In questa sezione presentiamo una serie di lezioni sulle disequazioni algebriche, ovvero particolari disequazioni che ridotte in forma normale si presentano come:
P(x) \lesseqgtr 0
ove {P(x)} è un polinomio di grado {n}.
In particolare, nel corso delle lezioni ci occuperemo delle disequazioni di primo grado, di secondo grado e anche di grado superiore al secondo. E per le disequazioni di grado superiore al secondo, vedremo come in alcuni casi sarà possibile risolverle riconducendo il polinomio {P(x)} al prodotto di polinomi di grado inferiore ad {n}. In tal caso parleremo cioè di un particolare tipo di disequazioni dette disequazioni prodotto.
Per le disequazioni di secondo grado vedremo due metodi risolutivi. Il primo metodo è del tutto simile a quello delle disequazioni prodotto. Il secondo metodo risolutivo consente invece di risolvere le disequazioni ragionando dal punto di vista geometrico (metodo della parabola).
Come avremo modo di vedere nelle prossime lezioni, risolvere una disequazioni algebrica significa determinare tutti i possibili ed eventuali valori della {x} che verificano la corrispondente disuguaglianza. Per risolvere le disequazioni occorre in particolare tenere conto delle proprietà delle disequazioni, delle quali ci occuperemo nella prima lezione. E come vedremo, i ragionamenti da fare sono simili a quelli visti nel caso delle equazioni (principi di equivalenza). Tuttavia, nelle disequazioni occorre anche tenere conto del loro verso e ragionare di conseguenza.
Ad esempio, a partire dalla disuguaglianza numerica:
5 > 3
che si legge “5 maggiore di 3” e che è vera, se dividiamo entrambe le quantità a sinistra e a destra del simbolo “>” (maggiore) per il numero {2}, otteniamo la disuguaglianza:
\dfrac{5}{2}> \dfrac{3}{2}che è ancora vera. Ma se invece tornando dalla disuguaglianza di partenza, dividiamo ciò che è a sinistra e a destra del simbolo di disuguaglianza per un numero negativo, ad esempio {-2}, otteniamo:
-\dfrac{5}{2}>-\dfrac{3}{2}disuguaglianza falsa. E come vedremo studiando le proprietà delle disequazioni, ciò che dobbiamo fare è invertire in questo caso il senso delle disequazione. In altre parole, dobbiamo sostituire il simbolo di maggiore > con il simbolo di minore <:
-\dfrac{5}{2}<-\dfrac{3}{2}In questo modo otteniamo effettivamente una disuguaglianza che è vera, proprio come la disuguaglianza di partenza.
Fatte le dovute premesse, procediamo per gradi e introduciamo le seguenti lezioni relative alle disequazioni algebriche. Ciascuna lezione consisterà in una parte teorica accompagnata da esercizi svolti e commentati.
Lezioni sulle disequazioni algebriche
Disequazioni algebriche di primo grado
- Introduzione alle disequazioni
- Disequazioni di primo grado
- Significato geometrico delle disequazioni di primo grado
- Disequazioni prodotto
- Disequazioni parametriche di primo grado
- Disequazioni fratte (anche di grado superiore al primo)