In questa lezione ci occupiamo nel dettaglio della scomposizione del trinomio caratteristico (o trinomio particolare, o trinomio con somma e prodotto). Si tratta di trinomi che non sono lo sviluppo del quadrato di un binomio ma possono comunque essere scomposti in fattori.
Per scomporre un trinomio caratteristico abbiamo due differenti regole a seconda che il coefficiente del termine di secondo grado sia pari ad {1} oppure no. Nel corso della lezione ci occuperemo di entrambi i casi.
Inoltre, il caso più comune è relativo ad un trinomio caratteristico con una sola lettera, ma ci occuperemo anche del caso di trinomi caratteristici contenenti più lettere.
Vediamo allora subito la regola di scomposizione in fattori dei polinomi relativa al trinomio caratteristico.
Il trinomio caratteristico: regola di scomposizione nel caso di coefficiente del termine di secondo grado uguale a 1
Un trinomio di secondo grado completo presenta forma generale:
ax^2+bx+c
Esso si dirà trinomio caratteristico se è scomponibile secondo una delle regole che presenteremo a seguire.
Per il momento considereremo soltanto trinomi con coefficiente {a=1}, quindi trinomi della forma:
x^2+bx+c
Se il trinomio non è lo sviluppo del quadrato di un binomio, per la sua scomposizione possiamo provare ad utilizzare una semplice regola. L’idea è trovare due numeri la cui somma sia uguale al coefficiente {b} (il coefficiente della {x}) e il loro prodotto sia uguale al termine noto {c}. Detti {m} e {n} i due numeri, si può dimostrare che vale la scomposizione in fattori:
x^2+bx+c=(x+m)(x+n), \qquad m+n=b, \quad m\cdot n=c
Non è sempre detto che i due numeri esistano, e in tal caso diremo che il trinomio non è caratteristico. In più, se i due numeri sono uguali allora ciò significa che il trinomio è un semplice quadrato di un binomio. E in tal caso conviene utilizzare la regola di scomposizione basata sul quadrato di un binomio.
Consideriamo subito un esempio. Scomponiamo in fattori il polinomio:
x^2+4x-21
Ricerchiamo due numeri {m} e {n} aventi per somma {4} (il coefficiente della {x}) e per prodotto {-21} (il termine noto). Ricerchiamo i numeri tra tutti i divisori del termine noto {-21}, presi sia con segno più, sia con segno meno:
\pm 1, \: \pm3, \: \pm7, \: \pm21
Osserviamo che {7+(-3)=4}. Quindi i due numeri {7} e {-3} potrebbero essere la coppia di numeri {m} e {n} che stiamo cercando. Verifichiamo il prodotto:
7 \cdot (-3) = -21
Quindi i due numeri cercati sono {m=7} ed {n=-3}. Per cui possiamo scrivere la fattorizzazione (scomposizione in fattori):
x^2+4x-21=\overbrace{(x+7)(x-3)}^{(x+m)(x+n)}Trinomio caratteristico con coefficiente del termine di secondo grado diverso da 1
Consideriamo ora un trinomio caratteristico nella forma più generale:
ax^2+bx+c, \qquad a \neq 1
ovvero un trinomio caratteristico con coefficiente del termine in {x^2} diverso da {1}.
In questo caso la precedente regola non è applicabile. Dobbiamo invece ricercare due numeri la cui somma sia sempre uguale a {b}, ma il loro prodotto sia uguale ad {a \cdot c}.
Trovati i due numeri, che indicheremo con {h} e {k}, riscriveremo il trinomio come:
ax^2+(h+k)x+c=ax^2+hx+kx+c
Negli esempi con coefficienti numerici vedremo che a questo punto sarà possibile eseguire due raccoglimenti parziali seguiti da un raccoglimento totale. In tal modo avremo scomposto il trinomio caratteristico di partenza.
Vediamo subito un esempio:
3x^2-10x-8
Cominciamo ricercando due numeri la cui somma è {-10} e il cui prodotto è {3 \cdot (-8) = -24}. Con non troppo sforzo individuiamo i due numeri {h=-12} e {k=2}. Infatti {h+k=-12+2=-10} e {h \cdot k = -12 \cdot 2 = -24}. Abbiamo allora per il trinomio caratteristico di partenza:
3x^2-10x-8=\overbrace{3x^2+(-12+2)x-8}^{ax^2+(h+k)x+c}=3x^2-12x+2x-8=Eseguiamo due raccoglimenti parziali. In particolare, è possibile raccogliere i primi due termini per {3x} e gli ultimi due termini per {2}:
=3x(x-4)+2(x-4)=
Concludiamo eseguendo un raccoglimento totale per l’espressione {(x-4)}:
=(x-4)(3x+2)
Così in conclusione abbiamo per il trinomio caratteristico di partenza la scomposizione:
3x^2-10x-8=(x-4)(3x+2)
Talvolta non fila tutto così liscio e per riuscire ad eseguire il raccoglimento totale finale dobbiamo scegliere opportunamente per quali termini raccogliere parzialmente, lavorando con i segni nel modo conveniente.
Consideriamo ad esempio il trinomio:
3x^2+5x-2
Ricerchiamo i due numeri {h} e {k}, tali da avere come somma {5} e come prodotto {-2\cdot 3=-6}. Abbiamo {h=6} e {k=-1}. Possiamo quindi scrivere:
3x^2+5x-2=3x^2+(6-1)x-2=3x^2+6x-x-2=
Proviamo a raccogliere i primi due termini per {3x}:
=3x(x+2)-x-2=
Per poter eseguire un raccoglimento totale dobbiamo anche raccogliere gli ultimi due termini per {-1}:
=3x(x+2)+(-1)\cdot(x+2)=
A questo punto avendo aggiustato i segni è possibile raccogliere per {x+2}:
=(x+2)(3x-1)
Per cui abbiamo in conclusione la seguente scomposizione in fattori del trinomio caratteristico di partenza:
3x^2+5x-2=(x+2)(3x-1)
Vediamo un ultimo esempio sulla scomposizione di un trinomio caratteristico relativo ad un trinomio con più lettere.
Come scomporre un trinomio caratteristico con più lettere
Consideriamo il seguente polinomio:
y^2+2by-48b^2
Diversamente dai casi precedenti ci ritroviamo con un polinomio con più lettere. Vediamo se si tratta di un trinomio caratteristico.
La prima cosa da fare è scegliere una lettera come variabile. L’altra invece sarà un parametro. Nel nostro caso, possiamo scegliere come variabile la {y} e come parametro la {b}. Di conseguenza, abbiamo un polinomio nella variabile {y} con termini a coefficienti parametrici dipendenti dal parametro {b}.
Così ad esempio il primo termine è di secondo grado (il grado rispetto alla variabile {y}) con coefficiente {1}, il secondo termine è di primo grado con coefficiente {2b} e il terzo termine è il termine noto poiché contiene la sola lettera {b}. In pratica la lettera che scegliamo come parametro deve essere trattata come un numero.
Con questa logica, per provare a scomporre il polinomio con la regola del trinomio caratteristico dovremo trovare due monomi la cui somma sia {2b} e il cui prodotto sia {-48b^2}. Siamo infatti nel caso di coefficiente del termine di secondo grado pari a {1} (lo ribadiamo, il grado è riferito alla variabile scelta, ovvero {y}).
Osserviamo che {2b=8b+(-6b)} ed inoltre {8b \cdot (-6b) = -48b^2}. Di conseguenza i due monomi cercati sono {m=8b} e {n=-6b}.
Avendo trovato le due quantità {m} e {n} possiamo dire che il polinomio dato è un trinomio caratteristico e possiamo scomporlo nel prodotto {(y+m)(y+n)}. Abbiamo quindi in conclusione:
y^2+2by-48b^2=(y+8b)(y-6b)
Conclusioni
Per quanto riguarda la scomposizione con la regola del trinomio caratteristico è tutto. Per ulteriori esercizi è disponibile la scheda correlata.
Nella prossima lezione ci occuperemo della tecnica di scomposizione che si basa sulle conseguenze del teorema di Ruffini, meglio nota come scomposizione con la regola di Ruffini. Buon lavoro!
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