Legge di annullamento del prodotto

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Domande e risposte

Cosa si intende per legge di annullamento del prodotto e come si usa?

La legge di annullamento del prodotto è una regola che viene utilizzata tipicamente per risolvere delle equazioni. In particolare, la legge si rivela utile per risolvere equazioni che si presentano nella forma:

P_{1}(x) \cdot P_{2}(x) \cdot  \: \dots \: \cdot P_{n}(x)=0

dove abbiamo un prodotto tra fattori (di solito, polinomi) uguagliato a zero.

Consideriamo ad esempio la seguente equazione:

A(x) \cdot B(x) = 0

L’equazione sarà soddisfatta se abbiamo {A(x)=0} oppure {B(x)=0}. Ciò è abbastanza intuitivo: il prodotto tra due quantità moltiplicate tra loro sarà zero se almeno una delle due quantità è zero. E ciò è una diretta conseguenza del fatto che il prodotto di un qualsiasi numero per zero è uguale a zero.

Un primo esempio pratico

Consideriamo l’equazione:

x(x-1)=0

In essa individuiamo al primo membro un prodotto tra due fattori, ovvero il fattore {x} e il fattore {x-1}:

x \cdot (x-1) = 0

Perché l’equazione sia soddisfatta il prodotto al primo membro dovrà essere zero. E affinché ciò avvenga, basta che uno dei due fattori presenti nel prodotto si annulli. Così, per la legge di annullamento del prodotto, diremo che l’equazione è soddisfatta per {x=0} (primo fattore nullo) oppure per {x-1=0} (secondo fattore nullo). Così potremo dire che tale equazione ha le due soluzioni {x=0} e {x=1}. Svolgendo per maggior chiarezza i passaggi:

\small x(x-1) = 0; \quad \Rightarrow \quad x= 0 \quad \vee \quad x-1 = 0; \qquad x=0 \quad \vee \quad x=1

Osserviamo che il simbolo {\vee} significa oppure.

Una particolare utilità della legge di annullamento del prodotto è quella di poter risolvere in alcuni casi delle equazioni di grado superiore al primo utilizzando soltanto quanto sappiamo sulla scomposizione dei polinomi e sulle equazioni di primo grado.

In altre parole, mediante la legge di annullamento del prodotto potremo determinare le soluzioni dell’equazione

P(x)=0

se ad esempio il polinomio {P(x)} risulta scomponibile in fattori tutti di primo grado. E in tal caso, basterà risolvere un’equazione di primo grado per ogni fattore presente nella scomposizione di {P(x)}.

Vediamo allora un paio di ulteriori esempi sull’utilizzo della legge di annullamento del prodotto.

Esempio (equazione di secondo grado)

Risolvere la seguente equazione:

x^2+4x+4=0

L’equazione è della forma {P(x)=0}. Osserviamo in particolare che il polinomio {P(x)} al primo membro è il quadrato di un binomio. Vale la scomposizione:

x^2+4x+4=(x+2)^2

Così possiamo riscrivere l’equazione di partenza come:

(x+2)^2 = 0

ovvero, tenendo conto della definizione di potenza:

(x+2)(x+2)=0

Ma a questo punto al primo membro abbiamo un prodotto tra due fattori. E l’equazione richiede che tale prodotto sia uguale a zero, ovvero che tale prodotto si annulli.

Per la legge di annullamento del prodotto, quindi, possiamo affermare che l’equazione è verificata per i valori della {x} che annullano uno dei due fattori. Abbiamo:

x+2 = 0 \quad \vee \quad x+2=0

ove il simbolo {\vee} significa “oppure”.

Otteniamo:

x=-2 \quad \vee \quad x=-2

Poiché i fattori sono uguali otteniamo due soluzioni coincidenti. Per cui possiamo in conclusione affermare che l’equazione ha soluzione {x=-2} con molteplicità due.

Esempio (equazione di terzo grado)

Risolviamo la seguente equazione:

x^3+4x^2+x-6=0

Si tratta di un’equazione della forma {P(x)=0} ove il polinomio {P(x)} è di terzo grado. Le formule risolutive per le equazioni di terzo grado non sono certo di uso comune, e quindi potremmo trovarci in difficoltà. Tuttavia, il problema si risolve agevolmente proprio grazie alla legge di annullamento del prodotto.

Con la regola di Ruffini, scomponiamo il polinomio a primo membro dell’equazione, ottenendo:

x^3+4x^2+x-6=(x-1)(x+2)(x+3)

Di conseguenza possiamo riscrivere l’equazione di partenza come:

(x-1)(x+2)(x+3)=0

Ora basta applicare la legge di annullamento del prodotto. Il primo membro dell’equazione (il prodotto) sarà uguale a zero se uno qualunque dei suoi fattori è uguale a zero.

x-1 = 0 \quad \vee \quad x+2 = 0 \quad \vee \quad x+3 = 0

Ricordiamo che il simbolo {\vee} significa “oppure”.

Risolvendo le quazioni di primo grado corrispondenti a ciascuna condizione otteniamo:

x=1 \quad \vee \quad x=-2 \quad \vee \quad x = -3

E siamo arrivati. Questi sono infatti i valori che annullano il polinomio al primo membro, e sono quindi le soluzioni dell’equazione di terzo grado di partenza. Scriviamo quindi per l’insieme delle soluzioni dell’equazione data:

S = \{1, \: -2, \: -3\}

Ecco dunque l’utilità della legge di annullamento del prodotto per risolvere le equazioni.

Legge di annullamento del prodotto e frazioni algebriche

Come ultima nota finale, osserviamo che la legge è di particolare utilità anche nel discutere le condizioni di esistenza delle frazioni algebriche. Ad esempio, consideriamo la seguente frazione algebrica:

\dfrac{2x}{(x-1)(x+2)}

La frazione algebrica esiste soltanto per quei valori della {x} tali da non annullare il denominatore. Per determinare il campo di esistenza della frazione algebrica dovremo allora imporre la condizione:

(x-1)(x+2) \neq 0

ovvero, “denominatore diverso da zero”.

In questo caso dobbiamo escludere i valori della {x} soluzioni dell’equazione:

(x-1)(x+2)=0

Ma grazie alla legge di annullamento del prodotto sappiamo come risolverla:

x-1 = 0 \quad \vee \quad x +2 = 0

otteniamo:

x=1 \quad \vee \quad x = -2

Così in conclusione la frazione algebrica è definita per tutti i valori reali tranne {1} e {-2}.

Come ulteriore applicazione, osserviamo che con la stessa logica è anche possibile ricavare le condizioni per poter eliminare il denominatore comune a tutti i termini di un’equazione fratta.

Per quanto riguarda la legge di annullamento del prodotto è tutto. Buon proseguimento!