E’ giunto ora il momento di vedere come semplificare le frazioni algebriche. Allo stesso modo con cui è possibile semplificare delle frazioni numeriche è anche possibile semplificare le frazioni algebriche, tuttavia seguendo opportuni accorgimenti.
In particolare, nel semplificare le frazioni algebriche dovremo tenere conto del fatto che queste sono caratterizzate dal loro campo di esistenza. Di conseguenza, dovremo sempre assicurarci che il campo di esistenza della frazione algebrica semplificata sia uguale a quello della frazione algebrica di partenza. E per avere questo, dovremo porre in generale delle opportune condizioni.
Ora, per semplificare una frazione algebrica l’idea è quella di scomporre in fattori ove possibile il numeratore e denominatore, e quindi semplificare tra loro gli eventuali fattori in comune. E ciò equivale a dividere numeratore e denominatore per uno stesso divisore comune (proprietà invariantiva della divisione). Osserviamo che questa è esattamente la stessa tecnica che può essere utilizzata per semplificare una frazione numerica.
Cominciamo allora subito a vedere come semplificare le frazioni algebriche, mostrando le regole da utilizzare e presentando degli esercizi di esempio.
Come semplificare le frazioni algebriche (regola ed esempi)
L’obbiettivo del semplificare le frazioni algebriche è quello di ottenere, a partire da una certa frazione algebrica, una frazione algebrica ad essa equivalente ma più semplice. Per “più semplice” intendiamo intuitivamente una frazione algebrica equivalente a quella data nella quale il numeratore e il denominatore contengano fattori nel minor numero possibile e ciascuno del grado più basso possibile.
Salvo i casi nei quali venga esplicitamente detto di trascurare la discussione del campo di esistenza, in generale semplificando una frazione algebrica dobbiamo assicurarci di porre le condizioni per cui la frazione algebrica semplificata sia equivalente a quella di partenza. Diversamente dalle frazioni numeriche, quindi, non possiamo semplicemente limitarci ad eseguire la semplificazione.
Consideriamo ad esempio la frazione algebrica:
\dfrac{4x^2+7x}{7x^3+14x}Scomponiamo in fattori il numeratore e il denominatore:
\dfrac{x(4x+7)}{7x(x^2+2)}Ora, prima di eseguire le semplificazioni, determiniamo il campo di esistenza della frazione algebrica. Imponiamo quindi il denominatore diverso da zero:
7x(x^2+2) \neq 0
ovvero, applicando la legge di annullamento del prodotto:
7x \neq 0 \: \wedge \: x^2+2 \neq 0 \quad \iff \quad x \neq 0
Per comprendere quanto appena scritto osserviamo che {x^2+2} è sempre diverso da zero poiché somma di una quantità positiva per ogni {x} (ovvero {x^2}) e un numero positivo. Per cui il denominatore potrà annullarsi soltanto quando si annulla il fattore {7x}, ovvero per {x=0}
Così il campo di esistenza della frazione algebrica di partenza è:
\mathscr{D}= \{x \in \mathbb{R} \: | \: x \neq 0\}A questo punto riprendiamo per comodità la frazione algebrica con numeratore e denominatore scomposti in fattori:
\dfrac{x(4x+7)}{7x(x^2+2)}Osserviamo che è possibile semplificare tra loro i fattori {x}. Ciò è del tutto simile alle semplificazioni che eseguivamo sulle frazioni numeriche. Ed in particolare, l’operazione equivale a dividere numeratore e denominatore per la stessa quantità {x}, utilizzando la proprietà invariantiva della divisione. Infatti, la frazione algebrica può essere vista come la seguente divisione:
x(4x+7):[7x(x^2+2x)]
Sfruttando la proprietà invariantiva possiamo quindi scrivere:
\{[x(4x+7)]:x \} : \{[7x(x^2+2x)]:x\}ovvero:
(4x+7):[7(x^2+2x)]
Ora, piuttosto che ragionare con le divisioni conviene nella pratica mantenere la scrittura con la linea di frazione ed eseguire delle semplificazioni. Nel nostro caso:
\dfrac{x(4x+7)}{7x(x^2+2)}=\dfrac{\cancel{x}(4x+7)}{7\cancel{x} (x^2+2)}=\dfrac{4x+7}{7(x^2+2)}, \qquad x \neq 0A questo punto, attenzione. La frazione algebrica nella forma semplificata è definita di suo per ogni valore della {x}. Infatti, il denominatore {7(x^2+2)} non si annulla per nessun valore della {x}. Di conseguenza, poiché il nostro obiettivo è riscrivere la frazione algebrica di partenza come una frazione algebrica più semplice ma ad essa equivalente, dobbiamo imporre la condizione {x \neq 0}. In tal modo, forziamo la frazione algebrica semplificata ad avere lo stesso campo di esistenza della frazione algebrica di partenza.
Così in conclusione, ponendo la condizione {x \neq 0} possiamo dire che la frazione {\dfrac{4x+7}{7(x^2+2)}} è equivalente alla frazione di partenza {\dfrac{x(4x+7)}{7x(x^2+2)}}.
Esempi su come semplificare le frazioni algebriche
Vediamo alcuni esempi relativi a come semplificare le frazioni algebriche effettuando la discussione del campo di esistenza.
Esempio 1
Semplificare la frazione algebrica:
\dfrac{5x^3y}{4xyz}Osserviamo che la frazione algebrica ha come campo di esistenza:
\mathscr{D}=\{x,y,z \in \mathbb{R} \: | \: x \neq 0 \: \wedge \: y \neq 0 \: \wedge z \neq 0 \}In altre parole la frazione è definita per tutti gli {x, \: y, \: z} reali tali da essere contemporaneamente diversi da zero.
A questo punto tenendo conto di tali condizioni sulle variabili possiamo eseguire la semplificazione. Infatti, nella frazione algebrica abbiamo a numeratore e denominatore soltanto dei prodotti e quindi possiamo semplificare i fattori comuni tra loro:
\dfrac{5x^3y}{4xyz}=\dfrac{5x^{\cancel{3}^{\scriptsize \displaystyle2}}\cancel{y}}{4\cancel{x}\cancel{y}z}=\dfrac{5x^2}{4z}, \qquad x \neq 0 \:\wedge y \neq 0 \: \wedge \: z \neq 0Osserviamo che la semplificazione eseguita equivale ad avere diviso numeratore e denominatore per la quantità {xy}, applicando così la proprietà invariantiva della divisione.
Per meglio comprendere la semplificazione eseguita, possiamo sostituire le potenze con le corrispondenti moltiplicazioni. In tal modo sarà più evidente che ciò che stiamo facendo è semplificare tra loro i fattori comuni. Infatti:
{\dfrac{5x^3y}{4xyz}=\dfrac{5 \cdot \cancel{x} \cdot x \cdot x \cdot \cancel{y}}{4 \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{y} \cdot z}=\dfrac{5 \cdot x \cdot x}{4 z}=\dfrac{5x^2}{4z}}
Esempio 2
Semplificare la frazione algebrica:
\dfrac{8x^2y}{6x^2y^2-2x^2y}Eseguiamo un raccoglimento a fattore comune totale al denominatore:
\dfrac{8x^2y}{6x^2y^2-2x^2y}=\dfrac{8x^2y}{2x^2y(3y-1)}Prima di eseguire le semplificazioni, ricordiamo di definire il campo di esistenza. Ponendo la condizione {2x^2y(3y-1)\neq 0} abbiamo:
\mathscr{D}= \left\{x, y \in \mathbb{R} \: | \: x \neq 0 \: \wedge y \neq 0 \: \wedge \: y \neq \dfrac{1}{3}\right\}Con tali condizioni possiamo semplificare tra loro i fattori a numeratore e denominatore ottenendo:
\small \dfrac{8x^2y}{2x^2y(3y-1)}=\dfrac{\cancel{8}^{\scriptsize \displaystyle4}\cancel{x^2}\cancel{y}}{\cancel{2}\cancel{x^2}\cancel{y}(3y-1)}=\dfrac{4}{3y-1}, \qquad x \neq 0 \: \wedge y \neq 0 \: \wedge \: y \neq \dfrac{1}{3}Esempio 3
Semplificare la frazione algebrica:
\dfrac{a^2-ab}{a^2-2ab+b^2}Scomponiamo il numeratore e il denominatore in fattori. Al numeratore possiamo raccogliere per {a}, mentre al denominatore è immediato riconoscere il quadrato del binomio {a-b}:
\dfrac{a^2-ab}{a^2-2ab+b^2}=\dfrac{a(a-b)}{(a-b)^2}Imponiamo la condizione di esistenza per la frazione:
a-b \neq 0 \quad \iff \quad a \neq b
Evitiamo qui per brevità di scrivere formalmente il campo di esistenza, riportando soltanto la corrispondente condizione. E’ a questo punto possibile eseguire la semplificazione:
\dfrac{a(a-b)}{(a-b)^2}=\dfrac{a\cancel{(a-b)}}{(a-b)^{\cancel{2}^{\scriptsize \displaystyle1}}}=\dfrac{a}{a-b}, \qquad a \neq bE questa è la forma semplificata della frazione algebrica di partenza.
Per meglio comprendere le semplificazioni eseguite possiamo in alternativa riscrivere il fattore {(a-b)^2} come {(a-b)(a-b)}:
\dfrac{a(a-b)}{(a-b)^2}=\dfrac{a\cancel{(a-b)}}{\cancel{(a-b)}(a-b)}=\dfrac{a}{a-b}, \qquad a \neq bOra, attenzione: non è possibile eseguire ulteriori semplificazioni. Sarebbe un grave errore infatti eseguire la semplificazione:
\bcancel{\dfrac{\cancel{a}}{\cancel{a}-b}}Vediamo subito allora gli errori da evitare nel semplificare le frazioni algebriche.
Errori da evitare
Vediamo ora quali sono gli errori da evitare nel semplificare le frazioni algebriche.
Come già evidenziato, la semplificazione delle frazioni algebriche si basa sulla proprietà invariantiva della divisione. Così ad esempio data la seguente frazione algebrica:
\dfrac{(x^2+1)^2}{x^2+1}possiamo dividere numeratore e denominatore per {x^2+1} ottenendo:
\dfrac{(x^2+1)^2:(x^2+1)}{(x^2+1):(x^2+1)}=\dfrac{(x^2+1)^{2-1}}{(x^2+1)^{1-1}}=x^2+1Molto più semplicemente, utilizzando delle semplificazioni:
\dfrac{(x^2+1)^2}{x^2+1}=\dfrac{\cancel{(x^2+1)}(x^2+1)}{\cancel{x^2+1}} = x^2+1In questo caso non è necessario imporre nessuna condizione poiché {x^2+1} è sempre non nullo.
Ora, consideriamo la seguente espressione:
\dfrac{2x+3y}{2x}Osserviamo che sarebbe un grave errore eseguire la semplificazione:
\bcancel{\dfrac{\cancel{2x}+3y}{\cancel{2x}}}Infatti in una frazione algebrica possiamo semplificare dei fattori al numeratore e al denominatore tra loro soltanto se nel numeratore e nel denominatore della frazione algebrica compaiono esclusivamente dei prodotti. E ciò assicura di applicare correttamente la proprietà invariantiva della divisione.
Così nel caso in esame non è possibile semplificare la frazione algebrica e la lasceremo indicata così come si presenta.
Consideriamo ora la seguente frazione algebrica:
\dfrac{x+y}{6x+6y+bx+by}Proviamo a semplificarla. Prima di tutto, eseguiamo due raccoglimenti parziali al denominatore:
\dfrac{x+y}{6(x+y)+b(x+y)}A questo punto sarebbe un grave errore eseguire la semplificazione:
\bcancel{\dfrac{\cancel{x+y}}{6(\cancel{x+y})+b(x+y)}}Infatti, al denominatore non abbiamo esclusivamente prodotti ma bensì una somma tra prodotti. Di conseguenza, una tale semplificazione non corrisponde ad una corretta applicazione della proprietà invariantiva. Abbiamo infatti erroneamente diviso per {x+y} solo una parte del denominatore, e non tutto il denominatore.
La procedura corretta consiste invece nell’eseguire un raccoglimento totale a denominatore per {x+y}:
\dfrac{x+y}{6(x+y)+b(x+y)}=\dfrac{x+y}{(x+y)(6+b)}A questo punto tralasciando per semplicità la discussione del campo di esistenza, possiamo correttamente eseguire la semplificazione come segue:
\dfrac{x+y}{(x+y)(6+b)}=\dfrac{\cancel{x+y}}{\cancel{(x+y)}(6+b)}=\dfrac{1}{6+b}Ora la semplificazione è corretta poiché al denominatore abbiamo soltanto un prodotto (il prodotto tra i fattori {x+y} e {6+b}). La semplificazione eseguita corrisponde pertanto ad una corretta applicazione della proprietà invariantiva della divisione, poiché abbiamo in questo modo diviso entrambi il numeratore e il denominatore per la stessa quantità {x+y}.
Regola per la semplificazione delle frazioni algebriche
A questo punto conviene riassumere la regola da utilizzare per semplificare le frazioni algebriche.
Per semplificare una frazione algebrica dobbiamo anzitutto scomporre il numeratore e il denominatore in fattori (ove possibile), quindi porre le condizioni relative al suo campo di esistenza (salvo che questo sia espressamente non richiesto), infine semplificare tra loro ove possibile i fattori comuni alle scomposizioni a numeratore e a denominatore. Nelle semplificazioni dovremo sempre essere certi di rispettare la proprietà invariantiva della divisione.
Conclusioni
Per quanto riguarda come semplificare le frazioni algebriche è tutto. Con le regole qui illustrate e gli errori da evitare che abbiamo evidenziato sarete già in grado di semplificare correttamente la maggior parte delle frazioni algebriche. Ovviamente è richiesta un’ottima conoscenza delle tecniche di scomposizione dei polinomi. Per chi comunque vuole allenarsi ulteriormente è disponibile la scheda di esercizi correlata (esercizi su come semplificare le frazioni algebriche).
Nella prossima lezione ci occuperemo della riduzione a denominatore comune delle frazioni algebriche. Buon proseguimento!
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