Fatta la conoscenza dell’addizione è ora arrivato il momento di introdurre la sottrazione tra polinomi. Precisiamo che un concetto molto importante per comprendere agevolmente la sottrazione tra polinomi è quello di polinomio opposto. Di questo ci siamo occupati nella scorsa lezione.
Con la sottrazione tra polinomi (differenza tra polinomi) completiamo il quadro che unitamente all’addizione tra polinomi ci consentirà nella prossima lezione di definire un’unica operazione detta somma algebrica di polinomi.
La sottrazione tra polinomi è concettualmente molto simile all’addizione. E’ richiesta però una particolare attenzione ai segni, come del resto già abbiamo evidenziato nel caso della determinazione dell’opposto di un polinomio.
Senza ulteriori indugi, vediamo subito come si esegue la sottrazione tra polinomi (differenza di polinomi).
Come si esegue la sottrazione tra polinomi
Dati due polinomi P_1 e P_2, la differenza tra i due polinomi P_1 - P_2 si ottiene sommando al polinomio P_1 l’opposto del polinomio P_2.
L’operazione di sottrazione tra polinomi viene quindi ricondotta alla somma del primo polinomio (il minuendo) con l’opposto del secondo polinomio (il sottraendo).
Consideriamo un primo esempio. Eseguiamo la sottrazione fra i seguenti polinomi:
9x^2y+5x^3y+5, \qquad -5x^2y+3x^3y+11
Consideriamo il primo polinomio come minuendo (il polinomio al quale togliamo una quantità) e il secondo polinomio come sottraendo (la quantità che togliamo al primo polinomio). Così scriviamo:
9x^2y+5x^3y+5- \left(-5x^2y+3x^3y+11 \right)
In modo simile a quanto visto per l’addizione, abbiamo separato i due polinomi con il simbolo di operazione (in questo caso il meno) e inoltre abbiamo racchiuso il secondo polinomio (il sottraendo) entro le parentesi.
Ora, possiamo ricondurre la sottrazione appena scritta alla somma tra polinomi in cui consideriamo l’opposto del polinomio sottraendo. In altre parole, sostituiamo il meno che separa i due polinomi con un più ed invertiamo il segno di tutti i termini del polinomio dentro le parentesi. Abbiamo:
\begin{align*}&9x^2y+5x^3y+5- \left(-5x^2y+3x^3y+11 \right) = \\ \\ & = 9x^2y+5x^3y+5+(5x^2y-3x^3y-11)= \end{align*}In questo modo ci siamo ricondotti ad un’addizione tra polinomi. Ora come sappiamo dalla scorsa lezione, non resta che togliere le parentesi e sommare tra loro gli eventuali termini simili:
\begin{align*} & =9x^2y+5x^3y+5+5x^2y-3x^3y-11 = \\ \\ & = \left( 9+5\right)x^2y+(5-3)x^3y+5-11= \\ \\ & = 14x^2y+2x^3y-6\end{align*}Consideriamo un altro esempio. Eseguiamo la sottrazione:
3a^2b^3+7a^2b^4+5ab^2-\left( 8a^2b^3-6a^2b^4+6ab^2\right)
Come nel caso precedente, sostituiamo il meno che separa i due polinomi con un più ed invertiamo tutti i segni dei termini del polinomio tra parentesi. Procediamo poi sommando tra loro tutti gli eventuali termini simili:
\begin{align*} &3a^2b^3+7a^2b^4+5ab^2-\left( 8a^2b^3-6a^2b^4+6ab^2\right) = \\ \\ & = 3a^2b^3+7a^2b^4+5ab^2 +(-8a^2b^3+6a^2b^4-6ab^2) = \end{align*}A questo punto come sappiamo dalla precedente lezione dobbiamo togliere il più che separa i due polinomi e togliere le parentesi:
\begin{align*} & = 3a^2b^3+7a^2b^4+5ab^2-8a^2b^3+6a^2b^4-6ab^2 = \\ \\ & = (3-8)a^2b^3+(7+6)a^2b^4+(5-6)ab^2 = \\ \\ & = -5a^2b^3+13a^2b^4-ab^2\end{align*}Differenza tra due polinomi uguali
Concludiamo la lezione con una definizione che comprende i concetti di polinomio nullo e di opposto di un polinomio. Ci siamo occupati di tali definizioni nelle precedenti lezioni, alle quali potete accedere tramite la barra di navigazione in fondo a questa pagina.
La differenza tra due polinomi uguali restituisce il polinomio nullo. Essa effettivamente equivale alla somma di un polinomio con il suo opposto:
\small \begin{align*}&5x^2+2x+3-(5x^2+2x+3)=5x^2+2x+3+(-5x^2-2x-3) = \\ \\ & = 5x^2+2x+3-5x^2-2x-3=(5-5)x^2+(2-2)x+3-3=0\end{align*}Per quanto riguarda la differenza tra polinomi (sottrazione tra polinomi) è tutto. Nella prossima lezione ci occuperemo delle somme algebriche di polinomi, ed in particolare impareremo a calcolare espressioni contenenti polinomi. Buon proseguimento!
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