Veniamo ora ad introdurre la nozione di sottoinsiemi, per poi considerare la classificazione in sottoinsiemi propri e impropri. Dopo aver visto come rappresentare gli insiemi e la definizione di insieme vuoto, ora facciamo la conoscenza delle relazioni di inclusione tra insiemi (sottoinsiemi).
I sottoinsiemi di un certo insieme sono degli insiemi che possono avere uno o più elementi dell’insieme di partenza, ma anche nessun elemento o tutti gli elementi dell’insieme di partenza stesso. Nel corso della lezione chiariremo la differenza tra “sottoinsiemi” in senso generale, sottoinsiemi propri e sottoinsiemi impropri.
Sarà nostro obiettivo chiarire con spiegazioni intuitive ed anche con esempi i vari aspetti che coinvolgono i sottoinsiemi.
Definizione di sottoinsiemi in senso generale
Un sottoinsieme di un dato insieme {A} è un insieme {B} i cui elementi appartengono tutti all’insieme {A}. In simboli: {B \subseteq A}In questo caso diciamo che l’insieme {B} è incluso nell’insieme {A}.
Così ad esempio l’insieme:
B=\{1, \: 2, \: 3\}
è un sottoinsieme dell’insieme:
A=\{1, \: 2, \: 3, \:4, \: 5\}
Infatti, tutti gli elementi di {B} sono anche elementi di {A}.
Possiamo esprimere simbolicamente la definizione di sottoinsieme come segue:
\boxed{B \subseteq A \iff \forall \: x \in B, \quad x \in A}
In altre parole, {B} è un sottoinsieme di {A} se ogni elemento dell’insieme {B} appartiene anche all’insieme {A}.
Ora, attenzione. La definizione non fornisce alcuna informazione sui rimanenti elementi dell’insieme {A}. Tutto ciò che sappiamo e che qualunque elemento che considereremo nell’insieme {B} sarà sempre e comunque un elemento anche dell’insieme {A}.
Di conseguenza, potrà accadere che l’insieme {A} abbia degli elementi che non appartengono all’insieme {B}, ma anche che l’insieme {A} non abbia nessun elemento che non appartiene all’insieme {B}.
Così ad esempio l’insieme:
B=\{1, \: 5\}
è un sottoinsieme dell’insieme:
C=\{1, \: 5, \: 7\}
e possiamo scrivere:
B \subseteq C
Ma lo stesso insieme {B} è anche sottoinsieme dell’insieme:
D=\{1, \: 5\}
e possiamo scrivere anche in questo caso:
B \subseteq D
E gli insiemi {B} e {D} sono uguali, in quanto contengono gli stessi elementi.
Dunque, la definizione generale di sottoinsieme non esclude l’uguaglianza tra insiemi. Di conseguenza, un sottoinsieme {B} incluso in {A} può anche essere uguale ad {A}.
Esiste tuttavia una definizione di sottoinsieme più forte di quella vista sinora, ed è la definizione che caratterizza i sottoinsiemi propri.
Sottoinsiemi propri
Un insieme {B} si dice sottoinsieme proprio dell’insieme {A} se ogni elemento dell’insieme {B} è anche elemento dell’insieme {A} ed inoltre esiste almeno un elemento dell’insieme {A} che non è elemento dell’insieme {B}. In simboli: {B \subset A}
In termini intuitivi, se l’insieme {B} è un sottoinsieme proprio di {A}, allora l’insieme {A} dovrà avere almeno un elemento in più rispetto all’insieme {B}.
E’ dunque evidente che la definizione di sottoinsieme proprio esclude l’uguaglianza tra insiemi. Due insiemi infatti sono uguali se e solo se hanno in comune tutti gli elementi.
Uguaglianza tra insiemi
Due insiemi {A} e {B} si dicono uguali se risulta che {A \subseteq B} e allo stesso tempo {B \subseteq A}. In altre parole, due insiemi {A} e {B} sono uguali se ogni elemento di {A} è anche elemento di {B} e allo stesso tempo ogni elemento di {B} è anche elemento di {A}.
Attenzione: qui utilizziamo la definizione di sottoinsieme in senso generale e non di sottoinsieme proprio.
Dunque, se occorre provare che due insiemi {A} e {B} sono uguali, basterà provare che:
- il primo insieme è un sottoinsieme del secondo ({A \subseteq B});
- e inoltre, il secondo insieme è un sottoinsieme del primo ({B \subseteq A}).
Questa tecnica torna a volte comoda nelle dimostrazioni, e ne farete senz’altro uso nel proseguimento dei vostri studi.
Sovrainsiemi
Alla definizione di sottoinsieme corrisponde la definizione complementare di sovrainsieme.
Un insieme {A} è un sovrainsieme dell’insieme {B} se tutti gli elementi dell’insieme {B} sono anche elementi del sovrainsieme {A}. In simboli: {A \supseteq B}
Di conseguenza, se sappiamo che {B} è un sottoinsieme di {A} possiamo anche dire che {A} è un sovrainsieme di {B}.
Se l’insieme {A} è un sovrainsieme dell’insieme {B}, diremo che {A} contiene l’insieme {B}.
Osserviamo che l’uguaglianza tra insiemi si può anche esprimere utilizzando il concetto di sovrainsieme. In simboli:
A = B \iff A \supseteq B \quad \text{e contemporaneamente} \quad B \supseteq A
Sottoinsiemi impropri
Dato un insieme {A}, tutti i sottoinsiemi dell’insieme {A} che non sono propri si dicono sottoinsiemi impropri.
Di conseguenza, ogni insieme ha soltanto due sottoinsiemi impropri:
- sé stesso;
- l’insieme vuoto.
Così, l’insieme {A = \{1, \: 2, \: 3\}} ha come sottoinsiemi impropri l’insieme {A} stesso e l’insieme vuoto {\empty}. Tutti gli altri sottoinsiemi di {A} sono propri, poiché per ciascuno di essi esisterà sempre almeno un elemento di {A} che non appartiene al sottoinsieme. In particolare, i sottoinsiemi propri dell’insieme {A} considerato sono:
\{1\}, \: \{2\}, \: \{3\}, \{1,2 \}, \{1, 3\}, \{2,3\}
L’insieme dato da tutti gli insiemi propri ed impropri di un insieme {A} si chiama insieme potenza. Di questo ci occuperemo nella prossima lezione.
Esempi di sottoinsiemi
- L’insieme {P} dei numeri naturali primi è un sottoinsieme proprio dell’insieme {N} dei numeri naturali: {P \subset \N}Il sottoinsieme è proprio poiché esistono numeri naturali che non sono primi;
- l’insieme {R} dei rettangoli è un sottoinsieme proprio dell’insieme {Q} dei quadrilateri: {R \subset Q}Il sottoinsieme è proprio poiché esistono quadrilateri che non sono rettangoli (ad esempio, i trapezi);
- tra gli insiemi numerici sono valevoli le seguenti relazioni di inclusione: {\N \subset \Z \subset \mathbb{Q} \subset \R}Quindi, l’insieme {\N} è un sottoinsieme proprio dell’insieme {\Z} dei numeri relativi, che a sua volta è un sottoinsieme proprio dell’insieme {\mathbb{Q}} dei numeri razionali, a sua volta sottoinsieme proprio dell’insieme {\R} dei numeri reali.
Sottoinsiemi e diagrammi di Venn
I diagrammi di Venn consentono di rappresentare graficamente le relazioni di inclusione. Così ad esempio dato l’insieme {A=\{5,\: 6, \: 9 \}} e l’insieme {B=\{5, \: 6 \}}, l’insieme {B} è un sottoinsieme proprio di {A} e graficamente abbiamo:
Errori da evitare
Prestiamo attenzione a non confondere le relazioni di inclusione tra insiemi con le relazioni di appartenenza degli elementi agli insiemi. Ad esempio, se vogliamo dire che l’elemento {a} appartiene all’insieme {A}, dobbiamo scrivere:
a \in A
Se invece vogliamo dire che l’insieme {B} è un sottoinsieme dell’insieme {A} dobbiamo scrivere:
B \subseteq A
Sarebbe un errore scrivere:
\cancel{B \in A}
Allo stesso modo, i simboli di inclusione tra insiemi non possono essere utilizzati per indicare l’appartenenza di un elemento ad un insieme. Così sarebbe errato scrivere ad esempio:
\cancel{a \subseteq A}
Per quanto riguarda i sottoinsiemi è tutto. Nella prossime lezioni introdurremo le nozioni di cardinalità di un insieme e di insiemi equipotenti. E nella lezione ancora successiva ci occuperemo dell’insieme potenza (o insieme delle parti), un particolare insieme i cui elementi sono ancora insiemi. Vedremo che dato un insieme {A}, l’insieme potenza di {A} è un insieme avente per elementi tutti i sottoinsiemi (propri ed impropri) dell’insieme {A}. Ma prima di introdurre l’insieme potenza, è opportuno conoscere la definizione di cardinalità per gli insiemi finiti. Di qui la scelta effettuata circa l’ordine delle prossime lezioni.
Un saluto e buon proseguimento a tutti voi con SìMatematica! 🙂
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