La sintesi tra le due operazioni di addizione tra polinomi e di sottrazione tra polinomi è data dal concetto di somma algebrica di polinomi.
Una somma algebrica di polinomi rappresenta un modo alternativo per scrivere un’espressione contenente le operazioni di addizione e sottrazione tra polinomi. Così saremo in grado di calcolare espressioni contenenti somme e differenze tra polinomi, anche con vari livelli di parentesi, riconducendoci ad una somma algebrica tra polinomi.
Vediamo allora subito cosa si intende per somma algebrica tra polinomi.
Calcolo di una somma algebrica di polinomi
Consideriamo la seguente somma algebrica di polinomi:
3x^2+2x+7+(-2x^2-9x-15)+(2x^2-8x+9)
Parliamo di somma algebrica poiché effettivamente l’unico operatore che compare è quello di addizione (i più davanti alle parentesi). Gli altri simboli rappresentano i segni di ciascun termine e non indicano propriamente un’operazione.
Eliminando le parentesi secondo le regole stabilite nelle precedenti lezioni otteniamo:
\begin{align*} & 3x^2+2x+7+(-2x^2-9x-15)+(2x^2-8x+9) = \\ \\ & =\boxed{ 3x^2+2x+7-2x^2-9x-15+2x^2-8x+9}\end{align*}Ora, nessuno ci vieta di vedere una prima parte dell’espressione di partenza come una sottrazione tra due polinomi:
\underbrace{3x^2+2x+7-(2x^2+9x+15)}_{\text{differenza tra polinomi}}+(2x^2-8x+9) E infatti sviluppando la differenza ritroviamo la precedente espressione nel riquadro.
Allo stesso modo, è possibile piuttosto che sommare il polinomio 2x^2-8x+9 sottrarre il suo opposto:
3x^2+2x+7+(-2x^2-9x-15)\underbrace{-(-2x^2+8x-9) }_{\text{sottrazione equivalente}}Anche in questo caso sviluppando l’espressione appena scritta ritroviamo ritroviamo l’espressione nel riquadro.
Ciò significa che è sempre possibile ricondurre operazioni di addizioni e sottrazioni tra polinomi ad un’unica operazione detta somma algebrica.
Per il calcolo di addizioni e sottrazioni tra polinomi basta considerare equivalenti espressioni contenenti unicamente somme algebriche.
In particolare ci ritroveremo a dover calcolare espressioni con polinomi contenenti addizioni e sottrazioni tra più quantità anche con vari livelli di parentesi. Ma per cavarcela ricondurremo le operazioni contenute in tali espressioni a somme algebriche.
Vediamo allora un paio di esempi di calcolo di espressioni con polinomi.
Esempio 1
(3a-5b)-(a+2b)-(5a-7b)
Nell’espressione compaiono delle sottrazioni corrispondenti ai segni meno davanti alle parentesi. Trasformiamo tali sottrazioni in somme dei corrispondenti polinomi opposti:
\begin{align*} &(3a-5b)-(a+2b)-(5a-7b) = \\ \\ & = 3a-5b\boxed{+}(\underbrace{-a-2b}_{\text{p. opposto}})\boxed{+}(\underbrace{-5a+7b}_{\text{p. opposto}}) = \\ \\ & = 3a-5b-a-2b-5a+7b= \\ \\ & = (3-1-5)a+(-5-2+7)b= -3a \end{align*}Nello svolgere i calcoli ci siamo liberati delle parentesi utilizzando quanto sappiamo sull’addizione e sottrazione tra polinomi.
Esempio 2
\small 3x^2-\left[ -xy-\left( 5x^2-2xy+y^2\right)-\left( -2xy+4x^2-3y^2\right)-\left( 7x^2-5y^2\right)\right]
Come nel caso precedente, passiamo da sottrazioni di polinomi a somme dei corrispondenti polinomi opposti. Cominciamo a lavorare all’interno delle parentesi quadre, sommando i termini simili mano a mano che si presentano:
\small \begin{align*}&3x^2-\left[ -xy-\left( 5x^2-2xy+y^2\right)-\left( -2xy+4x^2-3y^2\right)-\left( 7x^2-5y^2\right)\right] = \\ \\ & = 3x^2-\left[ -xy+(-5x^2+2xy-y^2)+(2xy-4x^2+3y^2)+(-7x^2+5y^2)\right]= \\ \\ & = 3x^2-\left[ -xy-5x^2+2xy-y^2+2xy-4x^2+3y^2-7x^2+5y^2\right]= \\ \\ & = 3x^2-\left[ (-1+2+2)xy+(-5-4-7)x^2+(-1+3+5)y^2 \right] = \\ \\ & = 3x^2-\left(3xy-16x^2+7y^2 \right) = 3x^2+(-3xy+16x^2-7y^2)= \\ \\ & = 3x^2-3xy+16x^2-7y^2 = 19x^2-3xy-7y^2\end{align*}Esempio 3
Calcoliamo la seguente espressione:
\dfrac{1}{2}x^2-x+3-\left[ \dfrac{3}{2}x^2-(x-3+x^2)\right]Anche in questo caso cominciamo dal contenuto delle parentesi quadre, riconducendo la differenza tra polinomi ad una somma algebrica:
\begin{align*}& \dfrac{1}{2}x^2-x+3-\left[ \dfrac{3}{2}x^2-(x-3+x^2)\right] = \\ \\ & = \dfrac{1}{2}x^2-x+3-\left[ \dfrac{3}{2}x^2 +(-x+3-x^2)\right] = \\ \\ & = \dfrac{1}{2}x^2-x+3-\left( \dfrac{3}{2}x^2-x+3-x^2\right) = \\ \\ & = \dfrac{1}{2}x^2-x+3+\left(- \dfrac{3}{2}x^2+x-3+x^2\right) = \\ \\ & = \dfrac{1}{2}x^2-x+3-\dfrac{3}{2}x^2+x-3+x^2 = 0\end{align*}Per questa lezione è tutto. Per chi vuole ulteriormente allenarsi sulle somme algebriche tra polinomi è disponibile l’esercitazione correlata.
Nella prossima lezione ci occuperemo della moltiplicazione di un polinomio per un monomio. E ciò costituirà la preparazione per il passo successivo, ovvero la moltiplicazione tra polinomi. Buon lavoro!
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