Scomporre il seguente polinomio (trinomio caratteristico con più lettere, o anche trinomio notevole, trinomio particolare, trinomio con somma e prodotto):
x^2-mx-2m^2
Possiamo riguardare il polinomio da scomporre come un trinomio caratteristico. Basta infatti considerare la lettera {x} come una variabile e la lettera {m} come un parametro. In altre parole, il trucco è quello di considerare le quantità {-m} e {-2m^2} rispettivamente come il coefficiente del termine in {x} e come il termine noto. In pratica, quello che facciamo è trattare le quantità in {m} come se fossero numeri.
Formalmente, ci ritroviamo davanti un polinomio con coefficienti dipendenti dal parametro {m}.
A questo punto è chiaro che il polinomio da scomporre è un trinomio caratteristico. Ricerchiamo allora le due quantità (stavolta monomi e non numeri) che hanno per somma {-m} e per prodotto {2m^2}. Infatti, dobbiamo semplicemente applicare la regola della scomposizione di un trinomio caratteristico con coefficiente della {x^2} pari a {1}. Più formalmente diciamo che il trinomio è monico (coefficiente del termine direttorio uguale a {1}).
Ora, le due quantità che ricerchiamo sono {-2m} e {m}. Infatti:
-2m+m=-m; \qquad -2m \cdot m = -2m^2
Ritroviamo così rispettivamente il coefficiente della {x} e il termine noto. Possiamo in conclusione scrivere la scomposizione in fattori del trinomio di partenza:
x^2-mx-2m^2=(x-2m)(x+m)
Verifichiamo il risultato della scomposizione. Si tratta semplicemente di controllare che il risultato del prodotto appena scritto restituisca il trinomio con più lettere di partenza:
(x-2m)(x+m)=x^2+mx-2mx-2m^2=x^2-mx-2m^2
Effettivamente ci siamo. L’esercizio sulla scomposizione di un trinomio con più lettere è così concluso.
Una curiosità. E se volessimo considerare la lettera {x} come parametro e la {m} come variabile? In tal caso conviene riordinare anzitutto il polinomio rispetto alla lettera {m}, secondo potenze decrescenti:
x^2-mx-2m^2=-2m^2-xm+x^2
Ora ci ritroviamo con un trinomio avente coefficiente del termine di secondo grado pari a {-2}, coefficiente (parametrico) del termine di primo grado pari a {-x}, e termine noto pari a {x^2}.
La situazione a questo punto si complica un po’ in quanto abbiamo un trinomio caratteristico con coefficiente del termine di secondo grado diverso da {1}. Prima di tutto dobbiamo cercare due quantità la cui somma sia uguale a {-x} e il cui prodotto sia uguale al prodotto tra il coefficiente del termine di secondo grado e il termine noto, quindi {-2 \cdot x^2 = -2x^2}. Le due quantità sono {-2x} e {x}, infatti:
-2x+x=-x; \qquad -2x \cdot x = -2x^2
Così possiamo riscrivere il coefficiente del termine in {m} come {-2x+x}:
\begin{align*} & -2m^2-xm+x^2=-2m^2+(-2x+x)m+x^2=\\ \\ & =-2m^2-2xm+xm+x^2= \end{align*}Ora cerchiamo di eseguire due raccoglimenti parziali in modo che sia possibile eseguire poi un raccoglimento totale:
=-2m(m+x)+x(m+x)=(m+x)(-2m+x)
Il risultato della scomposizione è equivalente a quello ottenuto precedentemente. 😉
Abbiamo quindi visto che in un trinomio caratteristico (o notevole, o particolare, ecc…) con più lettere possiamo scegliere una qualsiasi lettera come variabile e considerare le altre lettere come parametri. Il risultato della scomposizione sarà sempre lo stesso. Ovviamente, come mostra l’esercizio, conviene operare la scelta della variabile in modo da ritrovarci nel più semplice caso di trinomio caratteristico con coefficiente del termine di secondo grado unitario.
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