In questa lezione vediamo come si esegue la somma di radicali simili (impropriamente detta “somma tra radici”). Vedremo in particolare come l’operazione di somma tra radicali simili è del tutto analoga alla somma di monomi simili.
Precisiamo che intenderemo l’operazione in senso algebrico. Così, ci occuperemo più precisamente della somma algebrica di radicali simili. E in questo modo tratteremo entrambe le operazioni di addizione e sottrazione tra radicali.
Nell’effettuare la somma algebrica di radicali simili ci sarà utile quanto abbiamo appreso nella precedente lezione sulla semplificazione dei radicali.
Senza ulteriori indugi, vediamo subito le regole per eseguire la somma tra radicali (somma tra radici).
Regola per la somma tra radicali simili
Ricordiamo che un radicale è una particolare espressione algebrica che contiene una quantità sotto radice:
\sqrt[n]{a}Il numero naturale n è l’indice della radice mentre la quantità all’interno della radice è il radicando.
Ciascun radicale è dunque individuato distintamente una volta stabiliti il valore dell’indice e il radicando.
Rivolgiamo ora la nostra attenzione a particolari espressioni algebriche costituite da più fattori dei quali almeno uno è un radicale. Ad esempio:
2 \sqrt{x}Come possiamo vedere, l’espressione è data dal prodotto di un numero per il radicale {\sqrt{x}}. Anche un’espressione di questo tipo viene a sua volta considerata un radicale. Infatti, possiamo vederla benissimo come un radicale nel quale è stato portato fuori un fattore dal simbolo di radice.
Nel caso in cui due o più radicali abbiano lo stesso indice e lo stesso radicando si dicono simili. Ad esempio, i due radicali:
\sqrt{x}; \qquad 2 \sqrt{x}sono simili. Infatti hanno entrambi indice {2} e radicando {x}.
In particolare, osserviamo che l’espressione {2 \sqrt{x}} significa “due volte il radicale {\sqrt{x}}“. Effettivamente, stiamo considerando il doppio della quantità {\sqrt{x}}. Così abbiamo, evidentemente:
2\sqrt{x}=\sqrt{x}+\sqrt{x}Senza ombra di dubbio infatti, il doppio di una quantità è uguale alla somma di quella stessa quantità con sé stessa.
Rileggendo l’uguaglianza nell’altro senso abbiamo inoltre:
\sqrt{x}+\sqrt{x}=2\sqrt{x}Deduciamo quindi la seguente regola.
E’ possibile sommare tra loro dei radicali simili, allo stesso modo con il quale è possibile sommare tra loro dei monomi simili.
Non è invece possibile sommare tra loro dei radicali non simili. In particolare attenzione alla seguente disuguaglianza:
\sqrt{x}+\sqrt{y} \neq \sqrt{x+y} \qquad \textbf{attenzione!}Infatti possiamo riscrivere la somma tra i radicali al primo membro della disuguaglianza come:
x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}Ora è ancora più evidente che non possiamo sommare le quantità {x} e {y} tra loro. Infatti, sostituendo ad esempio alle quantità letterali dei numeri, dovremo prima calcolare le potenze e poi eseguire la somma. Diversamente andremmo contro alle regole di precedenza delle operazioni.
Vediamo subito degli esempi sulla somma algebrica di radicali simili.
Esempio 1
Calcolare la seguente somma algebrica tra radicali simili:
4\sqrt{7}+3\sqrt{7}-2\sqrt{7}Osserviamo che i radicali sono simili poiché hanno tutti come indice {2} e come radicando {7}. Si tratterà di scrivere come risultato della somma un radicale avente un fattore pari al fattore comune {\sqrt{7}} e un altro fattore uguale alla somma dei rimanenti fattori numerici in ciascun radicale:
4\sqrt{7}+3\sqrt{7}-2\sqrt{7}=(4+3-2)\sqrt{7}=5\sqrt{7}La logica è del tutto simile a quella della somma di monomi. In particolare, basta far finta di avere dei monomi con “parte letterale” {\sqrt{7}}.
Esempio 2
Calcolare la seguente somma algebrica:
\dfrac{1}{2}\sqrt{3}+8\sqrt{3}-77\sqrt{3}Osservando che tutti i termini condividono come fattore la quantità {\sqrt{3}} abbiamo:
\small \dfrac{1}{2}\sqrt{3}+8\sqrt{3}-77\sqrt{3}=\left( \dfrac{1}{2}+8-77\right)\sqrt{3}=\left( \dfrac{1+16-154}{2}\right)\sqrt{3}=-\dfrac{137}{2}\sqrt{3}A volte per poter sommare dei radicali tra loro dobbiamo prima semplificarli o comunque portare fuori dalla radice dei fattori. L’obiettivo delle semplificazioni è quello di riconoscere eventuali radicali simili. Consideriamo ad esempio la seguente somma di radicali:
\sqrt{5}+\sqrt{20}-\sqrt{80}Apparentemente i radicali non sono simili. Tuttavia, osserviamo che nel secondo e terzo termine è possibile portare dei fattori fuori dalla radice:
\sqrt{20}=\sqrt{2^2 \cdot 5} = 2 \sqrt{5}; \qquad -\sqrt{80}=-\sqrt{ 2^4 \cdot 5 }=-2^2 \sqrt{5}=-4\sqrt{5}Di conseguenza riconosciamo nella somma di partenza dei radicali simili e possiamo calcolarla:
\sqrt{5}+\sqrt{20}-\sqrt{80}=\sqrt{5}+2\sqrt{5}-4\sqrt{5}=(1+2-4)\sqrt{5}=-\sqrt{5}Esempio 3
Calcolare:
\sqrt{2}+\sqrt[4]{4}+\sqrt{18}Anche in questo caso i radicali non sono apparentemente simili. Tuttavia, proviamo intanto a semplificare il secondo radicale:
\sqrt[4]{4}=\sqrt[4]{2^2}=\sqrt[4:2]{2^{2:2}}=\sqrt{2}Ora portiamo fuori un fattore dal terzo radicale:
\sqrt{18}=\sqrt{2 \cdot 3^2}=3^{2:2} \sqrt{2}=3\sqrt{2}I radicali nella somma sono quindi tutti simili ed abbiamo in conclusione:
\sqrt{2}+\sqrt[4]{4}+\sqrt{18}=\sqrt{2}+\sqrt{2}+3\sqrt{2}=(1+1+3)\sqrt{2}=5\sqrt{2}Somme di radicali simili con lettere al radicando
Vediamo a conclusione della lezione degli esempi sulla somma di radicali simili con lettere al radicando. E’ qui importante ricordare le regole relative a come portare fuori i fattori letterali dal simbolo di radice, nei due casi di indice del radicale pari o dispari. In particolare, se il radicale ha indice pari dovremo ricordare di porre i fattori che portiamo fuori dalla radice entro il simbolo di modulo (valore assoluto).
Esempio 1
Calcolare:
(3ab+7b)\sqrt{b^5}-2ab^2 \sqrt{b^3}+(7a-9)\sqrt{b^7}Cerchiamo di portare fuori dei fattori dal simbolo di radice in modo da ottenere dei radicali simili. Abbiamo in particolare radicandi tutti con base {b}. Cerchiamo allora di ricondurci a termini aventi tutti un radicale con all’interno della radice una stessa potenza di {b}.
\begin{align*} &(3ab+7b)\sqrt{b^5}-2ab^2 \sqrt{b^3}+(7a-9)\sqrt{b^7} = \\ \\ & =(3ab+7b)b^2 \sqrt{b}-2ab^2|b|\sqrt{b}+(7a-9)|b^3|\sqrt{b} = \\ \\ & =[(3ab+7b)b^2-2ab^2 |b|+(7a-9)b^3] \sqrt{b} = \\ \\ & =(3ab^3+7b^3-2ab^2|b|+7ab^3-9b^3)\sqrt{b}=\\ \\ & =(10ab^3-2b^3-2ab^2|b|)\sqrt{b} = \\ \\ & =(10ab^3-2b^3-2ab^3)\sqrt{b} =\\ \\ & = (8ab^3-2b^3)\sqrt{b} = 2b^3(4a-1) \sqrt{b}, \qquad b \geq 0\end{align*}Osserviamo che affinché il radicale {\sqrt{b}} esista deve essere {b \geq 0}. Di conseguenza, nel fattore {|b|} abbiamo tolto il simbolo di modulo.
Nota: è possibile semplificare ulteriormente il risultato ottenuto. Osserviamo che si ha: {b^3 \cdot \sqrt{b} = b^3 \cdot b^ {\frac{1}{2}}=b^{3+\frac{1}{2}}=b^{\frac{7}{2}}=\sqrt{b^7}} Di conseguenza possiamo riscrivere il risultato finale nella forma più compatta {2(4a-1)\sqrt{b^7}}.
Vedremo in una prossima lezione come calcolare i prodotti fra radicali o comunque prodotti nei quali almeno un fattore sia un radicale utilizzando regole immediate.
Esempio 2
Calcolare:
\sqrt{27x^2}+5x\sqrt{3}Trasportiamo dei fattori fuori dal primo radicale:
\sqrt{27x^2}+5x\sqrt{3}=\sqrt{3^3 \cdot x^2}+5x\sqrt{3} = 3|x|\sqrt{3}+5x\sqrt{3} Osserviamo che i radicali nella somma di partenza esistono per ogni {x} reale. Di conseguenza, dobbiamo mantenere il simbolo di valore assoluto in un termine dell’ultima somma scritta. Così il risultato finale della somma dipende dal segno del fattore in modulo, ovvero dal segno di {x}. In particolare abbiamo:
3|x|\sqrt{3}+5x\sqrt{3} =\begin{cases} \begin{align*}&\sqrt{3}+5x\sqrt{3}=8x\sqrt{3}, \qquad \qquad &&x \geq 0 \\ \\ &-3x\sqrt{3}+5x\sqrt{3}=2x \sqrt{3}, && x < 0 \end{align*} \end{cases}Per quanto riguarda la somma di radicali simili è tutto. Nella prossima lezione ci occuperemo del prodotto di radicali aventi lo stesso indice. Successivamente vedremo come portare un fattore dentro al simbolo di radice, come ridurre dei radicali allo stesso indice e come eseguire il prodotto tra radicali con indice diverso. Buon proseguimento!
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