Esercizi sulle frazioni algebriche

Home

Vediamo degli esercizi sulle frazioni algebriche di riepilogo nei quali incontreremo tutte le operazioni sulle frazioni algebriche. Il nostro obiettivo sarà quello di semplificare delle espressioni con frazioni algebriche fino ad ottenere una frazione algebrica non riducibile.

Gli esercizi sulle frazioni algebriche di questa scheda sono dei problemi di riepilogo che si vanno ad aggiungere alle espressioni sulle frazioni algebriche presenti nella relativa scheda e agli esercizi sulle espressioni con frazioni algebriche frazionarie (espressioni con frazioni algebriche a termini frazionari).

Nelle espressioni che incontreremo negli esercizi sulle frazioni algebriche di questa scheda sono presenti tutte le operazioni con le frazioni algebriche, comprese le potenze.

Vediamo allora subito questi esercizi di riepilogo sulle espressioni con le frazioni algebriche.

Esercizi sulle frazioni algebriche (esercizi di riepilogo sulle espressioni con frazioni algebriche)

Esercizio 1

Calcolare la seguente espressione:

\left(1-\dfrac{a}{x+a}\right)^2-\left( 1-\dfrac{x}{x+a}\right)^2

E’ qui conveniente eseguire le somme algebriche all’interno delle parentesi tonde, per poi calcolare i quadrati. Sarebbe in teoria possibile calcolare direttamente i quadrati con la regola del quadrato di un binomio, ma in questo modo complicheremmo inutilmente i calcoli.

\begin{align*} &\left(1-\dfrac{a}{x+a}\right)^2-\left( 1-\dfrac{x}{x+a}\right)^2= \\ \\ & = \left(\dfrac{(x+a)\cdot1-a}{x+a}\right)^2-\left( \dfrac{(x+a) \cdot 1 -x}{x+a}\right)^2=\end{align*}

Ovviamente abbiamo qui scritto in forma esplicita le moltiplicazioni per {1} in modo da mettere in evidenza tutti i passaggi da eseguire. Tuttavia, nella pratica la moltiplicazione per {1} viene lasciata sottintesa.

Ricordiamo la regola per sommare algebricamente delle frazioni algebriche tra loro:

  • calcoliamo il denominatore comune (prodotto fra i denominatori se questi non hanno fattori in comune oppure minimo comune multiplo tra i denominatori stessi);
  • scriviamo una frazione avente per denominatore il denominatore comune e per numeratore la somma algebrica dei prodotti di particolari quozienti per il numeratore di ciascuna frazione di partenza. E ciascun quoziente si ottiene dividendo il denominatore comune delle frazioni per il denominatore di ciascuna frazione di partenza.

Se comunque ci sono dubbi sui passaggi appena eseguiti rimandiamo alla lezione: operazioni con le frazioni algebriche (con riferimento alla parte relativa alla somma algebrica di frazioni algebriche).

A questo punto procediamo eseguendo i prodotti ai numeratori delle frazioni all’interno delle parentesi e sommando tra loro i termini simili:

\begin{align*} &= \left(\dfrac{x+\cancel{a}-\cancel{a}}{x+a}\right)^2-\left( \dfrac{\cancel{x}+a-\cancel{x}}{x+a}\right)^2 = \\ \\ & =\left( \dfrac{x}{x+a}\right)^2-\left( \dfrac{a}{x+a}\right)^2= \end{align*}

Ora ricordiamo la regola per elevare a potenza una frazione (algebrica): dobbiamo elevare all’esponente dato sia il numeratore, sia il denominatore della frazione. Scriviamo quindi, proseguendo i passaggi:

\begin{align*} & =\dfrac{x^2}{(x+a)^2}-\dfrac{a^2}{(x+a)^2}=\dfrac{x^2-a^2}{(x+a)^2}=\end{align*}

Ora non resta che scomporre il numeratore utilizzando la regola della differenza tra due quadrati, eseguendo poi una semplificazione:

=\dfrac{\cancel{(x+a)}(x-a)}{(x+a)^{\cancel{2}}}=\dfrac{x-a}{x+a}

Esercizio 2

Calcolare la seguente espressione:

\dfrac{1}{9}\cdot \left( \dfrac{x+1}{x^2-3x+2}+\dfrac{2}{x-1}\right)^2 \cdot (x^2-4)

Per sommare tra loro le frazioni algebriche all’interno delle parentesi tonde, osserviamo che per il denominatore della prima frazione vale la scomposizione (trinomio caratteristico):

x^2-3x+2=(x-2)(x-1)

Inoltre, l’ultimo fattore a destra può essere scomposto poiché è una differenza tra quadrati:

(x^2-4)=(x+2)(x-2)

Conviene tuttavia eseguire quest’ultima scomposizione soltanto alla fine, in modo da non portarci dietro inutilmente troppi fattori.

Così abbiamo intanto per l’espressione di partenza:

\begin{align*} &\dfrac{1}{9}\cdot \left( \dfrac{x+1}{x^2-3x+2}+\dfrac{2}{x-1}\right)^2 \cdot (x^2-4)= \\ \\ & =\dfrac{1}{9}\cdot \left[ \dfrac{x+1}{(x-2)(x-1)}+\dfrac{2}{x-1}\right]^2 \cdot (x^2-4)=\end{align*}

A questo punto possiamo sommare le frazioni algebriche all’interno delle parentesi tonde mettendole a denominatore comune. Osserviamo che il denominatore della prima frazione ha un fattore in comune con il denominatore della seconda, per cui il denominatore comune sarà dato dal minimo comune multiplo dei denominatori. In questo caso, il mcm dei denominatori coincide con il denominatore della prima frazione.

=\dfrac{1}{9}\cdot \left[ \dfrac{x+1+(x-2) \cdot 2}{(x-2)(x-1)}\right]^2 \cdot (x^2-4) =

Procediamo sviluppando i calcoli al numeratore della frazione all’interno delle parentesi quadre:

\begin{align*} & =\dfrac{1}{9}\cdot \left[ \dfrac{x+1+2x-4}{(x-2)(x-1)}\right]^ 2\cdot (x^2-4) = \\ \\ & = \dfrac{1}{9} \cdot \left[ \dfrac{3x-3}{(x-2)(x-1)}\right]^2 \cdot (x^2-4) =  \end{align*}

Ora è d’obbligo un raccoglimento al numeratore della frazione all’interno delle quadre, in modo da poter poi semplificare i fattori {x-1} tra loro:

\begin{align*} & =\dfrac{1}{9}\left[ \dfrac{3\cancel{(x-1)}}{(x-2)\cancel{x-1}}\right]^2 \cdot (x^2-4)= \\ \\ & =\dfrac{1}{9} \left( \dfrac{3}{x-2}\right)^2 \cdot (x^2-4) =  \end{align*}

Siamo quasi arrivati: ora basta soltanto elevare al quadrato sia il numeratore, sia il denominatore della seconda frazione.

\begin{align*} & =\dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{3^2}{(x-2)^2}\cdot (x^2-4)= \\ \\ & =\dfrac{1}{\cancel{9}} \cdot \dfrac{\cancel{9}}{(x-2)^2} \cdot (x^2-4)= \\ \\ & =\dfrac{1}{(x-2)^{\cancel{2}}} \cdot (x+2)\cancel{(x-2)}=  \dfrac{x+2}{x-2}\end{align*}

Siamo così arrivati alla forma semplificata finale dell’espressione con frazioni algebriche di partenza.

Esercizio 3

Proseguiamo gli esercizi di riepilogo sulle frazioni algebriche con la seguente espressione:

\dfrac{(x+b)^3-b^3}{x^2+3bx+3b^2}-\dfrac{x^3+b^3}{x}:\left( x-\dfrac{b}{x}\right)-\dfrac{bx}{b-x^2}

Cominciamo scomponendo in fattori i polinomi ove possibile ed eseguendo la somma algebrica all’interno delle parentesi tonde. Vediamo nel dettaglio come ragionare sulle scomposizioni in due casi particolari.

Cominciamo con il numeratore della prima frazione algebrica:

(x+b)^3-b^3

Questo può essere riguardato come la differenza tra cubi {A^3-B^3} a condizione di porre {A=x+b} e {B=b}. Così abbiamo:

\begin{align*} & (\overbrace{x+b}^{A})^3-(\underbrace{b}_{B})^3=A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2) =  \\ \\ & =[(x+b)-b]\cdot[(x+b)^2+(x+b)\cdot b +(b)^2]= \\ \\ & =x \cdot (x^2+2bx+b^2+bx+b^2+b^2)=x(x^2+3b^2+3bx)\end{align*}

Veniamo ora al denominatore di questa stessa frazione:

x^2+3bx+3b^2

Tale polinomio non è scomponibile. Infatti, ha la forma di un trinomio caratteristico con più lettere che possiamo intendere nella variabile {x}. Tuttavia, non esiste alcun monomio avente per somma {3b} e per prodotto {3b^2}.

Tuttavia, poco importa. Un fattore esattamente uguale a questo polinomio è presente nella scomposizione del numeratore della frazione e pertanto potremo eseguire una semplificazione.

Eseguendo i calcoli relativamente all’espressione data abbiamo così:

\begin{align*} &\dfrac{(x+b)^3-b^3}{x^2+3bx+3b^2}-\dfrac{x^3+b^3}{x}:\left( x-\dfrac{b}{x}\right)-\dfrac{bx}{b-x^2} = \\ \\ & =\dfrac{x(\cancel{x^2+3b^2+3bx)}}{\cancel{x^2+3bx+3b^2}}-\dfrac{(x+b)(x^2-bx+b^2)}{x} :\dfrac{x^2-b}{x}-\dfrac{bx}{b-x^2}= \end{align*}

Ora ricordiamo che per eseguire la divisione tra due frazioni algebriche dobbiamo moltiplicare la prima frazione algebrica per il reciproco della frazione algebrica al divisore. In parole più semplici, possiamo sostituire il simbolo di divisione con il simbolo di moltiplicazione a patto di scambiare tra loro di posto il numeratore e il denominatore della frazione algebrica al divisore.

Abbiamo quindi, proseguendo i passaggi:

\begin{align*} &=x-\dfrac{{(x+b)}(x^2-bx+b^2)}{\cancel{x}}\cdot \dfrac{\cancel{x}}{x^2-b}-\dfrac{bx}{b-x^2}=\\ \\ & = x-\dfrac{(x+b)(x^2-bx+b^2)}{x^2-b}-\dfrac{bx}{b-x^2}\end{align*}

Nell’eseguire le semplificazioni ricordiamo che dobbiamo sempre rispettare la proprietà invariantiva della divisione. Così, se nei precedenti passaggi vi è venuto in mente ad esempio di semplificare il primo termine {x} con il denominatore della prima frazione algebrica, attenzione.

Inoltre, con una possibile svista potremmo erroneamente scomporre il binomio {b-x^2} prendendolo per {b^2-x^2}. In realtà il binomio non è scomponibile. Stesso discorso vale per il binomio {x^2-b}. Stiamo attenti a non cadere in errori di questo tipo.

Procediamo sommando le frazioni algebriche tra loro. Osserviamo che le due frazioni presenti hanno denominatore uno l’opposto dell’altro. E’ conveniente in questi casi cambiare il segno davanti alla linea di fratto di una frazione e invertire tutti i termini del denominatore di quella stessa frazione:

\begin{align*} &= x\boxed{+}\dfrac{(x+b)(x^2-bx+b^2)}{\underbrace{b-x^2}_{-(x^2-b)}}-\dfrac{bx}{b-x^2} = \\ \\ & = \dfrac{(b-x^2)\cdot x + x^3-\cancel{bx^2}+\cancel{b^2x}+\cancel{bx^2}-\cancel{b^2x}+b^3-bx}{b-x^2}=\\ \\ & =\dfrac{\cancel{bx}-\cancel{x^3}+\cancel{x^3}+b^3-\cancel{bx}}{b-x^2}=\dfrac{b^3}{b-x^2}\end{align*}

Esercizio 4

Proseguiamo gli esercizi di riepilogo sulle espressioni con le frazioni algebriche con la seguente:

\dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{5x-3a+2b}{(a-x)(x+b)}+\dfrac{3}{b+x}\right) \cdot (a^2-x^2)

Calcoliamo la somma tra frazioni algebrica all’interno delle parentesi tonde. Scomponiamo inoltre il binomio {a^2-x^2}:

\begin{align*} &\dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{5x-3a+2b}{(a-x)(x+b)}+\dfrac{3}{b+x}\right) \cdot (a^2-x^2) = \\ \\ & =\dfrac{1}{2}\cdot  \dfrac{5x-\cancel{3a}+2b+\cancel{3a}-3x}{(a-x)(b+x)} \cdot (a-x)(a+x)=\\ \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2x+2b}{\cancel{(a-x)}(b+x)} \cdot \cancel{(a-x)}(a+x) = \\ \\ & =\dfrac{1}{\cancel{2}}\cdot  \dfrac{\cancel{2}\cancel{(x+b)}}{\cancel{b+x}} \cdot (a+x) = a+x\end{align*}

Esercizio 5

\dfrac{2 \cdot (3x^2+11x+9)}{(x^2+3x+2)(x+3)}-\dfrac{5x+12}{(x+2)(x+3)}

Scomponiamo un fattore al denominatore della prima frazione (trinomio caratteristico), quindi sommiamo algebricamente le frazioni algebriche:

\begin{align*} &\dfrac{2 \cdot (3x^2+11x+9)}{(x^2+3x+2)(x+3)}-\dfrac{5x+12}{(x+2)(x+3)} = \\ \\ & = \dfrac{6x^2+22x+18}{(x+1)(x+2)(x+3)} - \dfrac{5x+12}{(x+2)(x+3)}= \\ \\ & =\dfrac{6x^2+22x+18-(x+1)(5x+12)}{(x+1)(x+2)(x+3)}= \\ \\ & =\dfrac{6x^2+22x+18-5x^2-12x-5x-12}{(x+1)(x+2)(x+3)}=\\ \\ & =\dfrac{x^2+5x+6}{(x+1)(x+2)(x+3)}=\end{align*}

Ora concludiamo scomponendo il trinomio caratteristico al numeratore:

= \dfrac{\cancel{(x+3)}\cancel{(x+2)}}{(x+1)\cancel{(x+2)}\cancel{(x+3)}}=\dfrac{1}{x+1}

Esercizio 6

Proseguiamo gli esercizi sulle frazioni algebriche di riepilogo con la seguente espressione:

\left( \dfrac{x+y+1}{x-y-1}+ \dfrac{1}{x+y+1}\right)\cdot \left(x^2 -(y+1)^2 \right) -(x+y)^2

Attenzione a quanto contenuto nella prima coppia di parentesi tonde. Le due frazioni sono sommate tra di loro e non moltiplicate. Di conseguenza, non possiamo assolutamente semplificare il numeratore della prima frazione con il denominatore della seconda.

Eseguendo i calcoli abbiamo:

\begin{align*} &\left( \dfrac{x+y+1}{x-y-1}+ \dfrac{1}{x+y+1}\right)\cdot \bigg(\overbrace{x^2 -(y+1)^2}^{A^2-B^2} \bigg) -(x+y)^2 = \\ \\ & = \left( \dfrac{(x+y+1)^2+x-y-1}{\underbrace{(x-y-1)(x+y+1)}_{(A-B) \cdot (A+B)}}\right)\cdot (x^2-(y+1)^2)-(x+y)^2= \\ \\ & =\dfrac{(x+y+1)^2+x-y-1}{\cancel{x^2-(y+1)^2}} \cdot \cancel{(x^2-(y+1)^2)}-(x+y)^2= \\ \\ & =\cancel{x^2}+\cancel{y^2}\cancel{+1}+\cancel{2xy}+2y+2x+x-y-\cancel{1}-\cancel{x^2}-\cancel{2xy}-\cancel{y^2}=3x+y\end{align*}

Esercizio 7

Proseguiamo ancora gli esercizi sulle frazioni algebriche con la seguente espressione:

2x:\left[ 1+\dfrac{1}{x-2}+(2x+4):\left( 1 - \dfrac{1}{x-2}\right)\right] \cdot \dfrac{1}{x^2-5x+6}

Cominciamo eseguendo i calcoli all’interno delle parentesi quadre:

\begin{align*} & 2x:\left[ 1+\dfrac{1}{x-2}+(2x+4):\left( 1 - \dfrac{1}{x-2}\right)\right] \cdot \dfrac{1}{x^2-5x+6} = \\ \\ & =2x: \left[ 1+\dfrac{1}{x-2}+(2x+4):\dfrac{x-2-1}{x-2}\right] \cdot \dfrac{1}{x^2-5x+6} = \\ \\ & =2x:\left[ 1+\dfrac{1}{x-2}+(2x+4)\cdot \dfrac{x-2}{x-3}\right]\cdot \dfrac{1}{x^2-5x+6}= \\ \\ & =2x : \dfrac{(x-2)(x-3)+x-3+(x-2)^2 \cdot  (2x+4)}{(x-2)(x-3)}\cdot \dfrac{1}{x^2-5x+6} = \\ \\ & =2x : \dfrac{x^2-5x+6+x-3+(x^2-4x+4) \cdot (2x+4) }{(x-2)(x-3)} \cdot \dfrac{1}{x^2-5x+6} = \\ \\ & =2x: \dfrac{x^2-5x+6+x-3+2x^3+4x^2-8x^2-16x+8x+16}{(x-2)(x-3)} \cdot \dfrac{1}{x^2-5x+6}= \\ \\ & =2x : \dfrac{2x^3-3x^2-12x+19}{(x-2)(x-3)} \cdot \dfrac{1}{x^2-5x+6}=\end{align*}

Ora stiamo attenti alle regole di precedenza. Abbiamo una divisione tra frazioni e una moltiplicazione. In presenza di sole moltiplicazioni e divisioni senza parentesi dobbiamo eseguire le operazioni nell’ordine da sinistra verso destra. Per cui dovremo anzitutto eseguire la divisione. E ricordiamo, questa può essere ricondotta ad una moltiplicazione scambiando tra loro il numeratore e il denominatore della frazione al divisore.

= 2x \cdot \dfrac{(x-2)(x-3)}{2x^3-3x^2-12x+19} \cdot \dfrac{1}{x^2-5x+6}=

A questo punto conviene scomporre il denominatore della terza frazione (trinomio caratteristico):

\begin{align*} & = 2x \cdot \dfrac{\cancel{(x-2)}\cancel{(x-3)}}{2x^3-3x^2-12x+19} \cdot \dfrac{1}{\cancel{(x-3)}\cancel{(x-2)}}= \\ \\ & = \dfrac{2x}{2x^3-3x^2-12x+19}\end{align*}

e siamo arrivati.

Esercizio 8

x^4 \cdot \left( \dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{y^2}\right) \cdot \left[ \left( \dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2}-1\right):\left( \dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+1\right)\right]+(x+y)^2

Svolgiamo i calcoli iniziando da quelli all’interno delle parentesi tonde:

\begin{align*} &x^4 \cdot \left( \dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{y^2}\right) \cdot \left[ \left( \dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2}-1\right):\left( \dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+1\right)\right]+(x+y)^2= \\ \\ & =x^4 \cdot \dfrac{y^2-x^2}{x^2y^2} \cdot \left(\dfrac{\cancel{x^2}+y^2-\cancel{x^2}+y^2}{x^2-y^2}:\dfrac{x^2-\cancel{y^2}+x^2+\cancel{y^2}}{x^2+y^2} \right)+(x+y)^2=\\ \\ & = x^{\cancel{4}^{\scriptsize \displaystyle2}} \cdot \dfrac{(y+x)(y-x)}{\cancel{x^2}y^2} \cdot \left(\dfrac{\cancel{2}y^2}{x^2-y^2} \cdot \dfrac{x^2+y^2}{\cancel{2}x^2}\right)  + (x+y)^2=  \\ \\ & = x^2 \cdot \dfrac{(y+x)(y-x)}{\cancel{y^2}}\cdot \dfrac{\cancel{y^2}(x^2+y^2)}{x^2(x^2-y^2)}+(x+y)^2 = \\ \\ & = \cancel{x^2} \cdot \dfrac{\cancel{(y+x)}(y-x)({x^2}+y^2)}{\cancel{x^2} \cancel{(x+y)}(x-y)}+ (x+y)^2 = \\ \\ & = \dfrac{\cancel{(y-x)}(x^2+y^2)}{-1\cdot\cancel{ (-x+y)}}+(x+y)^2 =\\ \\ & = -\cancel{x^2}-\cancel{y^2}+\cancel{x^2}+2xy+\cancel{y^2}= 2xy \end{align*}

Esercizio 9

Veniamo al penultimo di questi esercizi con le frazioni algebriche:

\left( \dfrac{1}{a^4-b^2}-\dfrac{1}{a^8-2a^4b^2+b^4}\right) \cdot \dfrac{a^4b^2}{a^4-b^2-1}:\dfrac{a^2b}{(a^2-b)^2}

Cominciamo eseguendo la somma algebrica all’interno delle parentesi tonde. Per eseguire tale calcolo dobbiamo anzitutto scomporre i denominatori delle frazioni. Abbiamo:

a^4-b^2=(a^2)^2-b^2=(a^2+b)(a^2-b)

In pratica sfruttando la proprietà della potenza di una potenza ci siamo ricondotti alla differenza tra due quadrati, scomponibile come il prodotto somma per differenza.

Passiamo ora al denominatore dell’altra frazione:

\begin{align*} &a^8-2a^4b^2+b^4=(a^4-b^2)^2 =[(a^2)^2-b^2]^2= \\ \\ & =[(a^2+b)(a^2-b)]^2=(a^2+b)^2(a^2-b)^2\end{align*}

Abbiamo in pratica riconosciuto il quadrato dello stesso binomio al denominatore della prima frazione. Per cui sfruttando intanto l’uguaglianza {a^8-2a^4b^2+b^4=(a^4-b^2)^2} possiamo scrivere:

\begin{align*} &\left( \dfrac{1}{a^4-b^2}-\dfrac{1}{a^8-2a^4b^2+b^4}\right) \cdot \dfrac{a^4b^2}{a^4-b^2-1}:\dfrac{a^2b}{(a^2-b)^2} = \\ \\ & =\dfrac{\cancel{a^4-b^2-1}}{(a^4-b^2)^2} \cdot \dfrac{a^4b^2}{\cancel{a^4-b^2-1}} : \dfrac{a^2b}{(a^2-b)^2} =\\ \\ & = \dfrac{a^4b^2}{(a^4-b^2)^2 }:\dfrac{a^2b}{(a^2-b)^2} = \end{align*}

Osserviamo a questo punto che possiamo riscrivere il denominatore della prima frazione tenendo conto di una scomposizione scritta in precedenza. Inoltre, possiamo ricondurre la divisione ad una moltiplicazione utilizzando la solita regola. Per cui abbiamo, proseguendo i passaggi:

\begin{align*} &= \dfrac{a^{\cancel{4}^{\scriptsize \displaystyle2}}b^{\cancel{2}}}{(a^2+b)^2\cancel{(a^2-b)^2 }} \cdot \dfrac{\cancel{(a^2-b)^2}}{\cancel{a^2}\cancel{b}} =\dfrac{a^2b}{(a^2+b)^2}\end{align*}

Esercizio 10

Concludiamo questa serie di esercizi sulle espressioni con le frazioni algebriche con la seguente:

\dfrac{\dfrac{a^2}{a-x} \cdot (2x^2-2ax)}{a}:\left( \dfrac{x}{a^3}+\dfrac{1}{x^2}\right)\cdot \dfrac{x+a}{a^3x^3}

Osserviamo che la prima frazione a destra è una frazione di frazione. Sviluppiamo i calcoli al suo numeratore:

\begin{align*} &\dfrac{\dfrac{a^2}{a-x} \cdot (2x^2-2ax)}{a}:\left( \dfrac{x}{a^3}+\dfrac{1}{x^2}\right)\cdot \dfrac{x+a}{a^3x^3}= \\ \\ & =\dfrac{\dfrac{a^2 \cdot 2x \cdot (x-a)}{a-x}}{a}: \dfrac{x^2 \cdot x + a^3}{a^3x^2} \cdot \dfrac{x+a}{a^3x^3}= \end{align*}

Aggiustiamo i segni nella frazione di frazione, relativamente al suo numeratore, in modo da poter eseguire una semplificazione. Inoltre. riscriviamo la divisione come una moltiplicazione.

\begin{align*} & = \dfrac{\dfrac{-a^2 \cdot 2x \cancel{(-x+a)}}{\cancel{a-x}}}{a}  \cdot \dfrac{\cancel{a^3}\cancel{x^2}}{x^3+a^3} \cdot \dfrac{x+a}{\cancel{a^3}x^{\cancel{3}}} = \\ \\ & =\dfrac{\dfrac{-a^2 \cdot 2x}{1}}{a} \cdot  \dfrac{x+a}{x(x^3+a^3)}=\end{align*}

Ora per semplificare la frazione di frazione basta osservare che dividere una quantità ad esempio per {a} equivale a moltiplicarla per {\dfrac{1}{a}}. In particolare possiamo rileggere la frazione di frazione come la divisione {\dfrac{-a^2 \cdot 2x}{1}: a}. Quindi, proseguendo i passaggi:

\begin{align*} &=\dfrac{-a^{\cancel{2}} \cdot 2\cancel{x}}{1} \cdot \dfrac{1}{\cancel{a}}\cdot \dfrac{x+a}{\cancel{x}(x^3+a^3)}=\dfrac{-2a(x+a)}{x^3+a^3}=\end{align*}

Infine scomponendo il denominatore (somma di cubi):

=\dfrac{-2a\cancel{(x+a)}}{\cancel{(x+a)}(x^2-ax+a^2)}=\dfrac{-2a}{x^2-ax+a^2}

Per ulteriori esempi sulle frazioni di frazioni è disponibile la scheda sulle espressioni con frazioni algebriche a termini frazionari.

Conclusioni

Per quanto riguarda questa scheda di esercizi sulle espressioni con frazioni algebriche è tutto. Come abbiamo potuto vedere, il calcolo delle espressioni con frazioni algebriche richiede la conoscenza delle operazioni con le frazioni algebriche, delle tecniche di scomposizione dei polinomi e infine delle regole di precedenza per il calcolo delle espressioni in generale. Mettendo insieme questi ingredienti, è possibile calcolare correttamente qualsiasi espressione con frazioni algebriche.

Per qualsiasi dubbio vi ricordiamo la sezione interamente dedicata alle frazioni algebriche di SìMatematica. Buon lavoro!


«    Lezione precedente Esercizi correlatiLezione successiva   »
Ulteriori esercizi

Frazioni algebriche