Teorema fondamentale dell’algebra

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Equazioni (superiori)

Il teorema fondamentale dell’algebra è un importante risultato che consente di effettuare delle considerazioni riguardo al numero di soluzioni di un’equazione algebrica (equazione la cui forma normale è data da un polinomio uguagliato a zero). In altri termini, detto teorema fornisce delle informazioni riguardanti l’esistenza degli zeri di un polinomio.

In particolare, il teorema fondamentale dell’algebra e le sue conseguenze permettono di affermare che ogni polinomio ha sempre un numero di radici complesse pari al suo grado (comprendendo anche le soluzioni coincidenti). Inoltre, per i polinomi di grado dispari vedremo che esiste sempre almeno uno zero o radice reale.

Precisiamo fin da subito che per radici complesse intendiamo delle quantità non reali che sono comunque zeri per il polinomio. E prima di introdurre il teorema fondamentale dell’algebra, riprenderemo brevemente proprio il concetto di numeri complessi.

Cominciamo allora subito lo studio del teorema fondamentale dell’algebra e delle sue conseguenze, in modo da effettuare delle considerazioni sugli zeri dei polinomi e sull’esistenza delle soluzioni delle equazioni algebriche.

Richiami sui numeri complessi per comprendere il teorema fondamentale dell’algebra

Ricordiamo che un numero complesso è una quantità della forma:

a+ib, \qquad a, \: b \in \mathbb{R}

ove {i} si chiama unità immaginaria ed è uguale alla radice quadrata di {-1}:

i=\sqrt{-1}

Il numero {a} si dice parte reale del numero complesso {a+ib}, mentre il numero {ib} si dice parte immaginaria (ed effettivamente si tratta di un numero immaginario).

Così ad esempio i seguenti sono tutti numeri complessi:

7 + 5i, \qquad 9-4i, \qquad 5i

I numeri reali possono essere riguardati come dei numeri complessi aventi parte immaginaria con coefficiente zero. Così ad esempio il numero reale {7} può essere visto come il numero complesso {7+0i}. Abbiamo cioè un numero del tipo {a+ib} con {b=0}.

Così nell’insieme dei numeri complessi è possibile estrarre la radice quadrata di un numero negativo. Infatti abbiamo ad esempio:

\sqrt{-49}=\sqrt{49 \cdot (-1)} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{49} \cdot i=7i

A cosa servono i numeri complessi? Nel caso dei polinomi, considerare l’insieme dei numeri complessi e non più il solo insieme dei numeri reali ha dalle importanti conseguenze sull’esistenza degli zeri di un polinomio.

Ricordiamo che uno zero di un polinomio è un valore che sostituito nel polinomio lo rende nullo. Ad esempio, dato il polinomio:

P(x) = x^2+2x-3

il valore {x=1} è uno zero del polinomio. Infatti, sostituendo alla {x} il valore {1} otteniamo:

P(1)=1^2+2\cdot 1 -3 = 1+2-3=3-3=0 

Ora, il seguente polinomio non ha zeri reali:

P(x)=x^2+7

Infatti si tratta di una somma tra due quantità positive, più precisamente tra una quantità dipendente dalla {x} ma sempre positiva, e tra una costante positiva. E’ evidente che nessun valore della {x} potrà rendere tale somma nulla. E quindi tale polinomio non annullandosi per nessun valore reale della {x} non ha zeri reali.

Eppure, il polinomio ha degli zeri complessi. Infatti, provando a risolvere l’equazione {x^2+7=0} nell’insieme dei numeri complessi abbiamo:

x^2+7= 0 \quad \Rightarrow \quad x^2=-7 \quad \Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{-7}=\pm \sqrt{7}i

Così {\sqrt{7}i} e {-\sqrt{7}i} sono entrambi zeri per il polinomio.

Verifichiamo ad esempio che il valore {\sqrt{7}i} è uno zero per il polinomio. Si ha:

\begin{align*} & P(\sqrt{7}i)=\left( \sqrt{7}i\right)^2+7=\left( \sqrt{7}\right)^2\cdot i^2+7= \\ \\ & =7 \cdot \left( \sqrt{-1}\right)^2+7= 7 \cdot (-1)+7 = -7+7=0 \end{align*}

Possiamo allora già affermare che il fatto che un polinomio non abbia zeri reali non significa che il polinomio non possa comunque avere degli zeri complessi. Nello specifico, come vedremo grazie al teorema fondamentale dell’algebra, ogni polinomio ha almeno uno zero complesso. E di più, ricordando che un numero reale può comunque essere visto anche come un numero complesso, vedremo che ogni polinomio ha un numero di zeri complessi esattamente uguale al grado del polinomio stesso. Il discorso è valido però conteggiando anche gli zeri uguali tra loro, come chiariremo tra un istante.

Enunciato del teorema fondamentale dell’algebra

Ogni polinomio di grado {n \geq 1} a coefficienti complessi, ha almeno uno zero nell’insieme dei numeri complessi.

Ciò significa in generale che per un polinomio del tipo:

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \dots + a_1x+a_0

esiste sempre almeno un numero complesso che sostituito alla {x} rende nullo il polinomio (zero complesso).

Non dimostriamo il teorema fondamentale dell’algebra, ma introduciamo e dimostriamo il seguente teorema, che ne è conseguenza diretta.

Conseguenze del teorema fondamentale dell’algebra

Teorema. Ogni polinomio di grado {n \geq 1} a coefficienti complessi, ha esattamente {n} zeri complessi, contando anche gli zeri uguali tra loro (ovvero tenendo conto delle eventuali molteplicità).

Prima di dimostrare il teorema, chiariamo la nozione di molteplicità di uno zero.

Supponiamo di avere un polinomio {P(x)}. Se il numero {\alpha} è uno zero per il polinomio, in forza del teorema di Ruffini il polinomio stesso è divisibile per {x- \alpha} e vale la scomposizione:

P(x)=(x-\alpha)P_1(x)

Ora, se {\alpha} non è uno zero anche di {P_1(x)} diremo che {\alpha} è uno zero semplice di {P(x)}. Diversamente, diremo che {\alpha} è uno zero con molteplicità. In particolare, se è possibile esprimere il polinomio {P(x)} nella forma:

P(x)=(x-\alpha)^r P_r(x)

ed {r} è un numero naturale tale che {P_r(x)} non ammette come zero {\alpha}, allora diciamo che {\alpha } è uno zero per il polinomio {P(x)} con molteplicità r.

Più semplicemente, se ad esempio il polinomio {P(x)} può essere scomposto come:

P(x)=(x-\alpha)^2 P_2(x)

e se {P_2(x)} non si annulla per {x= \alpha}, diremo che il polinomio ha uno zero {\alpha} con molteplicità due. In parole povere, il polinomio {P(x)} ha almeno due zeri entrambi uguali ad {\alpha}.

Consideriamo ad esempio il polinomio:

P(x)=x^3-5x^2+7x-3

Osserviamo che {x=1} è uno zero o radice per il polinomio. Infatti:

P(1)=1^3-5 \cdot 1^2 + 7 \cdot 1 - 3 = 1 - 5 + 7 -3 = 0

Di conseguenza per il teorema di Ruffini il polinomio {P(x)} è divisibile per {x-1} e applicando la regola di Ruffini otteniamo la scomposizione:

P(x)=(x-1)(x^2-4x+3)

Ora, anche il polinomio {x^2-4x+3} si annulla per {x=1}. Così applicando di nuovo la regola di Ruffini vale la scomposizione:

x^2-4x+3=(x-1)(x-3)

Vale quindi per il polinomio di partenza la scomposizione:

P(x)=(x-1)(x-1)(x-3)=(x-1)^2(x-3)

Ora, osserviamo che il binomio {x-3} non si annulla evidentemente per {x=1}, ma bensì per {x=3}. Di conseguenza, abbiamo riespresso il polinomio di partenza nella forma {(x-\alpha)^r P_r(x)} con {\alpha=1}, {r=2} e {P_r(x)=x-3}, e in conclusione il polinomio dato ha lo zero semplice {x=3} e lo zero con molteplicità due {x=1}.

Dimostrazione del teorema conseguenza del teorema fondamentale dell’algebra

Vogliamo dimostrare che ogni polinomio {P(x)} di grado {n} maggiore o al più uguale ad {1} possiede esattamente {n} zeri complessi. Con ciò intendiamo che un polinomio di grado {n} avrà sempre come zeri {n} numeri complessi non reali e/o reali.

Osservazione. Un numero complesso è anche reale se è del tipo {a+ ib} con {b=0}. Un numero complesso è invece non reale se {b \neq 0}. Così ad esempio {-3+5i} è un numero complesso non reale, mentre {44} è un numero complesso reale. Infatti quest’ultimo appartiene sia all’insieme dei numeri complessi, sia all’insieme dei numeri reali. Invece il numero {-3+5i} non appartiene all’insieme dei numeri reali, data la presenza della parte immaginaria {5i}. Per questo si dice che è un numero complesso non reale.

Per cominciare la dimostrazione, osserviamo che per il teorema fondamentale dell’algebra il polinomio {P(x)} di grado {n} ha almeno uno zero complesso. Detto {\alpha_1} tale zero abbiamo:

P(x)=(x-\alpha_1)P_1(x)

{P_1(x)} è un polinomio di grado {n-1}, e supponiamo che sia {n-1 \geq 1}. Ma allora, sempre per il teorema fondamentale dell’algebra, anche {P_1(x) } dovrà avere almeno uno zero complesso, che indichiamo con {\alpha_2}. Così possiamo scrivere:

P(x)=(x-\alpha_1) \overbrace{(x-\alpha_2) P_2(x)}^{P_1(x)}

{P_2(x)} è un polinomio di grado {n-2}. E, sotto l’ipotesi che sia anche {n-2 \geq 1}, sempre per il teorema fondamentale dell’algebra anche {P_2(x)} dovrà avere uno zero complesso, che indichiamo con {\alpha_3}. Di conseguenza abbiamo:

P(x)=(x-\alpha_1)(x- \alpha_2)(x-\alpha_3) P_3(x)

Ora, se arrivati a questo punto risulta che il grado di {P_3(x)} è uguale a zero (e quindi abbiamo {n-3 < 1}), allora il polinomio {P_3(x)} si riduce ad una costante (un numero), che chiameremo {c}. E quindi il processo di scomposizione del polinomio di partenza (che in questo caso è di terzo grado) si ferma ed è possibile scrivere in conclusione:

P(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)c

Ora, moltiplicando tra loro tutti i fattori al secondo membro dell’uguaglianza appena scritta otteniamo:

\begin{align*} & P(x)=(x^2-\alpha_2 x - \alpha_1 x + \alpha_1 \alpha_2)(x-\alpha_3) c = \\ \\ &=  (x^3-\alpha_3 x^2-\alpha_2 x^2+\alpha_2\alpha_3 x -\alpha_1 x^2+\alpha_1 \alpha_3 x +\alpha_1 \alpha_2 x-\alpha_1\alpha_2\alpha_3)c= \\ \\ & =[x^3+(-\alpha_3 -\alpha_2-\alpha_1)x^2+(\alpha_2\alpha_3+\alpha_1 \alpha_3 + \alpha_1\alpha_2)x-\alpha_1\alpha_2\alpha_3]c=\\ \\ & =cx^3+c(-\alpha_3-\alpha_2-\alpha_1)x^2+c(\alpha_2\alpha_3+\alpha_1 \alpha_3 +\alpha_1\alpha_2)x-\alpha_1\alpha_2\alpha_3c\end{align*}

Ma per il principio di identità dei polinomi, uguagliando i coefficienti di {P(x)} ai coefficienti del polinomio appena scritto, otteniamo che {c} è uguale al coefficiente del termine di grado massimo del polinomio {P(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0}, ovvero {a_3}:

a_3x^3=cx^3 \quad \Rightarrow \quad a_3=c

Vale quindi in conclusione per il polinomio di partenza la scomposizione:

P(x)=a_3(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)

Ciò dimostra che un polinomio di terzo grado ha sempre tre zeri complessi. E in generale si può concludere che un polinomio di grado {n} ha sempre {n} zeri complessi:

P(x)=a_n(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3) \dots(x-\alpha_n)

Osservazione. In questo modo risulta anche dimostrata la formula di scomposizione: {ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}Abbiamo incontrato questa formula nello studio delle equazioni di secondo grado.

Zeri complessi di un polinomio a coefficienti reali

Considerando il caso di polinomi a coefficienti non più complessi ma soltanto reali, si può dimostrare che se il numero complesso {a+ib} è uno zero per un polinomio, allora anche il numero complesso ad esso coniugato {a-ib} è uno zero per il polinomio. Di conseguenza, gli zeri complessi di un polinomio a coefficienti reali si presentano sempre in numero pari.

E poiché un polinomio di grado {n} ha esattamente {n} zeri complessi, deduciamo che se un polinomio è di grado dispari, questo ha necessariamente una radice reale. Infatti, se le radici complesse si presentano in numero esclusivamente pari, per arrivare ad {n} radici con {n} dispari dovrà esistere necessariamente almeno una radice reale.

Ora, poiché un’equazione algebrica si presenta in forma normale come un polinomio uguagliato a zero, valgono in conclusione le seguenti considerazioni.

Ogni equazione algebrica a coefficienti reali avente grado {n}, ovvero ogni equazione del tipo: {a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \dots + a_1x + a_0 = 0} presenta {n} radici complesse. Inoltre, le radici complesse non reali si presentano sempre in numero pari. Infine, se il grado del polinomio è dispari, avremo necessariamente almeno una radice reale.

Precisiamo che ogni radice viene contata anche tenendo conto della sua eventuale molteplicità.

Conclusioni

Vediamo di riepilogare le considerazioni sin qui fatte considerando la seguente equazione di grado superiore al secondo:

x^3-3x^2+4x-12=0

Dato che il grado del polinomio al primo membro è dispari, ci aspettiamo per l’equazione almeno una soluzione reale. E dato che le eventuali soluzioni complesse non reali saranno in numero pari, per l’equazione avremo in tutto:

• una soluzione reale e due soluzioni complesse non reali;
• oppure, tre soluzioni reali.

Per quanto detto sinora, non esistono alternative.

Osserviamo che il polinomio al primo membro si annulla per {\boxed{x=3}}. Così {3} è una soluzione reale dell’equazione. Risolvendo l’equazione con la tecnica delle equazioni riducibili (equazioni con polinomio scomponibile) otteniamo:

(x-3)(x^2+4)=0 \iff x-3 = 0 \quad \vee \quad x^2+4=0

Ma l’equazione {x^2+4=0} è impossibile nei reali. Di conseguenza, ad essa corrisponderanno delle soluzioni complesse non reali:

x^2+4=0 \iff x^2=-4, \qquad \boxed{x_{1,2}=\pm 2i}

Così per l’equazione di partenza ci ritroviamo in uno dei due casi che avevamo previsto: una soluzione reale e due soluzioni complesse non reali, per un totale di tre soluzioni complesse.

Per quanto riguarda il teorema fondamentale dell’algebra e le sue conseguenze sulle soluzioni delle equazioni algebriche è tutto. Per concludere è fondamentale tenere sempre presente che grazie a questo teorema e alle regole che derivano da esso esiste una relazione tra il numero delle soluzioni di un’equazione algebrica e il suo grado.

Buon proseguimento a tutti voi!