltanto nella prima equazione. Comunque, ci atterremo esclusivamente a quanto indicato nei punti precedenti.

Osserviamo prima di tutto che il sistema dato è in forma normale.

Nella prima equazione abbiamo tutte e tre le incognite, come richiesto dal primo requisito per la forma triangolare. Nella seconda equazione abbiamo ancora tre incognite, mentre sono richieste le sole incognite {y} e {z}. Quindi, il primo passo per effettuare la eliminazione gaussiana consiste nell’eliminare l’incognita {x} dalla seconda equazione. E per farlo dovremo utilizzare i principi di equivalenza, in modo da ottenere un sistema equivalente a quello di partenza. In altre parole, basterà utilizzare le tecniche già viste a suo tempo per il metodo di riduzione. 😉

Moltiplichiamo allora tutti i termini della seconda equazione per {3}, e quindi sostituiamo alla seconda equazione la differenza membro a membro tra la prima equazione e la seconda equazione. In tal modo otterremo un sistema equivalente ma privo dell’incognita {x} nella seconda equazione:

\small \begin{cases} 3x+5y+z=2 \\ \\ 3x+6y-3z=-15 \\ \\ 2y-z=-6\end{cases} \:\: \Rightarrow \:\:\begin{cases} 3x+5y+z=2 \\ \\ 3x+5y+z-(3x+6y-3z)=2-(-15) \\ \\ 2y-z=-6\end{cases}

E quindi, sviluppando i calcoli relativamente alla seconda equazione:

\begin{cases} 3x+5y+z=2 \\ \\ -y+4z=17 \\ \\ 2y-z=-6\end{cases}

Ora dobbiamo eliminare l’incognita {y} nella terza equazione, in modo da avere nell’equazione stessa la sola incognita {z}. A quel punto il sistema sarà in forma triangolare.

Per eliminare tale incognita, basterà prima di tutto moltiplicare per {2} tutti i termini della seconda equazione, e quindi sostituire alla terza equazione la somma membro a membro della seconda e della terza equazione:

\begin{cases} 3x+5y+z=2 \\ \\ -2y+8z=34 \\ \\ 2y-z=-6\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 3x+5y+z=2 \\ \\ -2y+8z=34 \\ \\ -2y+8z+(2y-z)=34+(-6)\end{cases}

E quindi, sviluppando i calcoli relativi alla terza equazione:

 \begin{cases} 3x+5y+z=2 \\ \\ -2y+8z=34 \\ \\ 7z=28\end{cases}

Ora il sistema è in forma triangolare e può essere risolto mediante delle sostituzioni a ritroso. In particolare, dovremo cominciare a lavorare partendo dalla terza equazione, effettuando poi delle sostituzioni passando per la seconda equazione fino ad arrivare alla prima equazione.

Cominciamo ricavando il valore dell’incognita {z} dalla terza equazione:

 \begin{cases} 3x+5y+z=2 \\ \\ -2y+8z=34 \\ \\ 7z=28 \quad \rightarrow \quad z=\dfrac{28}{7}=4\end{cases}

A questo punto, sostituiamo il valore appena ottenuto per {z} nella seconda equazione, in modo da ricavare il valore della {y}:

 \begin{cases} 3x+5y+z=2 \\ \\ -2y+8 \cdot 4=34 \quad \rightarrow \quad y=\dfrac{-34+32}{2}=-1 \\ \\ z=4\end{cases}

Infine, sostituiamo i due valori ricavati fino a questo punto per le incognite, in modo da ricavare il valore della rimanente incognita {x}:

 \begin{cases} 3x+5 \cdot (-1) +4=2 \quad \rightarrow \quad x=\dfrac{5-4+2}{3}=\dfrac{3}{3}=1 \\ \\y=-1 \\ \\ z=4\end{cases}

In conclusione il sistema ammette come soluzione la terna:

(1, \: -1, \: 4)

e abbiamo quindi applicato con successo il metodo di Gauss (o eliminazione gaussiana) per la risoluzione dei sistemi lineari (senza l’uso delle matrici). Tuttavia, la procedura che abbiamo utilizzato per ridurre il sistema di partenza alla forma triangolare non è certo ottimale. Infatti, non è molto comodo sommare algebricamente le equazioni tra loro, anche se per il momento non abbiamo un’alternativa evidente. Ma come vedremo tra un istante, un aiuto per rendere più rapidi i calcoli per risolvere i sistemi lineari con il metodo di Gauss ci viene dato dalle matrici.

Matrici, vettori colonna e vettori riga

Facciamo ora la conoscenza delle matrici, che come detto ci saranno di grande aiuto nella risoluzione dei sistemi lineari.

Una matrice è una tabella ordinata di elementi, dati nel caso più elementare da numeri o quantità letterali. Un esempio di matrice è la seguente:

\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 7\end{pmatrix}

In questo caso abbiamo una matrice di due righe per due colonne. Nella prima riga abbiamo gli elementi {1} e {4}, mentre nella seconda riga abbiamo gli elementi {1} e {3}. In modo del tutto simile, nella prima colonna abbiamo gli elementi {1} e {3}, mentre nella seconda colonna abbiamo gli elementi {4} e {7}.

Ciascun elemento ha forma generale:

a_{ij}, \qquad i, \: j \in \N

ove gli indici {i} e {j} sono dei numeri naturali che indicano rispettivamente la riga e la colonna ove si trova l’elemento. Così, la scrittura {a_{ij}} indica l’elemento di una matrice che si trova nella riga i-esima e nella colonna j-esima.

Così ad esempio l’elemento {a_{12}} della matrice appena considerata è {4} (l’elemento che si trova nella prima riga, seconda colonna).

La matrice appena scritta ha dimensione {2 \times 2}, infatti è costituita da due righe e da due colonne. Altri esempi di matrici sono:

\begin{pmatrix} 5 & 7 & 9 \\ \\ 11 & -2& 55\end{pmatrix}; \qquad \begin{pmatrix} 5 & 1 & 4 & 2 \\ 
 7 & 9 & -22  & - 3\end{pmatrix}

e si tratta di matrici rettangolari aventi dimensione rispettivamente due per tre (due righe e tre colonne) e due per quattro (due righe e quattro colonne). Tali matrici sono dette rettangolari poiché il numero di righe è diverso dal numero delle colonne.

La matrice vista all’inizio invece, ovvero:

\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 7\end{pmatrix}

è una matrice quadrata, poiché il numero delle righe è uguale al numero delle colonne. Il numero delle righe (o indifferentemente il numero di colonne) stabilisce l’ordine di una matrice quadrata. Così ad esempio la matrice appena scritta è una matrice quadrata di ordine 2.

Ora, particolarmente interessante è anche il caso delle matrici date da una sola riga o da una sola colonna:

\begin{pmatrix} 1 & 5 & -3\end{pmatrix}; \qquad \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 55\end{pmatrix}

le quali si indicano rispettivamente con i nomi di vettore riga e vettore colonna.

Ricapitolando:

\begin{align*} & \begin{pmatrix} 1 & 7 & 5 \\ 3 & 4 & 88\end{pmatrix}  && \text{matrice rettangolare di dimensione 2 per 3}; \\ \\ & \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 7 & 9 \end{pmatrix} && \text{matrice quadrata di ordine 2;} \\ \\ & \begin{pmatrix} 1 & 6 & 5 \end{pmatrix} 
 && \text{vettore riga}; \\ \\ & \begin{pmatrix}13 \\ 26 \\ 99 \end{pmatrix} && \text{vettore colonna.}\end{align*}

Infine, una matrice data da un solo elemento coincide semplicemente con l’elemento stesso e non ha praticamente senso indicare le parentesi. Così la matrice di un solo elemento {(55)} si indica semplicemente come {55}.

Le matrici si indicano con le lettere maiuscole. Così ad esempio possiamo porre:

A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 9\end{pmatrix}

ed in tal modo con la lettera {A} indicheremo la matrice appena scritta.

I vettori riga e i vettori colonna si indicano con delle lettere minuscole in grassetto. Così ad esempio possiamo porre:

\textbf{b} = \begin{pmatrix}13 \\ 26\\ 99\end{pmatrix}

E’ possibile eseguire operazioni tra le matrici, quali la somma tra matrici, la moltiplicazione di una matrice per uno scalare e la moltiplicazione tra matrici.

Somma di matrici

Introduciamo le operazioni tra matrici a partire dalla somma di matrici.

La somma di due o più matrici ha come risultato una nuova matrice ove ciascun elemento della riga {i} e della colonna j è dato dalla somma di tutti gli elementi appartenenti alle matrici di partenza che si trovano nella riga {i} e nella colonna {j} delle matrici stesse.

In altre parole per calcolare la somma di due o più matrici occorre sommare tra loro tutti gli elementi delle matrici che si trovano sulla stessa riga e sulla stessa colonna. I risultati delle somme andranno inseriti ordinatamente in una nuova matrice che rappresenta il risultato della somma.

Attenzione: è possibile sommare tra loro soltanto matrici che hanno la stessa dimensione, ovvero che hanno lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne. Di conseguenza, non è sempre possibile sommare tra loro delle matrici rettangolari mentre è sempre possibile sommare tra loro delle matrici quadrate aventi lo stesso ordine.

Consideriamo ad esempio le due matrici:

\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}; \qquad \begin{pmatrix} -3 & 9 \\ -4 & -11\end{pmatrix}

Poiché le due matrici hanno la stessa dimensione (in particolare, sono matrici quadrate dello stesso ordine) possiamo sommarle tra loro ed abbiamo:

\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 & 9 \\ -4 & -11\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1+(-3) & 5 +9 \\ 2+(-4) & 7+(-11)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & 14 \\ -2 & -4\end{pmatrix}

La somma tra matrici dispone delle proprietà commutativa e associativa, al pari della somma tra numeri. Quindi l’ordine con il quale sommiamo le matrici tra loro non ha importanza.

Come vedremo tra qualche istante, la somma tra matrici ci è utile nel risolvere i sistemi lineari. Infatti, ci ritroveremo nel particolare caso di dover sommare tra loro particolari matrici, ovvero dei vettori riga.

Prodotto di uno scalare per una matrice

In questo contesto per scalare intendiamo semplicemente un numero reale. La definizione tuttavia è ben più articolata ma ci occuperemo di questo nelle successive lezioni.

Il prodotto di uno scalare per una matrice si ottiene moltiplicando ciascun elemento della matrice data per quello stesso scalare.

Ad esempio:

3 \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\cdot5 & 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 & 3 \cdot 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 15 & 6 \\ 3 & 12\end{pmatrix}

Anche il prodotto di uno scalare per una matrice ci sarà di grande aiuto per risolvere i sistemi lineari utilizzando le matrici. Infatti, ci ritroveremo a dover eseguire il prodotto tra uno scalare ed una particolare matrice, data da un vettore riga.

Prodotto tra matrici di cui una è un vettore colonna

Vediamo ora come moltiplicare delle matrici tra loro (prodotto tra matrici) nel particolare caso in cui una di esse sia un vettore colonna. Rivolgiamo la nostra attenzione soltanto a questo caso poiché è ciò che ci servirà per la risoluzione dei sistemi lineari utilizzando le matrici.

Ci limitiamo in questa lezione al semplice caso del prodotto di due sole matrici (non è comunque difficile estendere i ragionamenti che faremo alla circostanza del prodotto di tre o più matrici).

Consideriamo per cominciare il semplice caso del prodotto tra un vettore riga e un vettore colonna:

\begin{pmatrix} a & b & c\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} d \\ e \\ f\end{pmatrix}=ad+be+cf

Il risultato di un tale prodotto è uno scalare, ovvero in questo caso la quantità {ad+be+cf}. Facciamo un esempio numerico:

\begin{pmatrix} 2 & 5 & 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -4\end{pmatrix}=2\cdot 1 + 5 \cdot 2 + 3 \cdot (-4)=0

Così in pratica dobbiamo moltiplicare ordinatamente ciascun elemento del vettore riga per ciascun elemento del vettore colonna, sommando tra loro i prodotti che via via si ottengono.

Ora, è possibile moltiplicare due matrici tra loro soltanto se la prima matrice ha un numero di colonne uguale al numero di righe della seconda matrice.

Effettivamente, nel caso considerato la prima matrice ha tre colonne e la seconda matrice ha tre righe.

Consideriamo ora il seguente prodotto ove abbiamo una matrice quadrata e un vettore colonna:

 \begin{pmatrix} 1  & 5 & 7\\ 2  & 1 & 8\\ -4 & 1 & 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5\end{pmatrix}

E’ possibile calcolare tale prodotto in quanto la prima matrice ha tre colonne e la seconda matrice ha tre righe. Per il calcolo dobbiamo considerare separatamente ciascuna riga della prima matrice, effettuando così tre prodotti “riga per colonna”. Il risultato di ciascun prodotto andrà collocato ordinatamente in un vettore colonna che rappresenta il risultato della moltiplicazione tra matrici in esame. Abbiamo:

 \begin{pmatrix} 1  & 5 & 7\\ 2  & 1 & 8\\ -4 & 1 & 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\cdot 2 + 5 \cdot 3 + 7 \cdot 5 \\ 2 \cdot 2 + 1 \cdot 3 +8 \cdot 5 \\ -4 \cdot 2 + 1 \cdot 3 +3 \cdot 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 52 \\ 47 \\ 10\end{pmatrix}

Siamo qui nel caso del prodotto tra una matrice quadrata di ordine {n} e un vettore colonna costituito da {n} elementi. Non consideriamo per questa lezione casi più generali in quanto questo è ciò che ci basta per poter ragionare sui sistemi lineari.

Rappresentazione dei sistemi lineari mediante le matrici

Fatta la conoscenza delle matrici, proseguiamo il nostro viaggio nelle tecniche di risoluzione dei sistemi lineari di tipo più avanzato rispetto a quelle che normalmente si studiano alle scuole superiori.

Consideriamo un generico sistema lineare in forma normale di tre equazioni in tre incognite:

\begin{cases} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1 \\ \\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2 \\ \\ a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3\end{cases}

ove i coefficienti delle incognite e i termini noti sono tutti numeri reali (o per meglio dire in questo contesto, degli scalari).

La matrice dei coefficienti come sappiamo è data da:

A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}

Conveniamo di rappresentare la terna soluzione del sistema (che supponiamo determinato) con il seguente vettore colonna:

\textbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}

Infine, consideriamo un vettore colonna che ha per elementi i termini noti delle equazioni del sistema, nell’ordine in cui si presentano nel sistema stesso:

\textbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}

Per quanto sappiamo sul prodotto tra una matrice quadrata di ordine {n} e un vettore colonna di {n} elementi, possiamo riscrivere il sistema lineare dato in forma matriciale come:

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}

ovvero in forma compatta:

\boxed{A \cdot \textbf{x} = \textbf{b}}

E’ dunque possibile riscrivere i sistemi lineari in una forma che utilizza le matrici.

E’ immediato convincersi di questo poiché effettivamente il prodotto {A \cdot \textbf{x}} fornisce come risultato un vettore colonna avente per elementi i primi membri di ciascuna equazione del sistema:

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}  \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z \\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z \\ a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z\end{pmatrix}

Così la scrittura {A \cdot \textbf{x} = \textbf{b}} diviene:

 \begin{pmatrix} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z \\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z \\ a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{pmatrix}

Ma i due vettori colonna saranno uguali tra loro soltanto se i corrispondenti elementi sono tra loro uguali:

\begin{cases} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1 \\ \\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2 \\ \\ a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3\end{cases}

Abbiamo così ritrovato il sistema di partenza. 😉

Matrice triangolare superiore

Per poter cominciare a risolvere i sistemi lineari con il metodo di Gauss utilizzando le matrici, ci manca ancora una semplice ma importante definizione.

La diagonale principale di una matrice quadrata è la diagonale (formata da elementi della matrice) che parte dall’angolo in alto a sinistra ed arriva all’angolo in basso a destra. Più precisamente, la diagonale principale è la diagonale formata dagli elementi {a_{ij}} tali che {i=j}. Ad esempio, nella seguente matrice sono evidenziati in rosso gli elementi che individuano la diagonale principale:

\begin{pmatrix} \color{red}{5} & 77 & 8 \\ -2 & \color{red}{45} & 67 \ \\ 1 & -23 & \color{red}{-3}\end{pmatrix}

E’ immediato verificare che per ogni elemento evidenziato in rosso il corrispondente numero di riga è uguale al corrispondente numero di colonna.

Una matrice triangolare superiore è una matrice quadrata tale da avere nulli tutti gli elementi che si trovano al di sotto della diagonale principale. Ad esempio la seguente è una matrice triangolare superiore:

\begin{pmatrix} \color{red}{1} & 67 & {45} \\\textbf{0} & \color{red}{-77} & 62 \\ \textbf{0} & \textbf{0} &\color{red}{-45}\end{pmatrix}

Il primo elemento diverso da zero che incontriamo lungo ciascuna riga della matrice procedendo da sinistra verso destra si dice pivot.

Anche la seguente è una matrice triangolare superiore:

\begin{pmatrix} 1 & 6 & 9 \\ 0 & 0 & 7\\ 0 &0 & 3\end{pmatrix}

Osserviamo che un elemento della diagonale principale è uguale a zero, ma la matrice è comunque triangolare superiore. Infatti, tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale sono comunque nulli.

Come vedremo più avanti, saremo interessati a particolari matrici triangolari superiori ove tutti gli elementi della diagonale principale sono pivot. Ciò equivale a dire, matrici triangolari superiori ove nella diagonale principale abbiamo elementi tutti diversi da zero.

Queste ultime definizioni sono molto importanti poiché le utilizzeremo nell’applicare il metodo di Gauss lavorando direttamente sulla matrice completa del sistema. Vediamo subito di cosa si tratta, dato che ormai siamo pronti a risolvere i sistemi lineari con il metodo di Gauss utilizzando le matrici.

Metodo di Gauss (eliminazione di Gauss) per i sistemi lineari (lavorando direttamente sulla matrice completa del sistema)

Nota. Per ora supporremo di avere a che fare esclusivamente con sistemi determinati. Ci occuperemo comunque anche del caso dei sistemi indeterminati ed impossibili alla fine della lezione.

Risolviamo il seguente sistema lineare:

\begin{cases} x-2y+2z=15 \\ \\ x-2y+z=10 \\ \\ 2x-y+2z=-10\end{cases}

Osserviamo anzitutto che il sistema è già dato in forma normale.

Ora, invece di lavorare direttamente sulle equazioni, proviamo a riscrivere il sistema nella forma matriciale {A \textbf{x} = \textbf{b}}. Questa è l’idea per risolvere i sistemi lineari con il metodo di Gauss utilizzando le matrici. Abbiamo:

\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & 2\end{pmatrix} }_{\text{matrice dei coefficienti A}}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ 10 \\ -10\end{pmatrix}

Se a questo punto affianchiamo alla matrice dei coefficienti il vettore colonna dei termini noti, all’interno della matrice, otteniamo una matrice rettangolare detta matrice completa del sistema:

\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 2 & 15 \\ 1 & -2 & 1 & 10 \\ 2 & -1 & 2 & -10\end{array} \right)

Osserviamo che abbiamo separato la matrice dei coefficienti dal vettore colonna dei termini noti con una linea verticale. In tal modo all’interno della matrice completa manteniamo distinti tali oggetti.

Ora se riusciamo a ridurre la matrice dei coefficienti ad una matrice triangolare superiore con i pivot tutti sulla diagonale principale, il sistema diventa triangolare (o comunque di una forma risolvibile con le sostituzioni a ritroso). Per convincerci di questo, basta riprendere il sistema risolto in precedenza riscritto nella forma triangolare:

 \begin{cases} 3x+5y+z=2 \\ \\ -2y+8z=34 \\ \\ 7z=28\end{cases}

La matrice dei coefficienti corrispondente a tale sistema è proprio triangolare superiore con i pivot tutti sulla diagonale principale:

\begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 0 & -2 & 8 \\ 0 & 0 & 7\end{pmatrix}

Riprendiamo ora la matrice completa del sistema che stiamo risolvendo ora, e vediamo di eseguire su di essa delle operazioni in modo da ridurre la matrice dei coefficienti ad una matrice triangolare superiore.

\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 2 & 15 \\ 1 & -2 & 1 & 10 \\ 2 & -1 & 2 & -10\end{array} \right)

Ora, visto che gli elementi della matrice sono i coefficienti delle incognite e i termini noti, nello stesso ordine in cui si presentano nel sistema da risolvere, capiamo immediatamente che se scambiamo tra loro due righe della matrice completa non facciamo altro che scambiare tra loro di posto due equazioni all’interno del sistema. E tale operazione restituisce un sistema equivalente a quello di partenza (l’ordine nel quale si presentano le equazioni del sistema non ne altera infatti l’eventuale soluzione).

Allo stesso modo, se moltiplichiamo una riga della matrice completa per un certo numero diverso da zero, non facciamo altro che moltiplicare tutti i termini della corrispondente equazione del sistema per uno stesso numero. E ciò è lecito poiché equivale ad applicare il secondo principio di equivalenza delle equazioni.

Infine, se sostituiamo una riga della matrice completa con il vettore riga che risulta dalla somma di due vettori riga della matrice completa stessa, di cui uno corrispondente alla riga sostituita, non facciamo altro che sostituire un’equazione del sistema con la somma algebrica membro a membro di due equazioni presenti nel sistema (una delle quali è ovviamente l’equazione che sostituiamo). Osserviamo che anche questa operazione è lecita, poiché effettivamente equivale ad applicare il primo principio di equivalenza (abbiamo visto questo nell’introdurre il metodo di riduzione per i sistemi lineari).

E tutte le operazioni sulle equazioni che abbiamo sin qui elencato sono proprio quelle che abbiamo utilizzato per ridurre alla forma triangolare il sistema lineare dell’esempio dato all’inizio della lezione. E di conseguenza, le corrispondenti operazioni relative alla matrice completa del sistema ci permetteranno di ridurre la matrice dei coefficienti ad una matrice triangolare superiore con pivot tutti sulla diagonale principale.

In conclusione, per ridurre la matrice dei coefficienti ad una matrice triangolare superiore con le richieste caratteristiche, possiamo lavorare sulla matrice completa del sistema effettuando le seguenti operazioni elementari, dette mosse di Gauss:

• scambiare tra loro due qualsiasi righe della matrice completa;
• moltiplicare tutti gli elementi di una riga qualsiasi della matrice completa per uno stesso numero diverso da zero;
• sommare ordinatamente a tutti gli elementi di una data riga della matrice completa ogni elemento di un’altra riga della matrice completa. La somma si esegue elemento per elemento.

Osserviamo che l’ultimo punto è soltanto una più semplice riformulazione del tutto equivalente dell’operazione di sostituire un vettore riga della matrice dei coefficienti con un’opportuna somma algebrica relativa a quello stesso vettore riga e ad un altro vettore riga presente nella stessa matrice dei coefficienti.

Attenzione. Le mosse di Gauss riguardano sempre e soltanto le righe della matrice completa e mai le colonne. Inoltre, ricordiamo sempre che dobbiamo lavorare sulle intere righe della matrice completa, e non soltanto sulle righe dalla matrice dei coefficienti.

Ora vediamo nella pratica come procedere.

Riguardiamo ancora la matrice completa del sistema:

\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 2 & 15 \\ 1 & -2 & 1 & 10 \\ 2 & -1 & 2 & -10\end{array} \right)

Il primo pivot è l’elemento {1} all’inizio della prima riga. E fin qui, ci siamo. Tuttavia, per poter rendere la matrice dei coefficienti triangolare superiore desideriamo che l’elemento al di sotto del primo pivot, ovvero il primo elemento della seconda riga, sia zero.

Moltiplichiamo allora tutti gli elementi della prima riga della matrice completa per {-1}. In questo modo il primo elemento della prima riga diventerà l’opposto del primo elemento della seconda riga:

\left( \begin{array}{ccc|c} -1 & 2 & -2 & -15 \\ 1 & -2 & 1 & 10 \\ 2 & -1 & 2 & -10\end{array} \right)

A questo punto sommiamo a ciascun elemento della seconda riga l’elemento soprastante della prima riga:

\left( \begin{array}{ccc|c} -1 & 2 & -2 & -15 \\ 0 & 0 & -1 & -5 \\ 2 & -1 & 2 & -10\end{array} \right)

Ed ecco che abbiamo annullato il primo elemento della seconda riga, come desiderato: l’elemento sotto il primo pivot della matrice è adesso uguale a zero. Tuttavia, abbiamo un inconveniente: anche il secondo elemento della seconda riga è uguale a zero. Invece, desideriamo che i pivot siano tutti lungo la diagonale principale della matrice dei coefficienti.

Dobbiamo allora scambiare tra loro la seconda e la terza riga della matrice completa. Infatti, nella matrice dei coefficienti così come è ora ci ritroviamo un elemento uguale a zero nella diagonale principale. Abbiamo:

\left( \begin{array}{ccc|c} -1 & 2 & -2 & -15 \\   2 & -1 & 2 & -10 \\ 0 & 0 & -1 & -5\end{array} \right)

Ora non resta che fare in modo che il primo elemento dell’attuale seconda riga diventi zero. Per fare ciò, moltiplichiamo anzitutto per {2} tutti gli elementi della prima riga della matrice completa:

\left( \begin{array}{ccc|c} -2 & 4 & -4 & -30 \\   2 & -1 & 2 & -10 \\ 0 & 0 & -1 & -5\end{array} \right)

quindi sommiamo a ciascun elemento della seconda riga della matrice completa gli elementi soprastanti:

\left( \begin{array}{ccc|c} -2 & 4 & -4 & -30 \\   0 & 3 & -2 & -40 \\ 0 & 0 & -1 & -5\end{array} \right)

Ma a questo punto ci siamo! La matrice dei coefficienti è ora triangolare superiore e tutti i pivot si trovano sulla diagonale principale. E adesso si tratterà di scrivere il sistema lineare corrispondente alla matrice completa che abbiamo appena ottenuto. Basta ricordare che a sinistra della linea verticale abbiamo la matrice dei coefficienti del sistema, e a destra i termini noti di ciascuna equazione del sistema stesso.

Scriviamo quindi il sistema, tenendo conto che il coefficiente del termine nell’incognita {x} della seconda equazione è zero, e che sono anche zero i coefficienti dei termini nelle incognite {x} e {y} relativi alla terza equazione:

\begin{cases} -2x+4y-4z=-30 \\ \\ 3y-2z=-40 \\ \\ -z=-5\end{cases}

A questo punto come nell’esempio visto all’inizio della lezione possiamo risolvere il sistema utilizzando le sostituzioni a ritroso. Abbiamo:

\small \begin{cases} -2x+4y-4z=-30 \quad \rightarrow \quad -2x=-30-4 \cdot (-10)+4\cdot5 \quad \rightarrow \quad x=-15\\ \\ 3y-2z=-40  \quad \rightarrow \quad 3y=-40+2 \cdot 5  \quad \rightarrow \quad y=-10\\ \\ z=5 \end{cases}

Il sistema ammette quindi come soluzione la terna ordinata {(x, \: y, \: z)} uguale a:

(-15, \: -10, \: 5)

Osservazione. I vantaggi del metodo qui proposto non sono particolarmente evidenti nel semplice caso di sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite. Ma dalle quattro equazioni in su il metodo si rivela molto più efficiente dei tradizionali metodi che vengono studiati alle scuole superiori.
Inoltre, il metodo di eliminazione gaussiana può essere implementato al calcolatore garantendo una maggiore efficienza ed una più facile stesura del codice di programmazione rispetto agli altri metodi presentati nelle lezioni precedenti. Infatti il metodo di eliminazione gaussiana non richiede algoritmi di calcolo simbolico, considerata la semplicità del procedimento di sostituzioni a ritroso, e quindi risulta un metodo “meccanico” al pari del metodo di Cramer, ma ben più leggero a livello dei calcoli.

Esercizi di esempio sui sistemi lineari risolti con il metodo di Gauss (eliminazione gaussiana), lavorando direttamente sulle matrici complete

Esercizio 1

Vediamo come risolvere il seguente sistema lineare utilizzando il metodo di Gauss:

\begin{cases} x+2z=1 \\ \\ -x+y+z=1 \\ \\ 2x-2y=1\end{cases}

Osserviamo che il sistema è già in forma normale. Scriviamo la matrice completa, tenendo conto che alle incognite mancanti nella prima e nella terza equazione del sistema corrisponderanno dei coefficienti uguali a zero:

\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & -2 & 0 & 1\end{array} \right)

Ora effettuiamo le mosse di Gauss sulle righe della matrice completa in modo da ricondurre la matrice dei coefficienti ad una matrice triangolare superiore.

Nella prima riga ritroviamo correttamente il pivot nel primo elemento. Per quanto riguarda la seconda riga, dobbiamo rendere nullo il primo elemento, di modo che il secondo elemento di questa riga diventi il pivot della riga stessa. Per fare questo, lavorando sulla matrice completa basta sommare alla seconda riga la prima riga:

\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2\\ 2 & -2 & 0 & 1\end{array} \right)

Nota. Con l’espressione “sommare alla seconda riga la prima riga” intendiamo più brevemente l’operazione a noi già nota che consiste nel sommare a ciascun elemento della seconda riga il soprastante elemento della prima riga.

Ora dobbiamo rendere uguale a zero il primo e il secondo elemento della terza riga. Cominciamo con il primo elemento. L’idea è quella di moltiplicare anzitutto per {-2} la prima riga della matrice completa:

\left( \begin{array}{ccc|c} -2 & 0 & -4 & -2\\ 0 & 1 & 3 & 2\\ 2 & -2 & 0 & 1\end{array} \right)

A questo punto sommiamo alla terza riga la prima riga, in modo da rendere uguale a zero il primo elemento della terza riga:

\left( \begin{array}{ccc|c} -2 & 0 & -4 & -2 \\ 0 & 1 & 3 & 2\\ 0 & -2 & -4 & -1\end{array} \right)

Ora, moltiplichiamo per {2} la seconda riga (sempre della matrice completa, non dimentichiamo mai di lavorare anche sugli elementi del vettore colonna dei termini noti):

\left( \begin{array}{ccc|c} -2 & 0 & -4 & -2 \\ 0 & 2 & 6 & 4\\ 0 & -2 & -4 & -1\end{array} \right)

Ora sommiamo alla terza riga la seconda riga, in modo da annullare il secondo elemento della terza riga:

\left( \begin{array}{ccc|c} -2 & 0 & -4 & -2 \\ 0 & 2 & 6 & 4\\ 0 & 0 & 2 & 3\end{array} \right)

A questo punto ci siamo: tutti i pivot si trovano nella diagonale principale della matrice dei coefficienti, e di conseguenza tale matrice è ora triangolare superiore.

Osservazione. Non importa che nella matrice dei coefficienti oltre agli elementi al di sotto della diagonale principale ci siano anche altri elementi nulli. Infatti, perché tale matrice possa dirsi “triangolare superiore con pivot tutti sulla diagonale principale” l’unica cosa che conta è che tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale siano nulli, a prescindere dai valori assunti dagli altri elementi, zero compreso. Così nel nostro caso non importa che l’elemento che si trova nella prima riga e nella seconda colonna è nullo.

Scriviamo a questo punto il sistema lineare corrispondente alla matrice completa appena scritta:

\begin{cases}-2x-4z=-2 \\ \\ 2y+6z=4 \\ \\ 2z=3 \end{cases}

Osservazione. Con riferimento a quanto visto all’inizio della lezione, il sistema in questo caso non è propriamente in forma triangolare, ma può essere comunque reso triangolare aggiungendo nella prima equazione un termine {0y}. Tuttavia, lavorando con le matrici ciò che ora ci interessa è soltanto che la matrice dei coefficienti abbia forma triangolare (con pivot tutti sulla diagonale principale). In tal caso il sistema che otteniamo è comunque risolubile utilizzando delle sostituzioni a ritroso.

Partendo dalla terza equazione ed effettuando le sostituzioni a ritroso otteniamo infine:

\begin{cases}-2x-4z=-2  \quad \rightarrow \quad x=\dfrac{-2+4z}{-2}=-2\\ \\ 2y+6z=4 \quad \rightarrow \quad y=\dfrac{4-6z}{2}=-\dfrac{5}{2} \\ \\ 2z=3 \quad \rightarrow \quad z=\dfrac{3}{2} \end{cases}

Il sistema ammette in conclusione come soluzione la terna di valori:

\left( -2 , \: -\dfrac{5}{2}, \: \dfrac{3}{2}\right)

Vediamo ora come cavarcela con un sistema di quattro equazioni in quattro incognite. 😉

Esercizio 2

Risolviamo il seguente sistema lineare (determinato) di quattro equazioni in quattro incognite con il metodo di Gauss (eliminazione gaussiana):

\begin{cases} y+t=2 \\ \\ 2x+y+t=0 \\ \\ -x+z-t=1 \\ \\ 2x-y+z=0\end{cases}

Osserviamo che la lettera {t} è da intendersi a prescindere dall’ordine alfabetico come successiva alla lettera {z}. Inoltre, sappiamo già come dato di partenza che il sistema è determinato, e quindi la sua soluzione è una quaterna del tipo {(x, \: y, \: z, \: t)}.

Nonostante la presenza di quattro equazioni in quattro incognite, il metodo risolutivo non si complica significativamente rispetto al caso dell’esercizio precedente.

Cominciamo scrivendo la matrice completa del sistema:

\left( \begin{array}{cccc|c}0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2&1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 &0& 1 &-1& 1 \\ 2 &-1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right)

Dobbiamo lavorare sulle righe della matrice completa utilizzando le mosse di Gauss, in modo da ridurre la matrice dei coefficienti ad una matrice triangolare superiore.

Stavolta il primo elemento della prima riga è uguale a zero e quindi non è un pivot. Poiché vogliamo avere un pivot come primo elemento della prima riga, procediamo scambiando tra loro la prima riga e la seconda riga della matrice completa:

\left( \begin{array}{cccc|c}2&1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\  -1 &0& 1 &-1& 1 \\ 2 &-1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right)

A questo punto moltiplichiamo per {2} la terza riga:

\left( \begin{array}{cccc|c}2&1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\  -2 &0& 2 &-2& 2 \\ 2 &-1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right)

Ora sommiamo alla terza riga la prima riga:

\left( \begin{array}{cccc|c}2&1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\  0 &1& 2 &-1& 2 \\ 2 &-1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right)

A questo punto dobbiamo annullare il secondo elemento della terza riga, poiché desideriamo, lo ricordiamo, che i pivot si trovino tutti lungo la diagonale principale della matrice dei coefficienti. E attenzione, nel fare questo dobbiamo mantenere nullo il primo elemento della terza riga.

L’idea è quella di moltiplicare per {-1} la seconda riga, e quindi sommare alla terza riga proprio la seconda riga. In tal modo manterremo nullo il primo elemento della terza riga, e allo stesso tempo annulleremo il secondo elemento della riga stessa.

\left( \begin{array}{cccc|c}2&1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 &- 1 & -2 \\  0 &1& 2 &-1& 2 \\ 2 &-1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right); \qquad  \left( \begin{array}{cccc|c}2&1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 &- 1 & -2 \\  0 &0& 2 &-2& 0 \\ 2 &-1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right)

Ora cominciamo ad annullare i primi tre elementi della quarta riga. Prima di tutto, moltiplichiamo per {-1} la prima riga. Ciò deriva dal fatto che sia nella prima riga, sia nella quarta riga abbiamo un primo elemento uguale a {2}:

\left( \begin{array}{cccc|c}-2&-1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 &- 1 & -2 \\  0 &0& 2 &-2& 0 \\ 2 &-1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right)

Ora sommiamo alla quarta riga la prima riga. In tal modo riusciamo ad annullare il primo elemento della quarta riga:

\left( \begin{array}{cccc|c}-2&-1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 &- 1 & -2 \\  0 &0& 2 &-2& 0 \\ 0 &-2 & 1 & -1 & 0 \end{array} \right)

Procediamo annullando l’elemento {-2} nella quarta riga. Allo scopo moltiplichiamo prima di tutto per {-2} la seconda riga:

\left( \begin{array}{cccc|c}-2&-1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 &2 & 4 \\  0 &0& 2 &-2& 0 \\ 0 &-2 & 1 & -1 & 0 \end{array} \right)

Quindi sommiamo alla quarta riga la seconda riga:

\left( \begin{array}{cccc|c}-2&-1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 &2 & 4 \\  0 &0& 2 &-2& 0 \\ 0 &0 & 1 & 1 & 4 \end{array} \right)

Ora resta da annullare soltanto il terzo elemento della quarta riga.

Moltiplichiamo l’ultima riga per {-2}:

\left( \begin{array}{cccc|c}-2&-1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 &2 & 4 \\  0 &0& 2 &-2& 0 \\ 0 &0 & -2 & -2 & -8 \end{array} \right)

Infine sommiamo alla quarta riga la terza riga:

\left( \begin{array}{cccc|c}-2&-1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 &2 & 4 \\  0 &0& 2 &-2& 0 \\ 0 &0 & 0 & -4 & -8 \end{array} \right)

Finalmente la matrice dei coefficienti è una matrice triangolare superiore, ed i pivot sono tutti sulla diagonale principale.

Ora non resta che scrivere il sistema corrispondente alla matrice completa appena scritta:

\begin{cases} -2x-y-t=0 \\ \\ 2y+2t=4 \\ \\ 2z-2t=0 \\ \\ -4t=-8\end{cases}

A questo punto procediamo con le sostituzioni a ritroso, partendo come sempre dall’ultima equazione. Dovremo quindi ricavare prima l’incognita {t}, poi l’incognita {z}, a seguire l’incognita {y} ed infine l’incognita {x}:

\begin{cases} -2x-y-t=0 \quad \rightarrow \quad x=\dfrac{y+t}{-2}=\dfrac{0+2}{-2}=-1 \\ \\ 2y+2t=4\quad \rightarrow \quad y=\dfrac{4-2t}{2}=\dfrac{4-2\cdot2}{2}=0 \\ \\ 2z-2t=0 \quad \rightarrow \quad z=\dfrac{2t}{2}=\dfrac{2 \cdot 2 }{2}=2\\ \\ -4t=-8 \quad \rightarrow \quad t=2\end{cases}

In conclusione il sistema ammette come soluzione la quaterna:

(-1, \: 0, \: 2 , \: 2)

Grazie alla genialità del metodo di Gauss siamo quindi riusciti a risolvere un sistema lineare di quattro equazioni in quattro incognite semplicemente manipolando la matrice completa del sistema di partenza con delle operazioni elementari, ed effettuando infine delle agevoli sostituzioni a ritroso nel sistema che risulta dalla matrice dei coefficienti ridotta a triangolare superiore e dal nuovo vettore colonna dei termini noti.

Sistemi lineari indeterminati ed impossibili

Finora abbiamo ipotizzato di avere a che fare unicamente con sistemi lineari determinati. Consideriamo ora invece i casi di un sistema lineare indeterminato oppure impossibile.

Nello studio del metodo di riduzione abbiamo appreso a suo tempo che se risolvendo un sistema ci ritroviamo con un’equazione che si riduce all’identità {0=0}, allora il sistema è indeterminato. Diversamente, se nel risolvere il sistema ci ritroviamo con due equazioni aventi al secondo membro dei numeri diversi tra loro e ai primi membri una stessa quantità letterale, allora il sistema è impossibile.

Così ad esempio se nel risolvere un sistema ci ritroviamo con:

\begin{cases} x+y=7 \\ \\ x+y=7\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x+y=7 \\ \\  0 = 0\end{cases}

allora il sistema è indeterminato.

Invece, se risolvendo un sistema ci ritroviamo in una situazione del tipo:

\begin{cases} 2x+3y=5 \\ \\ 2x+3y=9\end{cases}

allora il sistema è impossibile.

Ora, dato che alle mosse di Gauss corrispondono delle operazioni che eseguiamo sulle equazioni del sistema, possiamo concludere quanto segue:

• se utilizzando le mosse di Gauss ad un certo punto una riga della matrice completa è costituita da elementi tutti nulli, allora il sistema è indeterminato;
• ancora, se utilizzando le mosse di Gauss ci ritroviamo con due righe della matrice dei coefficienti tra loro uguali ma con i corrispondenti elementi del vettore colonna dei termini noti diversi tra loro, allora il sistema è impossibile.

Infatti, relativamente al primo punto supponiamo applicando le mosse di Gauss di ritrovarci con la seguente matrice completa:

\left( \begin{array}{ccc|c}2 & 5 & 7 & 0 \\  -5 & 2 & 3 & -2 \\ 0 & 0  & 0 & 0 \end{array}\right)

In essa una riga è costituita da elementi tutti nulli. Quindi per quanto detto ci aspettiamo che ad essa corrisponda un sistema indeterminato. Ed infatti, scrivendo il sistema lineare corrispondente alla matrice abbiamo:

\begin{cases} 2x+5y+7z=0 \\ \\ -5x+2y+3z=-2 \\ \\ 0 = 0\end{cases}

Data la presenza dell’identità {0=0} effettivamente il sistema è indeterminato.

Se invece applicando le mosse di Gauss ci ritroviamo con la seguente matrice completa, che conclusione possiamo trarre?

\left( \begin{array}{ccc|c}\color{blue}{2} & \color{blue}5 & \color{blue}3 & \color{red}{7} \\ \color{blue}2 & \color{blue}5 & \color{blue}3 & \color{red}{-4} \\ 3 & 0 & 9 & 1 \end{array} \right)

In questo caso le prime due righe della matrice dei coefficienti sono tra loro uguali, ma i corrispondenti elementi nel vettore colonna dei termini noti sono tra loro differenti. Quindi ci aspettiamo che il sistema corrispondente a tale matrice completa sia impossibile. Effettivamente abbiamo:

\begin{cases} 2x+5y+3z=7 \\ \\ 2x+5y+3z= - 4 \\ \\  3x+9z=1\end{cases}

e un tale sistema è impossibile. Infatti la stessa quantità letterale {2x+5y+3z} non può essere contemporaneamente uguale a due differenti numeri.

In generale per poter stabilire se un sistema lineare è compatibile oppure no (ovvero se è impossibile, indeterminato o determinato) ancor prima di risolverlo bisogna utilizzare il teorema di Rouché-Capelli, del quale ci occuperemo in una successiva lezione.

Per quanto riguarda il legame tra sistemi lineari e matrici per il momento è tutto. In questa lezione introduttiva all’algebra lineare abbiamo voluto mostrare come l’utilizzo delle matrici consenta di lavorare in maniera più rapida sugli oggetti matematici. In particolare il metodo di eliminazione gaussiana (o metodo di Gauss) consente di risolvere i sistemi lineari eseguendo operazioni elementari su una matrice e quindi eseguendo delle sostituzioni a ritroso piuttosto immediate.

Buon proseguimento a tutti con SìMatematica!