Esercizi sui radicali doppi

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Radicali

Proponiamo in questa scheda una serie di esercizi sui radicali doppi, svolti e commentati. Per ciascun esercizio vedremo come trasformare i radicali doppi sia utilizzando le formule di trasformazione, sia ragionando sulla definizione di radicale doppio. In quest’ultimo caso cercheremo in particolare di esprimere il radicando della radice più esterna come il quadrato di un binomio.

Ricordiamo che l’obiettivo degli esercizi sui radicali doppi è quello di trasformare il radicale doppio in un’espressione ad esso equivalente nella quale però non compaia la radice più esterna. Più formalmente, l’obiettivo è quello di trasformare un radicale doppio nella somma algebrica di termini contenente radicali semplici.

Un radicale doppio ha la forma generale:

\sqrt{a \pm \sqrt{b}}

e può essere trasformato mediante la formula:

\sqrt{a \pm  \sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} \pm \sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}

In realtà si tratta come visto nella lezione teorica di due formule, che si ottengono sostituendo il simbolo {\pm} con il segno più o con il segno meno, in base al segno che separa i termini {a} e {\sqrt{b}} nel radicale doppio di partenza.

La formula richiede che siano {a, \: b > 0} e inoltre che la quantità {a^2-b} sia positiva. Inoltre, le formule possono essere usate con convenienza soltanto se la quantità {a^2-b} è un quadrato perfetto, ovvero è il quadrato di un numero intero.

Sotto dette ipotesi, tali formule permettono di trasformare il radicale doppio riscrivendolo come una somma algebrica contenente radicali semplici. Ricordiamo, un radicale semplice (con indice {2}) è della forma {\sqrt{a}}, ovvero è dato da un solo termine sotto radice. Così, in pratica le formule consentono di eliminare la radice più esterna ottenendo comunque un’espressione equivalente a quella data.

E’ anche possibile trasformare i radicali doppi cercando di riscrivere la quantità {a \pm \sqrt{b}} come il quadrato di un binomio. In tal caso sotto opportune ipotesi sarà possibile eliminare la radice più esterna. Il metodo consente di non dover ricordare la formule ma ha il grosso svantaggio di non essere sempre applicabile con facilità. Nello svolgimento di ciascun esercizio considereremo comunque entrambi i metodi.

Fatte le dovute premesse, vediamo subito gli esercizi sui radicali doppi.

Esercizi svolti e commentati sui radicali doppi

Prima parte: radicandi con quantità numeriche

Esercizio 1

Trasformare il seguente radicale doppio:

\sqrt{11+\sqrt{21}}

Abbiamo {a=11} e {b=21}. Verifichiamo anzitutto che la quantità {a^2-b} sia un quadrato perfetto:

a^2-b=11^2-21=121-21=100=10^2

La quantità è un quadrato perfetto (infatti {100} è il quadrato del numero intero {10}). Possiamo allora applicare convenientemente l’opportuna formula di trasformazione.

Tenendo conto che il segno che separa i due termini nel radicale doppio di partenza è il più, dobbiamo sostituire il simbolo {\pm} nella formula di trasformazione proprio con il segno più. Abbiamo quindi:

\begin{align*} &\sqrt{11 \boxed{+}\sqrt{21}}=\sqrt{\dfrac{11+\sqrt{11^2-21 }}{2}}\boxed{+}\sqrt{\dfrac{11-\sqrt{11^2-21}}{2}} = \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{11+\sqrt{121-21}}{2}}+\sqrt{\dfrac{11-\sqrt{121-21}}{2}} = \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{11+\sqrt{100}}{2}}+\sqrt{\dfrac{11-\sqrt{100}}{2}} = \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{11+10}{2}}+\sqrt{\dfrac{11-10}{2}}= \sqrt{\dfrac{21}{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}}\end{align*}

Abbiamo così trasformato il radicale doppio di partenza come una somma di radicali semplici. Per semplificare il più possibile il risultato ottenuto occorre eseguire anche una razionalizzazione:

\begin{align*} & \sqrt{\dfrac{21}{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{21}}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{21}+1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{(\sqrt{21}+1)\sqrt{2}}{2}= \\ \\ & =  \dfrac{\sqrt{21} \cdot \sqrt{2} +\sqrt{2}}{2}= \dfrac{\sqrt{21 \cdot 2}+\sqrt{2}}{2}= \dfrac{\sqrt{42}+\sqrt{2}}{2}\end{align*}

Siamo così arrivati al risultato nella sua forma finale e possiamo in conclusione scrivere:

\sqrt{11+\sqrt{21}}=\dfrac{\sqrt{42}+\sqrt{2}}{2}

Metodo alternativo. Possiamo trasformare il radicale cercando di riesprimere la quantità {a \pm \sqrt{b}} come il quadrato di un binomio. Nel nostro caso dobbiamo esprimere come quadrato di un binomio la quantità {11+\sqrt{21}} (ovvero tutto quanto è sotto la radice più esterna).

Così, dato in generale il radicale doppio ad esempio nella forma:

\sqrt{a+\sqrt{b}}

ricerchiamo due termini {A} e {B} tali che si abbia:

\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{(A+B)^2}=A+B, \quad \text{con} \: A+B > 0

Dovrà quindi essere, tenendo conto dello sviluppo del quadrato di un binomio:

a+\sqrt{b}=A^2+2AB+B^2

e quindi dovremo trovare due quantità {A} e {B} tali da avere:

a=A^2+B^2; \qquad \sqrt{b}=2AB

Nel nostro caso, dobbiamo prima di tutto manipolare algebricamente il radicale doppio in modo da avere al suo interno una quantità del tipo {2AB}:

\begin{align*} & \sqrt{11+\sqrt{21}}=\sqrt{(11+\sqrt{21}) \cdot \dfrac{2}{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot (11+\sqrt{21})}=\\ \\ & =\sqrt{\dfrac{1}{2}} \cdot \sqrt{22+2\sqrt{21}} \end{align*}

In pratica abbiamo moltiplicato il contenuto della radice più interna per \dfrac{2}{2}, quantità uguale a {1}. In tal modo non alteriamo l’espressione di partenza e ci riduciamo ad un’espressione ove compare un radicale che contiene il termine {2\sqrt{21}}, il quale effettivamente ha la forma di un doppio prodotto.

A questo punto considerando per ora il solo radicale {\sqrt{22+2\sqrt{21}}} dobbiamo avere:

22+2 \sqrt{21}=(A^2+B^2)+2AB

e quindi:

A^2+B^2=22; \qquad 2\sqrt{21}=2AB

Osserviamo che la quantità {2\sqrt{21}} è il doppio prodotto tra i termini {\sqrt{21}} e {1}. Così proviamo a porre {A=\sqrt{21}} e {B=1}. Verifichiamo tale assunzione controllando la somma dei quadrati:

A^2+B^2=(\sqrt{21})^2+1^2=21+1=22

Effettivamente ci siamo, in quanto ritroviamo l’altro termine all’interno del radicale doppio. Per cui possiamo scrivere, tenendo conto che {A^2+2AB+B^2=(A+B)^2}:

22+2 \sqrt{21}=(\sqrt{21}+1)^2

e quindi per il radicale di partenza si ha:

\begin{align*} &\sqrt{\dfrac{1}{2}} \cdot \sqrt{22+2\sqrt{21}} =\sqrt{\dfrac{1}{2}} \cdot \sqrt{(\sqrt{21}+1)^2}= \sqrt{\dfrac{1}{2}} \cdot (\sqrt{21}+1)=\dfrac{\sqrt{21}+1}{\sqrt{2}}\end{align*}

Il risultato rispetta la condizione {A+B>0} ed è quindi scritto correttamente, ovvero rispetta le proprietà della radice quadrata (il risultato di una radice quadrata non può essere mai negativo). Ricordiamo infatti che eliminando la radice più esterna estraiamo una radice quadrata, e quindi il risultato che otteniamo può essere esclusivamente positivo o al più nullo.

Infine razionalizzando il denominatore ritroviamo lo stesso risultato finale del metodo precedente.

Come evidente possiamo cavarcela anche senza formule ma il ragionamento da seguire è un po’ articolato. Per cui, consigliamo di imparare a memoria le formule di trasformazione dei radicali doppi.

Esercizio 2

Trasformare il radicale doppio seguente:

\sqrt{7-2\sqrt{6}}

Prima di utilizzare le formule di trasformazione, portiamo il fattore {2} dentro la radice più interna:

\sqrt{7-2\sqrt{6}}=\sqrt{7-\sqrt{2^
2 \cdot 6}}=\sqrt{7-\sqrt{24}}

Così abbiamo {a=7} e {b=24}. Verifichiamo a questo punto che la quantità {a^2-b} sia un quadrato perfetto. Abbiamo:

a^2-b=7^2-24=49-24=25=5^2

Dunque tale quantità è un quadrato perfetto e possiamo utilizzare convenientemente le formule di trasformazione.

Applichiamo quindi l’opportuna formula di trasformazione, tenendo conto che il segno che separa i termini all’interno della radice più esterna è il meno:

\begin{align*} &\sqrt{7-2\sqrt{6}}=\sqrt{\dfrac{7+\sqrt{7^2-24}}{2}}-\sqrt{\dfrac{7-\sqrt{7^2-24}}{2}}= \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{7+5}{2}}-\sqrt{\dfrac{7-5}{2}}=\sqrt{6}-1\end{align*}

ed abbiamo terminato.

Metodo alternativo. All’interno della radice esterna del radicale doppio di partenza abbiamo già un termine nella forma di un doppio prodotto. Per cui possiamo scrivere:

\sqrt{7-2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{6})^2+1^2-2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{6}-1)^2}=\sqrt{6}-1

Il risultato è scritto correttamente poiché positivo.

Vediamo quindi come nel particolare caso in cui sia immediatamente riconoscibile all’interno del radicale doppio un doppio prodotto, il metodo basato sul quadrato di un binomio è di applicazione immediata. Ciò non toglie comunque la necessità di conoscere la formule di trasformazione dei radicali doppi per i casi più generali.

Esercizio 3

Trasformare il seguente radicale doppio:

\sqrt{2+\sqrt{3}}

E’ possibile trasformare il radicale poiché abbiamo {2^2-3=4-3=1=1^2}. Utilizzando così la formula di trasformazione opportuna si ha:

\begin{align*} & \sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{2
+\sqrt{2^2-3}}{2}}+\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{2^2-3}}{2}} = \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{2+1}{2}}+\sqrt{\dfrac{2-1}{2}}=\sqrt{\dfrac{3}{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}= \\ \\ & =\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\end{align*}

Metodo alternativo. Cercando di riconoscere il quadrato di un binomio come nei casi precedenti, abbiamo:

\begin{align*} &\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{(2+\sqrt{3}) \cdot\dfrac{2}{2}}= \sqrt{\dfrac{1}{2}} \cdot \sqrt{4+2\sqrt{3}} = \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{1}{2}} \cdot \sqrt{(1+\sqrt{3})^2}= \sqrt{\dfrac{1}{2}} \cdot (1+\sqrt{3}) =\\ \\ & = \dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}= \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\end{align*}

Il risultato è scritto correttamente in quanto positivo.

Esercizio 4

Proseguiamo gli esercizi sui radicali doppi con il seguente. Trasformare:

\sqrt{9+4\sqrt{2}}

Trasportiamo un fattore dentro alla radice più interna:

\sqrt{9+4\sqrt{2}}=\sqrt{9+\sqrt{4^2 \cdot 2}}=\sqrt{9+\sqrt{32}}

E’ possibile applicare la formula di trasformazione in quanto {9^2-32=81-32=49=7^2}. Si ha:

\begin{align*} &\sqrt{9+\sqrt{32}} = \sqrt{\dfrac{9+\sqrt{9^2-32}}{2}}+\sqrt{\dfrac{9-\sqrt{9^2-32}}{2}}=\\ \\ & =\sqrt{\dfrac{9+7}{2}}+\sqrt{\dfrac{9-7}{2}}=\sqrt{8}+1=2\sqrt{2}+1\end{align*}

Metodo alternativo. Riprendiamo il radicale {\sqrt{9+4\sqrt{2}}}. Eseguiamo un’opportuna manipolazione algebrica di modo che ci ritroviamo con un doppio prodotto. E’ fondamentale osservare che dobbiamo trasformare la quantità {4\sqrt{2}} come un doppio prodotto. Per fare ciò, dovremo dividere tale quantità per {4} e allo stesso tempo moltiplicarla per due. Inoltre, dovremo anche moltiplicare per {4} e dividere per {2} in modo da non alterare l’espressione di partenza. Abbiamo:

\begin{align*} &\sqrt{9+4\sqrt{2}}=\sqrt{(9+4\sqrt{2}) \cdot \dfrac{2}{4} \cdot \dfrac{4}{2}} = \\ \\ & = \sqrt{\dfrac{4}{2}} \cdot \sqrt{\dfrac{18}{4}+2\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{4}{2}} \cdot \sqrt{\dfrac{18+8\sqrt{2}}{4}}=\\ \\ & =  \sqrt{\dfrac{4}{8}} \cdot \sqrt{18+8\sqrt{2}}= \sqrt{\dfrac{1}{2}} \cdot \sqrt{4^2+(\sqrt{2})^2+2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2}}= \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{1}{2}} \cdot \sqrt{(4+\sqrt{2})^2}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}\cdot (4+\sqrt{2})= \dfrac{4+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\\ \\ & =\dfrac{4\sqrt{2}+2}{2}=2\sqrt{2}+1\end{align*}

Il risultato è positivo e dunque scritto correttamente.

In questo caso il metodo alternativo è piuttosto laborioso ed è quindi decisamente conveniente in esercizi come questi l’uso delle formule di trasformazione dei radicali doppi.

Esercizio 5

Veniamo all’ultimo degli esercizi sui radicali doppi con termini numerici di questa scheda. Ci occuperemo poi per concludere di radicali doppi con termini letterali.

Trasformare il seguente radicale doppio:

\sqrt{14-6\sqrt{5}}

Portando dentro un fattore nella radice più interna abbiamo:

\sqrt{14-6\sqrt{5}}=\sqrt{14-\sqrt{36 \cdot 5}}=\sqrt{14-\sqrt{180}}

Poiché {a^2-b=14^2-180=196-180=16=4^2} è possibile utilizzare l’opportuna formula di trasformazione. Abbiamo:

\begin{align*} &\sqrt{14-\sqrt{180}} = \sqrt{\dfrac{14+\sqrt{14^2-180}}{2}}-\sqrt{\dfrac{14-\sqrt{14^2-180}}{2}} = \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{14+4}{2}}-\sqrt{\dfrac{14-4}{2}}=3-\sqrt{5}\end{align*}

Metodo alternativo. Abbiamo:

\begin{align*} &\sqrt{14-6\sqrt{5}}=\sqrt{14-2 \cdot 3 \sqrt{5}}=\\ \\ & =\sqrt{3^2+(\sqrt{5})^2-2 \cdot 3 \sqrt{5}}=\sqrt{(3-\sqrt{5})^2}=3-\sqrt{5}\end{align*}

Il risultato, positivo, è uguale a quello ottenuto con la formula di trasformazione dei radicali doppi.

Seconda parte: esercizi sui radicali doppi con termini letterali

Passiamo ora ad esaminare esercizi sui radicali doppi aventi termini letterali.

Esercizio 6

Trasformare il seguente radicale doppio:

\sqrt{2x+3+2\sqrt{6x}}

Tralasciamo per semplicità lo studio delle condizioni di esistenza. Prima di applicare le formule di trasformazione, portiamo dentro un fattore nella radice più interna:

\sqrt{2x+3+2\sqrt{6x}}=\sqrt{2x+3+\sqrt{24x}}

Ora, possiamo vedere il radicale doppio come un radicale del tipo {\sqrt{a+\sqrt{b}}} ponendo {a=2x+3} e {b=24x}.

Verifichiamo che la quantità {a^2-b} sia il quadrato di un binomio:

\begin{align*} & a^2-b=(2x+3)^2-24x=4x^2+12x+9-24x=\\ \\ & =4x^2-12x+9 = (2x-3)^2 \end{align*}

Tale quantità è il quadrato del binomio {2x-3} e quindi le formule di trasformazione dei radicali doppi sono applicabili.

Utilizzando l’opportuna formula di trasformazione in base al segno che separa i termini {2x+3} e {24x} all’interno del radicale doppio, abbiamo:

\begin{align*} &\sqrt{2x+3+\sqrt{24x}} = \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{2x+3+\sqrt{(2x+3)^2-24x}}{2}}+\sqrt{\dfrac{2x+3-\sqrt{(2x+3)^2-24x}}{2}} = \\ \\ & = \sqrt{\dfrac{2x+3+|2x-3|}{2}}+\sqrt{\dfrac{2x+3-|2x+3|}{2}}=(*) \end{align*}

Osserviamo che per la definizione di modulo:

2x-3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad |2x-3|=2x-3

e:

2x-3 < 0 \quad \Rightarrow \quad |2x-3|=3-2x

E quindi:

\begin{align*} &|2x-3|=2x-3 \quad \text{per} \quad x \geq \dfrac{3}{2} \\ \\ & |2x-3|=3-2x \quad \text{per} \quad x < \dfrac{3}{2}\end{align*}

Così proseguendo la trasformazione del radicale otteniamo rispettivamente:

\begin{align*} & (*) = \sqrt{\dfrac{2x+3+2x-3}{2}}+\sqrt{\dfrac{2x+3-2x+3}{2}}= \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{4x}{2}}+\sqrt{\dfrac{6}{2}}= \dfrac{\sqrt{4x}+\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{8x}+\sqrt{12}}{2} =\\ \\ & =\dfrac{2\sqrt{2x}+2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{2x}+\sqrt{3}\\ \\ &\text{per} \quad x \geq \dfrac{3}{2}\end{align*}

e:

\begin{align*} & (*) = \sqrt{\dfrac{2x+3+3-2x}{2}}+\sqrt{\dfrac{2x+3-3+2x}{2}}= \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{6}{2}}+\sqrt{\dfrac{4x}{2}}= \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{4x}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{12}+\sqrt{8x}}{2} = \\ \\ & =\sqrt{3}+\sqrt{2x} \\ \\ &\text{per} \quad x <\dfrac{3}{2}\end{align*}

Ottenendo nei due casi lo stesso risultato possiamo scrivere in conclusione per il radicale doppio di partenza:

\sqrt{2x+3+2\sqrt{6x}}=\sqrt{2x}+\sqrt{3}

Esercizio 7

Veniamo all’ultimo di questi esercizi sui radicali doppi. Trasformare:

\sqrt{x+y-1-2\sqrt{xy-x}}

Effettuando un raccoglimento nella radice più interna abbiamo:

\sqrt{x+y-1-2\sqrt{xy-x}} = \sqrt{x+y-1-2\sqrt{x(y-1)}}

A questo punto è possibile riconoscere all’interno della radice più esterna un quadrato di un binomio. Infatti:

x+y-1-2\sqrt{x(y-1)}=[-\sqrt{x}+(\sqrt{y-1})]^2

Ciò si giustifica immediatamente osservando che {\sqrt{x(y-1)}=\sqrt{x} \cdot \sqrt{y-1}} (proprietà del prodotto di radicali con lo stesso indice, in senso inverso).

Così tornando al radicale doppio di partenza possiamo scrivere:

\begin{align*} &\sqrt{x+y-1-2\sqrt{x(y-1)}} = \sqrt{[-\sqrt{x}+(\sqrt{y-1})]^2} = \\ \\ & =\left|-\sqrt{x}+\sqrt{y-1} \right|\end{align*}

e abbiamo così terminato. In questo caso ce la siamo cavata rapidamente senza le formule di trasformazione, riconoscendo all’interno del radicale doppio un doppio prodotto.

Conclusioni

Per quanto riguarda gli esercizi sui radicali doppi è tutto. Abbiamo visto i possibili metodi risolutivi. Consigliamo di imparare a memoria le formule di trasformazione dei radicali doppi poiché queste sono le più immediate da utilizzare nella maggior parte dei casi. Tuttavia, in alcune particolari circostanze saper ragionare con il metodo del quadrato di un binomio può essere di valido aiuto.

Buon proseguimento a tutti voi!