Equazioni fratte di primo grado

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Equazioni (superiori)

Le equazioni fratte di primo grado (o più propriamente equazioni frazionarie riducibili ad equazioni intere di primo grado) sono equazioni nelle quali l’incognita compare almeno una volta anche al denominatore.

Finora abbiamo visto soltanto equazioni nelle quali al denominatore compaiono soltanto numeri o tuttalpiù lettere diverse dall’incognita (ovvero i parametri). Nelle equazioni fratte di primo grado invece ci ritroviamo con l’incognita anche al denominatore. Ma cosa cambia rispetto alle equazioni di primo grado intere?

Per risolvere le equazioni fratte di primo grado dovremo tenere presenti le condizioni per le quali è applicabile il secondo principio di equivalenza. E come vedremo tra un’istante, ci ritroveremo a dover scendere in qualche modo a patti con tale principio. Ma naturalmente compenseremo introducendo delle opportune condizioni.

Vediamo allora subito come si risolvono le equazioni fratte di primo grado (equazioni frazionarie riducibili ad equazioni intere di primo grado).

Come si risolvono le equazioni fratte di primo grado

Per comprendere come risolvere le equazioni fratte di primo grado dobbiamo introdurre il concetto di dominio o campo di esistenza di un’equazione. Abbiamo già visto questo concetto nell’introdurre le equazioni di primo grado, tuttavia è importante riprenderlo anche in questa lezione.

Il campo di esistenza di un’equazione è l’insieme di tutte le possibili soluzioni per l’equazione. In altre parole, è l’insieme di tutti i valori per i quali ha senso chiedersi se l’equazione è soddisfatta o meno in corrispondenza di essi. Più brevemente, il campo di esistenza di un’equazione è l’insieme dei valori per i quali l’equazione è definita.

L’insieme delle soluzioni di un’equazione, invece, è l’insieme dei valori per cui un’equazione non solo è definita ma è anche verificata. Concludiamo quindi che l’insieme delle soluzioni è un sottoinsieme del campo di esistenza di un’equazione. Se un valore non appartiene al campo di esistenza di un’equazione non potrà quindi certamente essere una soluzione per l’equazione stessa.

Così ad esempio l’equazione:

x+3=0

ha come campo di esistenza l’intero insieme dei numeri reali (ha senso chiedersi per ogni numero reale se questo soddisfa o meno l’equazione), mentre ha come insieme delle soluzioni il solo valore {x=-3}.

Così in generale, un’equazione di primo grado intera, la cui forma normale è:

ax+b=0

è definita per tutti i valori reali della {x}. Ciò significa che è possibile calcolare l’espressione al primo membro sostituendo alla {x} qualsiasi valore. Ad esempio, data l’equazione:

3x+7=0

se sostituiamo alla {x} il valore {2} otteniamo l’uguaglianza:

3 \cdot 2+ 7 = 0 ; \qquad 13=0

L’uguaglianza è ovviamente falsa. Quindi {2} non è soluzione dell’equazione. Tuttavia, è un valore per il quale è comunque possibile verificare se l’equazione è soddisfatta o meno. E quindi tale valore appartiene al campo di esistenza dell’equazione.

Ora, un’equazione di primo grado frazionaria (o fratta) è un’equazione nella quale compare l’incognita {x} al denominatore almeno una volta. Ad esempio la seguente:

\dfrac{3x}{3x+4}=\dfrac{x-1}{x}

è un’equazione frazionaria (o fratta) poiché l’incognita {x} si presenta anche ai denominatori.

Come per le equazioni di primo grado a termini frazionari, l’idea anche in questo caso è quella di portare tutti i termini al primo membro. Per fare questo, trasporteremo al primo membro la frazione attualmente presente al secondo membro, ponendo un segno meno davanti alla linea di frazione:

\dfrac{3x}{3x+4}-\dfrac{x-1}{x}=0

A questo punto mettiamo tutti i termini a denominatore comune:

\dfrac{x\cdot3x-(3x+4)(x-1)}{x(3x+4)}=0

Svolgendo i calcoli al numeratore otteniamo:

\dfrac{\cancel{3x^2}-\cancel{3x^2}+3x-4x+4}{x(3x+4)}=0

e quindi:

\dfrac{-x+4}{x(3x+4)}=0

Osserviamo che con le operazioni sin qui eseguite l’equazione si presenta ora nella forma:

\dfrac{N(x)}{D(x)}=0

e questa è la forma normale per le equazioni frazionarie.

A questo punto come procediamo? Diversamente dal caso delle equazioni di primo grado intere a termini frazionari, qui non possiamo eliminare direttamente il denominatore. Infatti, questo non è più un numero ma un’espressione dipendente dalla {x}. Ma ragioniamo un passo alla volta.

Anzitutto ci chiediamo: quale è il dominio o campo di esistenza dell’equazione?

Come tutti sappiamo, non è possibile dividere per zero. E ogni frazione rappresenta nella pratica una divisione tra il numeratore e il denominatore. Di conseguenza, il denominatore della frazione a primo membro (che è il divisore) non può essere uguale a zero.

Così il campo di esistenza dell’equazione frazionaria in esame non è dato da tutti i valori reali, come nel caso delle equazioni intere. Diversamente, faranno parte del campo di esistenza dell’equazione soltanto i valori che non annullano il denominatore.

Di conseguenza, il campo di esistenza dell’equazione è costituito da tutti i valori che rispettano la condizione “denominatore diverso da zero”, ovvero in questo caso:

x(3x+4) \neq 0

Dobbiamo allora capire quali valori annullano il denominatore e quindi escluderli dal campo di esistenza dell’equazione. E ciò equivale ad escluderli dalle possibili soluzioni dell’equazione.

Per determinare il campo di esistenza dell’equazione dovremo allora risolvere l’equazione seguente ed escluderne le soluzioni:

x(3x+4) = 0

Ora, osserviamo che abbiamo due fattori moltiplicati tra loro (il fattore {x} e il fattore {(3x+4)}). Tale prodotto risulterà nullo se almeno uno dei due fattori è nullo (legge di annullamento del prodotto). Di conseguenza, l’equazione appena scritta è soddisfatta se {x=0} oppure se {3x+4=0}, ovvero {3x=-4} e quindi {x=-\dfrac{4}{3}}. Diciamo che allora il denominatore si annulla per {x=0} e per {x=-\dfrac{4}{3}}, e questi valori devono essere esclusi dal campo di esistenza dell’equazione frazionaria.

Così il campo di esistenza {\mathscr{D}} dell’equazione frazionaria è:

\mathscr{D}=\mathbb{R}-\left\{0, \: -\dfrac{4}{3} \right\}

ovvero è dato da tutti i numeri reali tranne i valori {0} e {-4/3}.

Ora, riprendiamo l’equazione frazionaria nell’ultima forma scritta:

\dfrac{-x+4}{x(3x+4)}=0

L’idea a questo punto potrebbe essere quella di applicare il secondo principio di equivalenza. Ma ricordiamo. Il secondo principio di equivalenza ci consente di moltiplicare entrambi i membri dell’equazione per una stessa quantità a patto che la quantità sia diversa da zero. Ma come sappiamo, il denominatore {x(3x+4)} si annulla per certi valori della {x}.

Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri dell’equazione per il denominatore {x(3x+4)} soltanto a patto di porre la condizione:

x \neq 0 \quad \wedge \quad x \neq -\dfrac{4}{3}

ove il simbolo {\wedge} significa “e contemporaneamente”.

Con tale condizione possiamo moltiplicare entrambi i membri per la quantità {x(3x+4)}. Infatti siamo certi che esclusi quei valori tale quantità non sarà mai uguale a zero:

\dfrac{-x+4}{\cancel{x(3x+4)}} \cdot \cancel{x(3x+4)}=\underbrace{0 \cdot  x(3x+4)}_{0}

Osserviamo che nella pratica ciò equivale semplicemente ad eliminare il denominatore. Per cui possiamo passare direttamente all’equazione:

-x+4 = 0 \qquad \text{con} \quad x \neq 0 \quad \wedge \quad x \neq -\dfrac{4}{3}

Osserviamo che è fondamentale accompagnare l’equazione intera ottenuta con le condizioni relative al denominatore diverso da zero. Infatti, come sappiamo un’equazione intera ha come campo di esistenza l’intero insieme dei numeri reali. E quindi senza tali condizioni non può essere equivalente all’equazione frazionaria di partenza.

Nella pratica, ciò significa che ora potremo risolvere l’equazione intera ottenuta ma dovremo controllare che l’eventuale soluzione sia diversa dai valori che annullano il denominatore dell’equazione frazionaria di partenza. In altre parole, dovremo controllare che l’eventuale soluzione che otterremo sia diversa sia da {0}, sia da {-4/3}. Tali valori infatti non appartengono al campo di esistenza dell’equazione frazionaria e quindi non potranno mai essere soluzioni per essa.

Risolviamo a questo punto l’equazione intera ottenuta:

-x+4=0 \quad \Rightarrow \quad -x=-4 \quad \Rightarrow \quad x=4

Poiché la soluzione ottenuta rispetta le condizioni imposte sul denominatore dell’equazione frazionaria, ovvero è diversa sia da {0}, sia da {-\dfrac{4}{3}}, la soluzione è accettabile anche per l’equazione di partenza.

E’ fondamentale eseguire tale controllo poiché un’equazione intera ha per campo di esistenza l’intero insieme dei numeri reali. E quindi il suo insieme delle soluzioni potrebbe benissimo contenere un valore che annulla il denominatore dell’equazione frazionaria di partenza.

Così in conclusione l’equazione fratta di partenza è determinata ed ha soluzione {x=4}.

Per quanto abbiamo visto vale in sintesi la seguente regola:

Per risolvere un’equazione fratta di primo grado basta ricondurla alla forma {\dfrac{N(x)}{D(x)}=0} e quindi risolvere l’equazione intera {N(x)=0}, assicurandosi di escludere le eventuali soluzioni per le quali si annulla il denominatore {D(x)}.

La condizione {D(x) \neq 0} consente di applicare quindi il secondo principio di equivalenza. In pratica, così facendo restringiamo forzatamente il campo di esistenza dell’equazione intera {N(x)=0}, rendendolo uguale al campo di esistenza dell’equazione frazionaria di partenza. In altre parole, se accompagnata dalla condizione {D(x) \neq 0}, l’equazione {N(x)=0} è equivalente all’equazione frazionaria di partenza.

Vediamo ora alcuni esercizi di esempio sulle equazioni fratte di primo grado relativi al caso di equazioni determinate. Nella successiva parte della lezione vedremo degli esempi con equazioni frazionarie indeterminate ed impossibili.

Esercizi di esempio sulle equazioni fratte di primo grado

Esempio 1

3-\dfrac{1}{5-x}=\dfrac{x-2}{x-5}

Portiamo tutti i termini al primo membro:

3-\dfrac{1}{5-x}-\dfrac{x-2}{x-5}=0

Osserviamo che nel trasportare la frazione {\dfrac{x-2}{x-5}} abbiamo cambiato il segno davanti alla sua linea di frazione.

E’ qui conveniente lavorare sui segni in modo tale da rendere più semplice la determinazione del denominatore comune. Osserviamo che {5-x} è l’opposto di {x-5}. Per cui conviene cambiare il segno davanti alla frazione {\dfrac{1}{5-x}} invertendo allo stesso tempo i segni di tutti i termini al denominatore:

3+\dfrac{1}{-5+x}-\dfrac{x-2}{x-5}=0

Ora le due frazioni algebriche al primo membro hanno entrambe lo stesso denominatore. E’ quindi agevole mettere i termini al primo membro a denominatore comune:

\dfrac{3(x-5)+1-x+2}{x-5}=0

Ovvero, eseguendo i calcoli al numeratore:

\dfrac{3x-15+1-x+2}{x-5}=0

Sommiamo i termini simili:

\dfrac{2x-12}{x-5}=0

A questo punto l’equazione frazionaria è in forma normale, ovvero della forma {\dfrac{N(x)}{D(x)}=0}. Per quanto visto in precedenza, possiamo cancellare il denominatore a patto di porre la condizione:

x-5 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 5

Così con tale condizione possiamo ricondurci all’equazione intera:

2x-12=0

la quale ha soluzione:

x=-\dfrac{-12}{2}=6

Attenzione, non abbiamo finito. Questa è la soluzione dell’equazione intera {2x-12=0}, e dobbiamo verificare che sia accettabile anche per l’equazione frazionaria di partenza. In altre parole, dobbiamo confrontare la soluzione ottenuta con la condizione {x \neq 5} (denominatore diverso da zero).

E’ immediato verificare che la soluzione ottenuta rispetta tale condizione, per cui la soluzione {x=6} è accettabile per l’equazione frazionaria di partenza.

In conclusione l’equazione fratta assegnata è determinata ed ha soluzione {x=6}.

Esempio 2

Vediamo di occuparci ancora di un’equazione fratta nel caso di equazioni di primo grado fratte possibili o determinate.

Risolviamo l’equazione:

3+\dfrac{5}{x}+\dfrac{3x-2}{1-x}=\dfrac{1}{x}

Trasportiamo la frazione algebrica \dfrac{1}{x} al primo membro, ovviamente cambiandone il segno:

3+\dfrac{5}{x}+\dfrac{3x-2}{1-x}-\dfrac{1}{x}=0

Mettiamo tutti i termini a denominatore comune:

\dfrac{3x(1-x)+5(1-x)+x(3x-2)-(1-x)}{x(1-x)}=0

Svolgiamo i calcoli al numeratore:

\dfrac{3x-\cancel{3x^2}+5-5x+\cancel{3x^2}-2x-1+x}{x(1-x)}=0

Sommiamo i termini simili:

\dfrac{(3-5-2+1)x+5-1}{x(1-x)}=0

otteniamo:

\dfrac{-3x+4}{x(1-x)}=0

Ora dobbiamo imporre il denominatore diverso da zero:

x(1-x) \neq 0

Possiamo ragionare con l’equazione {x(1-x)=0 } escludendone poi le soluzioni, come visto nell’esempio iniziale. Tuttavia, qui vogliamo mostrare un modo di ragionare alternativo e del tutto equivalente.

Avendo il prodotto tra due fattori, per la legge di annullamento del prodotto dovrà essere diverso da zero sia il fattore {x}, sia il fattore {1-x}:

x \neq 0 \quad \wedge \quad (1-x) \neq 0

Ricordiamo ancora, il simbolo {\wedge} indica che le due condizioni devono valere contemporaneamente. Soltanto in questo modo infatti siamo certi che il numeratore non sarà mai uguale a zero. Otteniamo:

x \neq 0 \quad \wedge \quad -x \neq -1

ovvero:

x \neq 0 \quad \wedge \quad x \neq 1

Ciò effettivamente equivale ad escludere le soluzioni dell’equazione {x(1-x)=0}, evitando così che possa annullarsi il denominatore.

Riprendendo quindi l’equazione fratta nell’ultima forma scritta:

\dfrac{-3x+4}{x(1-x)}=0

imponendo le condizioni {x \neq 0 } e {x \neq 1} possiamo eliminare il denominatore. Ci riconduciamo quindi alla seguente equazione di primo grado intera:

-3x+4=0

che ha soluzione:

x=-\dfrac{4}{-3}=\dfrac{4}{3}

Attenzione: questa è la soluzione dell’equazione intera. Dobbiamo controllare che sia accettabile anche per l’equazione fratta di partenza.

Per fare ciò basta controllare che la soluzione ottenuta rispetti la condizione:

x \neq 0 \quad \wedge \quad x \neq 1

Poiché il valore {\dfrac{4}{3}} è diverso sia da zero, sia da {1}, concludiamo che {x=\dfrac{4}{3}} è soluzione anche per l’equazione fratta di partenza.

Equazioni di primo grado fratte indeterminate

Un’equazione di primo grado fratta è indeterminata se l’equazione intera che da essa otteniamo applicando i principi di equivalenza è indeterminata.

Ricordiamo che un’equazione di primo grado intera è indeterminata se è definita per tutti i valori reali.

Così ad esempio data l’equazione fratta in forma normale:

\dfrac{N(x)}{D(x)}=0

se abbiamo che l’equazione intera:

N(x)=0, \qquad D(x) \neq 0

è indeterminata, allora sarà indeterminata anche l’equazione fratta di partenza.

Ora, attenzione. Un’equazione fratta anche se indeterminata non è verificata per tutti i valori reali. Essa sarà verificata piuttosto soltanto per tutti i valori del suo campo di esistenza. Infatti come ormai sappiamo per i valori della {x} tali che {D(x)=0} l’equazione fratta non ha significato.

Diciamo che un’equazione fratta è indeterminata se è soddisfatta in tutto il suo campo di esistenza (e non in tutti i reali come nel caso delle equazioni intere). In altre parole, un’equazione fratta è indeterminata se tutti i valori del suo campo di esistenza sono soluzioni per essa.

Dato che la definizione di equazione indeterminata nel caso di equazioni intere e fratte è differente, a scanso di equivoci conviene indicare esplicitamente l’insieme delle soluzioni di un’equazione fratta indeterminata nella forma:

S=\mathbb{R} \setminus \{x_0, \: x_1, \dots , \: x_n\}

ove {x_0, \: x_1, \dots , \: x_n} sono i valori che annullano il denominatore {D(x)}.

Esempio (equazione fratta di primo grado indeterminata)

Vediamo un esempio relativo ad equazioni fratte di primo grado indeterminate:

\left( \dfrac{x+4}{x}\right)^2:\dfrac{x^2-16}{x}=\dfrac{2}{x-4}-\dfrac{1}{x}

Riscriviamo la divisione al primo membro come una moltiplicazione:

\left( \dfrac{x+4}{x}\right)^2 \cdot \dfrac{x}{x^2-16}=\dfrac{2}{x-4}-\dfrac{1}{x}

Applichiamo la regola del rapporto tra potenze di uguale esponente, in senso inverso, al primo fattore del primo membro. Inoltre, scomponiamo il denominatore del secondo fattore al primo membro (regola della scomposizione di una differenza tra quadrati):

\dfrac{(x+4)^2}{x^2}\cdot\dfrac{x}{(x+4)(x-4)}=\dfrac{2}{x-4}-\dfrac{1}{x}

E’ ora possibile eseguire una semplificazione incrociata tra le frazioni algebriche al primo membro tra i fattori {x+4}, ottenendo:

\dfrac{x+4}{x^2} \cdot \dfrac{x}{x-4}=\dfrac{2}{x-4}-\dfrac{1}{x}, \qquad x+4 \neq 0

Attenzione: poiché con la semplificazione eseguita abbiamo eliminato un fattore {x+4} dal denominatore, dobbiamo imporre la condizione {x+4 \neq 0}, ovvero {x \neq -4}. Ciò si giustifica osservando che eliminando tale fattore abbiamo alterato il campo di esistenza dell’equazione. Infatti, l’equazione appena scritta non ha più il problema del denominatore {x+4} che si annulla per {x=-4}. Di conseguenza, la condizione {x \neq -4} che abbiamo imposto serve proprio a mantenere il campo di esistenza dell’equazione fratta di partenza.

Dunque abbiamo intanto la condizione {x \neq -4}, che si andrà ad aggiungere alle altre condizioni che imporremo per eliminare il denominatore comune {D(x)}.

Eseguendo il prodotto al primo membro:

\dfrac{x^2+4x}{x^2(x-4)}=\dfrac{2}{x-4}-\dfrac{1}{x}

Portiamo tutti i termini al primo membro:

\dfrac{x^2+4x}{x^2(x-4)}-\dfrac{2}{x-4}+\dfrac{1}{x}=0

Mettiamo tutti i termini a denominatore comune:

\dfrac{x^2+4x-2x^2+x(x-4)}{x^2(x-4)}=0

e quindi:

\dfrac{\cancel {x^2}+\cancel{4x}-\cancel{2x^2}+\cancel{x^2}-\cancel{4x}}{x^2(x-4)}=0

Otteniamo:

\dfrac{0}{x^2(x-4)}=0

Possiamo cancellare il denominatore imponendo la condizione:

x^2(x-4) \neq 0 \quad \iff \quad x \neq 0 \quad \wedge \quad x \neq 4

Osserviamo che la doppia freccia esprime l’equivalenza tra le due condizioni scritte.

Poiché già avevamo posto la condizione {x \neq 4}, in conclusione il campo di esistenza dell’equazione fratta in esame è dato da tutti i valori reali diversi da {-4, \: 0, \: 4}, ovvero:

\mathscr{D} = \mathbb{R} \setminus \{-4, \: 0, \: 4\}

A questo punto, sotto le condizioni indicate possiamo ricondurci alla seguente equazione intera:

0=0

che rappresenta un’identità, di per sé è verificata per ogni valore reale della {x} (basta rileggere l’uguaglianza come {0x=0}). Tuttavia, poiché dobbiamo tenere conto del campo di esistenza dell’equazione fratta, diremo che in realtà l’uguaglianza è valida soltanto limitatamente a tale campo di esistenza.

Così diremo in conclusione che l’equazione fratta di partenza è indeterminata nel senso che è definita in tutto il suo campo di esistenza. In altre parole il suo insieme delle soluzioni è dato da:

S= \mathbb{R} \setminus \{-4, \: 0, \:4\}

Osservazione. Nell’esercizio come abbiamo visto si è reso necessario imporre una condizione sulla {x} semplificando una frazione algebrica, quindi “strada facendo”. Ora, per prevenire il rischio di dimenticarsi di porre le necessarie condizioni per eseguire tali semplificazioni, se si preferisce è possibile ricavare fin dall’inizio il campo di esistenza dell’equazione fratta da risolvere, imponendo diversi da zero tutti i denominatori presenti nel testo di partenza.
A voi la scelta del metodo che ritenete più adeguato. Ovviamente, il consiglio è quello di orientarvi anche secondo le indicazioni del vostro insegnante.

Equazioni di primo grado fratte impossibili

Vediamo in quali casi ci possiamo ritrovare con delle equazioni di primo grado fratte impossibili.

Data un’equazione di primo grado fratta nella forma normale:

\dfrac{N(x)}{D(x)}=0

riguardo all’equazione intera:

N(x)=0, \qquad D(x) \neq 0

possono accadere due cose:

• l’equazione {N(x)=0} è impossibile;
• l’equazione {N(x)=0} è determinata, ma la soluzione non appartiene al campo di esistenza dell’equazione fratta di partenza.

In entrambi i casi concludiamo che l’equazione fratta di partenza è impossibile.

Esempio di equazione di primo grado fratta impossibile (equazione N(x)=0 impossibile)

Vediamo come risolvere la seguente equazione di primo grado fratta:

\dfrac{1}{2x+3}+\dfrac{1}{5-2x}=0

Mettiamo i termini a denominatore comune (sono già tutti a primo membro):

\dfrac{5-\cancel{2x}+\cancel{2x}+3}{(2x+3)(5-2x)}=0

ovvero:

\dfrac{8}{(2x+3)(5-2x)}=0

Possiamo eliminare il denominatore a patto di porre la condizione:

(2x+3)(5-2x) \neq 0

ovvero:

2x+3 \neq 0 \quad \wedge \quad 5-2x \neq 0

e quindi:

x \neq -\dfrac{3}{2} \quad \wedge \quad x \neq \dfrac{5}{2}

Sotto tali ipotesi ci riconduciamo all’equazione intera:

8=0

evidentemente non verificata per nessun valore della {x} (per rendersene conto basta rileggerla come {8=0x}).

Di conseguenza diciamo che l’equazione intera è impossibile ed è anche impossibile l’equazione fratta di partenza. Quindi l’equazione di partenza non ha nessuna soluzione.

Esempio di equazione di primo grado fratta impossibile (ma con equazione N(x)=0 determinata)

Risolviamo la seguente equazione:

\dfrac{4x+2}{x-2}=\dfrac{2x+6}{x-2}

Portiamo tutti i termini al primo membro (hanno già lo stesso denominatore):

\dfrac{4x+2-2x-6}{x-2}=0

Sommiamo i termini simili:

\dfrac{2x-4}{x-2}=0

Eliminiamo il denominatore imponendo la condizione {x-2 \neq 0}, ovvero {x \neq 2}:

2x-4=0 \qquad x \neq 2

L’equazione intera è determinata ed ha come soluzione:

2x=4 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{4}{2}=2

Tuttavia, la soluzione non è accettabile poiché è al di fuori del campo di esistenza dell’equazione fratta di partenza. Infatti la soluzione {x=2} non rispetta la condizione {x \neq 2} che abbiamo imposto eliminando il denominatore.

Di conseguenza nonostante l’equazione {N(x)=0} sia determinata, l’equazione fratta di partenza è impossibile.

Conclusioni

Per quanto riguarda le equazioni fratte di primo grado (equazioni frazionarie riducibili ad equazioni di primo grado intere) è tutto. Per chi vuole allenarsi ulteriormente è disponibile la scheda di esercizi correlata. E’ anche disponibile un’ulteriore scheda di esercizi relativa ad equazioni fratte di primo grado contenenti però anche un parametro. Buon proseguimento!