Disequazioni di primo grado

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Dopo aver fornito un’introduzione generale alle disequazioni passiamo ad occuparci delle disequazioni di primo grado. In particolare, vedremo cosa sono e come risolvere le disequazioni di primo grado.

In generale una disequazione di primo grado si presenta nella forma “polinomio di primo grado maggiore/maggiore o uguale oppure minore/minore o uguale di qualcosa”. Utilizzando i simboli:

P(x) \lesseqgtr Q(x)

ove la quantità {Q(x)} può essere un polinomio di primo grado, un numero diverso da zero oppure lo zero. {P(x)} sarà invece sempre un polinomio di primo grado. In altre parole, almeno in un membro della disequazione dovrà comparire l’incognita, e sempre con grado non superiore ad {1}.

Osserviamo che il simbolo {\lesseqgtr} indica astrattamente un generico operatore di disuguaglianza.

Ad esempio la disequazione:

x+5 < x-2

è una disequazione di primo grado ove il primo membro è dato da {P(x)=x+5}, il secondo membro è dato da {Q(x)=x-2} ed i due membri sono separati dal simbolo di disuguaglianza “<“, ovvero minore.

Anche la seguente è una disequazione di primo grado:

5-x>0

ove {P(x)=5-x} e {Q(x)=0}.

Le seguenti invece:

x^2+5>0, \qquad 2>1

non sono disequazioni di primo grado. La prima è infatti una disequazione di secondo grado, poiché l’incognita compare con grado due. La seconda invece è una disuguaglianza numerica (infatti l’incognita non compare, ovvero ha grado zero).

I simboli di disuguaglianza che potremo incontrare nelle disequazioni sono:

  • minore, che si indica con {<};
  • maggiore, che si indica con {>};
  • minore o uguale, che si scrive {\leq};
  • maggiore o uguale, che si scrive {\geq}.

In particolare, i simboli “minore o uguale” e “maggiore o uguale” includono anche la possibilità che i due membri della disequazione possano essere tra loro uguali.


Come vedremo, tutte le disequazioni di primo grado possono essere ridotte alla forma normale:

P(x) \lesseqgtr 0, \qquad \text{con} \: P(x) \: \text{di primo grado}

ovvero equivalentemente, indicando un polinomio di primo grado con l’espressione {ax+b}:

ax+b \lesseqgtr  0, \qquad a, \: b \in \mathbb{R}

Ora che sappiamo cosa sono le disequazioni di primo grado, vediamo come si risolvono.

Come risolvere le disequazioni di primo grado

Partiamo da una generica disequazione di primo grado in forma normale:

ax+b \lesseqgtr 0

Consideriamo ad esempio il simbolo di “minore” (ciò non altera la generalità del discorso che faremo):

ax+b < 0

Risolvere la disequazione significa determinare i valori della {x} per i quali il polinomio di primo grado {ax+b} risulta minore di zero, ovvero negativo.

Applichiamo le proprietà delle disequazioni, viste nella precedente lezione. L’obiettivo è quello di isolare la {x}, ovvero avere soltanto la {x} in un membro della disequazione.

Togliendo la quantità {b} ad entrambi i membri otteniamo:

ax+b-b < 0-b \quad \Rightarrow \quad ax<-b

Infine dividendo entrambi i membri per {a}, supponendo {a > 0}:

\dfrac{ax}{a}< -\dfrac{b}{a} \quad \Rightarrow \quad x < -\dfrac{b}{a}

Così sotto l’ipotesi {a>0} la disequazione è risolta per {x < -\dfrac{b}{a}}. In altre parole, tutte le {x} minori della quantità numerica {-\dfrac{b}{a}} sono soluzioni della disequazione data.

Osserviamo che nel caso in cui sia {a < 0} basta cambiare segno e verso alla disequazione di partenza. In tal modo infatti otteniamo una disequazione equivalente a quella data, che possiamo risolvere nella maniera appena vista.

Analogamente per la disequazione:

ax+b>0

otteniamo le soluzioni:

x >-\dfrac{b}{a}

Esempi

Vediamo ora degli esempi relativi a come risolvere le disequazioni di primo grado.

Esempio 1

Risolvere la disequazione di primo grado:

5+2x>0

La disequazione è già in forma normale. Infatti, al secondo membro abbiamo lo zero, mentre al primo membro abbiamo una quantità del tipo {ax+b}, con {a=2} e {b=5}.

Risolviamo la disequazione applicando le proprietà delle disequazioni:

5+2x-5>0-5 \quad \Rightarrow \quad 2x>-5

In pratica ciò equivale a trasportare il termine noto {5} al secondo membro, cambiandone il segno. Ciò è del tutto simile a quanto visto per le equazioni.

A questo punto dividiamo entrambi i membri per {2}. Dato che stiamo dividendo per una quantità positiva, manteniamo il verso della disequazione:

\dfrac{2x}{2}>-\dfrac{5}{2} \quad \Rightarrow \quad x > -\dfrac{5}{2}

Così la disequazione è risolta per {x > -\dfrac{5}{2}}. In altre parole, tutti i numeri reali maggiori di {-\dfrac{5}{2}} sono soluzioni per la disequazione data.

Osserviamo che avremmo potuto immediatamente ottenere la soluzione scrivendo come visto nel paragrafo precedente:

x>-\dfrac{b}{a}

che nel nostro caso avendo {a=2} e {b=5} diviene:

x>-\dfrac{5}{2} 

Esempio 2

Risolvere la seguente disequazione di primo grado:

x-7<5

Isoliamo la {x} al primo membro. Per fare questo, trasportiamo il termine {-7} al secondo membro, cambiandone il segno. Abbiamo:

x<5+7 \quad \Rightarrow \quad x<12

La disequazione è dunque verificata da tutti i valori della {x} minori di {12}.

Esempio 3

Risolvere:

2x-9 \leq 3

Cominciamo trasportando il termine {-9} al secondo membro:

2x \leq 3+9

ovvero:

2x \leq 12

Ora dividiamo entrambi i membri per {2}, in modo da isolare la {x} al primo membro:

\dfrac{2}{2}x \leq \dfrac{12}{2} \quad \Rightarrow \quad x \leq 6

La disequazione è dunque verificata per tutti i valori minori di {6}, compreso {6}. Il valore {6} è compreso nell’insieme delle soluzioni poiché nella disequazione abbiamo il simbolo di “minore o uguale” (quindi è anche ammessa l’uguaglianza tra i due membri della disequazione).

Disequazioni di primo grado in forma non normale

Per risolvere disequazioni che non si presentano in forma normale, basta utilizzare le proprietà delle disequazioni per ricondurle alla forma normale. A tal punto per risolvere la disequazione in esame basterà utilizzare le regole viste in precedenza.

L’idea è quella di trasportare ad esempio al primo membro tutti i termini contenenti la {x}, e trasportare al secondo membro tutti i termini numerici. A tal punto, eseguendo le somme algebriche presenti in ciascun membro sarà possibile ricavare le soluzioni della disequazione.

Se in un membro sono presenti delle moltiplicazioni, occorrerà prima di tutto eseguire le moltiplicazioni stesse, quindi soltanto a quel punto procedere trasportando opportunamente i termini.

Esempio 1

Risolvere la disequazione:

\dfrac{4-2x}{5}-\dfrac{1-2x}{4}  < 1

Mettiamo i termini al primo membro a denominatore comune:

\dfrac{4(4-2x)-5(1-2x)}{20}<1

ovvero (attenzione a non semplificare il fattore {4} con il denominatore {20} !):

\dfrac{16-8x-5+10x}{20} < 1

Sommando i termini simili al numeratore del primo membro:

\dfrac{2x+11}{20}<1

Moltiplichiamo entrambi i membri per {20}, in modo da liberarci del denominatore al primo membro. Dato che stiamo moltiplicando per una quantità positiva, non dobbiamo cambiare il verso della disequazione:

2x+11<20

Ora non resta che procedere come negli esempi precedenti. Trasportiamo il termine {11} al secondo membro (cambiandone il segno), quindi dividiamo entrambi i membri per {2}, che è il coefficiente dell’unico termine in {x}:

2x<20-11 \quad \Rightarrow \quad x < \dfrac{9}{2}

Quindi in conclusione la disequazione è verificata per {x < \dfrac{9}{2}}.

Osservazione. La disequazione appena risolta è una disequazione di primo grado intera a termini frazionari. Non è frazionaria poiché l’incognita non compare mai al denominatore. Ci occuperemo delle disequazioni frazionarie (fratte) di primo grado in una prossima lezione.

Esempio 2

Risolvere la disequazione:

13x-25<2(x-12)

Anzitutto eseguiamo il prodotto al secondo membro:

13x-25<2x-24

A questo trasportiamo i termini in modo da avere tutti i termini in {x} al primo membro e tutti i termini numerici al secondo membro:

13x-2x<-24+25

Come sempre, ricordiamo di invertire il segno dei termini che trasportiamo da un membro all’altro della disequazione.

A questo punto sommiamo i termini simili in ciascun membro:

11x < 1

Otteniamo in conclusione:

x < \dfrac{1}{11}

Rappresentazione grafica delle soluzioni di una disequazione di primo grado

Possiamo rappresentare le soluzioni di una disequazione per via grafica sulla retta reale. In particolare, rappresenteremo anzitutto l’insieme dei numeri reali come una retta, orientata nel senso dei numeri positivi. Quindi, disegneremo al di sotto della retta reale una semiretta che rappresenta l’insieme delle soluzioni della disequazione in esame.

Consideriamo ad esempio la disequazione:

2x-(2x-5)-4x-2<0

Prima di tutto, risolviamola utilizzando le regole sin qui viste:

2x-2x+5-4x-2<0

ovvero:

-4x<-5+2 \quad \Rightarrow \quad -4x<-3 \quad \Rightarrow \quad x>\dfrac{3}{4}

La rappresentazione grafica dell’insieme delle soluzioni ottenuto è la seguente:

disequazioni di primo grado

La retta in nero rappresenta l’insieme dei numeri reali. La semiretta in blu rappresenta invece l’insieme delle soluzioni della disequazione (tutti i valori della {x} maggiori di {\dfrac{3}{4}}). Osserviamo il “pallino vuoto” in presenza del valore {\dfrac{3}{4}}. Ciò significa che il valore {\dfrac{3}{4}} non è compreso nell’insieme delle soluzioni della disequazione in esame.

Consideriamo infine la disequazione:

25(x-2)-4(x-4)\leq 2(x-2)

Svolgiamo anzitutto i prodotti presenti in ciascun membro:

25x-50-4x+16 \leq 2x-4

Trasportiamo a questo punto i termini come segue:

25x-4x-2x \leq -4+50-16

Come possiamo vedere abbiamo fatto in modo da avere tutti i termini in {x} al primo membro e tutti i termini numerici al secondo membro. Sommando i termini simili in ciascun membro otteniamo:

19x \leq 30

da cui otteniamo in conclusione:

x \leq  \dfrac{30}{19}

Ora rappresentiamo graficamente l’insieme delle soluzioni ottenuto:

disequazioni di primo grado

Ora, attenzione. Stavolta nell’insieme delle soluzioni è compreso anche il valore che rende uguali i due membri della disequazione. Così in corrispondenza del valore {x=\dfrac{30}{19}} abbiamo un “pallino pieno”.

Conclusioni

Per quanto riguarda come risolvere le disequazioni di primo grado è tutto. Nella prossima lezione vedremo l’interpretazione grafica delle disequazioni di primo grado.

Per chi vuole allenarsi ulteriormente, è disponibile la scheda di esercizi svolti su come risolvere le disequazioni di primo grado. Buon proseguimento con SìMatematica!


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